第4、5次課 一元二次方程(1)

1、知識點一：一元二次方程相關概念1、一元二次方程：含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。 定義解釋：一元二次方程是一個整式方程；只含有一個未知數(shù)；并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2。這三個條件必須同時滿足，缺一不可。2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個關于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。注意:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符號3、方程的根：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可4、一元二次方程解的估算：當某一x的取值使得這

2、個方程中的的值無限接近0時，x的值即可看做一元二次方程的解。例題 例求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 例將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項 例.若x=1是關于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一個根,求代數(shù)式2007(a+b+c)的值 例要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應該怎樣剪？ 設長為xcm，則寬為（x-5）cm，列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 請根據(jù)列方程回答以下問題： （1）x可能

3、小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由 （2）完成下表： x1011121314151617x2-5x-150 （3）你知道鐵片的長x是多少嗎？ 分析：我們可以用一種新的方法“夾逼”方法求出該方程的根 課堂練習一、選擇題1關于x的方程經化簡整理，化為的形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項分別是（ ） A.mn，p，q B. mn，p，q C.mn，p，qD.mn，p，q2方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ） Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b2二、填空題1.判斷下列關于x的方程是不是一元二次方程.是一元二次方程的有 2.關于x的方程

4、(m4)x2+(m+4)x+2m+3=0，當m_時，是一元二次方程，當m_時，是一元一次方程.3方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為_，一次項系數(shù)為_，常數(shù)項為_4已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3，則m的值為_ 三、解答題1a滿足什么條件時，關于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2.將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項 3如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個根，求（a-b）2+4ab的值4如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次項系數(shù)與常數(shù)

5、項之和等于一次項系數(shù)，求證：-1必是該方程的一個根知識點二：直接開平方法1、形如x2=p或(nx+m)2=p(p0)的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二次方程。2、根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b<0時，方程沒有實數(shù)根。如果方程化成的形式，那么可得。如果方程能化成(p0)的形式，那么，進而得出方程的根。注意：等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)。降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。方法是根據(jù)平方根的意義開平方。例.配方：填上適當?shù)臄?shù)，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6)2 （2）x2+8x+ =(x+ )2 （3）x212x

6、+ =(x )2例解方程（1）3x2-1=5 （2）4x2+16x+16=9 練習一、選擇題1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C±3 D無實數(shù)根 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、解答題1.解方程 （1）4（x-1）2-9=0 （2） 4x2+16x=-72.解關于x的方程（x+m

7、）2=n知識點三：配方法1、將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法。2、用配方法解一元二次方程的步驟：把原方程化為一般形式；方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；如果右邊是非負數(shù)，即可進一步通過直接開平方法求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解。注意：配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1

8、，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。例.3x2-6x+4=0 （1+x）2+2（1+x）-4=0例、試證：不論x為何實數(shù)，多項式練習一、選擇題1配方法解方程2x2-x-2=0應把它先變形為（ ） A （x-）2= B （x-）2=0 C （x-）2= D （x-）2=2.已知xy=9，xy=3，則x2+3xy+y2的值為（ ）A.27B.9C.54D.183已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2 二、填空題 1如果x2+4x-5=0，則x=_ 2無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_數(shù) 3如果

9、16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關系是_ 三、解答題 1用配方法解方程 （1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值3.關于x的方程是一元二次方程嗎?為什么？課堂練習1、填寫適當?shù)臄?shù)使下式成立. 2、已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b0），則=（ ） A1 B-1 C0 D23、將一元二次方程的二次項系數(shù)變?yōu)檎麛?shù)，且使方程的根不變的是（ ）A. B. C D4、解方程(x2)216 x212x150 5、關于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 6、教材或資料會出現(xiàn)這

10、樣的題目：把方程x2-x=2化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項現(xiàn)在把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答（1）下列式子中，有哪幾個是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？ x2-x-2=0；-x2+x+2=0；x2-2x=4；-x2+2x+4=0；x2-2x-4=0（2）方程x2-x=2化為一元二次方程的一般形式，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項之間具有什么關系？7、用配方法證明的值恒小于0.課后練習一、填空題1.方程5(x2x+1)=3x+2的一般形式是_，其二次項是_，一次項是_，常數(shù)項是_.2.若ab0，則x2+x=0的常數(shù)項是_.3.已知關

11、于x的方程. （1）當m 時，它是一元二次方程； （2）當m 時，它是一元一次方程.4用配方法解方程2x24x1=0方程兩邊同時除以2得 移項得_配方得_方程兩邊開方得 x1=_,x2=_二、選擇題1.方程x2=()x化為一般形式，它的各項系數(shù)之和可能是（ ）A.B.C.D.2.若關于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，則a的值是（ ）A.2B.2C.0D.不等于23.關于x2=2的說法，正確的是（ ）A.由于x20，故x2不可能等于2，因此這不是一個方程B.x2=2是一個方程，但它沒有一次項，因此不是一元二次方程C.x2=2是一個一元二次方程D.x2=2是一個一元二次方程，但不能解三、解答題1.解方程2（x-3）2=72 2.把方程(3x+2)24(x-3)2化成