不等式恒成立問題教案

1、不等式恒成立問題適用學科高中數(shù)學適用年級高中三年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）60知識點函數(shù)性質法；主參換位法；分離參數(shù)法；數(shù)形結合法；消元轉化法教學目標掌握解決恒成立問題常用以下幾種方法：函數(shù)性質法；主參換位法；分離參數(shù)法；數(shù)形結合法；消元轉化法；教學重點運用函數(shù)、導數(shù)解決恒成立問題教學難點推理能力和準確的計算能力的培養(yǎng)教學過程一、課堂導入縱觀近幾年高考對于不等式綜合問題的考查，主要有三類問題：恒成立問題、能成立問題以及恰成立問題，要求學生有較強的推理能力和準確的計算能力，才能順利解答從實際教學來看，這部分知識能力要求高、難度大，是學生掌握最為薄弱，看到就頭疼的題目分析原因，除了這類題目的入

2、手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理本節(jié)課我們將就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結和方法的探討二、復習預習新課標下的高考越來越注重對學生的綜合素質的考察，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導數(shù)知識密不可分三、知識講解考點1函數(shù)性質法 有以下幾種基本類型：類型1：設（1）上恒成立；（2）上恒成立類型2：設（1）當時

3、，上恒成立上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立注：恒成立（注：若的最小值不存在，則恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，則恒成立的上界小于0）考點2 分離參數(shù)法極端化原則若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍利用分離參數(shù)法來確定不等式（，為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟：（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最?。┲?；（3）解不等式(或) ，得的取值范圍適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出 考點3 主參換位反客為主法某些含參不等式恒成立問題，在分離參

4、數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度“反客為主”，即把習慣上的主元變與參數(shù)變量的“地位”交換一下，變個視角重新審查恒成立問題，往往可避免不必要的分類討論或使問題降次、簡化，起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的出奇制勝的效果考點4 數(shù)形結合直觀求解法若所給不等式進行合理的變形化為（或）后，能非常容易地畫出不等號兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結果尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷考點5 不等式能成立問題的處理方法若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間上的注意

5、不等式能成立問題（即不等式有解問題）與恒成立問題的區(qū)別從集合觀點看，含參不等式在區(qū)間上恒成立，而含參不等式在區(qū)間上能成立至少存在一個實數(shù)使不等式成立四、例題精析考點一 函數(shù)性質法例1 （2012蚌埠二中考試）已知不等式對任意實數(shù)恒成立則取值范圍是（）a b c d 【規(guī)范解答】由不等式對任意實數(shù)恒成立，知或由此能求出的取值范圍，解得考點二 分離參數(shù)法極端化原則例2 已知函數(shù)，當時，給出下列幾個結論：；;當時，.其中正確的是 （將所有你認為正確的序號填在橫線上）【規(guī)范解答】答案：試題分析：因為，所以，可知（0，）遞減，（，+）遞增，故錯誤；令，所以，可知在（0,1）上遞減，（1，+）上遞增，故錯

6、；令，所以h（x）在（0，+）上遞增，所以，故正確；當時，可知，又因為f（x）在（，+）遞增， 設，又因為f（x）在（，+）遞增，所以時，即，所以時，故為增函數(shù)，所以，所以，故正確.考點三 主參換位反客為主法例3已知函數(shù)（1）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若在處取得極值，且時，恒成立，求的取值范圍【規(guī)范解答】解題思路：（1）利用“若函數(shù)在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間恒成立”求解；（2）先根據(jù)在處取得極值求得值，再將恒成立問題轉化為求，解關于的不等式即可.規(guī)律總結：若函數(shù)在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間恒成立；“若函數(shù)在某區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間恒成立；求函數(shù)最值的步驟： 求導函數(shù)；求極值

7、；比較極值與端點值，得出最值.試題解析:（1） 因在上是增函數(shù)，則f(x)0，即3x2xb0，bx3x2在(，)恒成立設g(x)x3x2，當x時，g(x)max，b.（2）由題意，知f(1)0，即31b0，b2. x1,2時，f(x)c2恒成立，只需f(x)在1,2上的最大值小于c2即可因f(x)3x2x2，令f(x)0，得x1，或x.f(1)c，f()c，f(1)c，f(2)2c，f(x)maxf(2)2c，2cc2，解得c2，或c1，所以c的取值范圍為(，1)(2，).考點四 數(shù)形結合例4設函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若當時,求a的取值范圍.【規(guī)范解答】試題分析：（1）由得到

8、,求其導數(shù),解不等式得到函數(shù)的增區(qū)間, 解不等式得到函數(shù)的減區(qū)間;（2）法一:由當時得: 等價于: 在時恒成立,令,注意到,所以只需上恒成立即可,故有在上恒成立,則所以有.法二:將在時恒成立等價轉化為:恒成立函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方,由圖象可求得a的取值范圍.試題解析：（1）當時，當時，；當時，時，當時，增區(qū)間，減區(qū)間（2）由當時得: 等價于: 在時恒成立,等價轉化為:恒成立函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方,如圖:,由于直線恒過定點，而，所以函數(shù)圖象在點（0，1）處的切線方程為：，故知：，即的取值范圍為.五、課堂運用【基礎】1、定義在上的單調遞減函數(shù)，若的導函數(shù)存在且滿足，則下列不等式成立的是

9、（ ）a bc d【規(guī)范解答】答案：試題分析：f(x)在上單調遞減，,又，f(x)<,令，g(x)在上單調遞增，g(2)>g(1),即，即3f(2)<2f(3),a正確考點：利用導數(shù)證明抽象函數(shù)不等式2下列不等式對任意的恒成立的是（ ）a b c d【規(guī)范解答】答案：c試題分析：對于a，可轉化為x+sinx>1，取x=0，結合函數(shù)x+sinx的連續(xù)性可知a錯誤，對于b取x=2，可知b錯誤，對于d取x=1，可知d錯誤，對于c，令f(x)=x-ln(1+x),則，f(x)在上單調遞增，f(x)>f(0)=0,即x>ln(1+x)成立【鞏固】1.若函數(shù)在上單調遞減

10、，則實數(shù)的取值范圍為（ ）a. b. c. d.【規(guī)范解答】答案：a試題分析：，因為函數(shù)在上單調遞減，則在上即恒成立，等價于在上恒成立，所以。故a正確。2.已知函數(shù)在區(qū)間(0,1)內任取兩個實數(shù)p,q，且pq，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）a b c d【規(guī)范解答】答案：a試題分析：由已知得，且，等價于函數(shù)在區(qū)間上任意兩點連線的割線斜率大于1，等價于函數(shù)在區(qū)間的切線斜率大于1恒成立，即恒成立，變形為，因為，故【拔高】1.函數(shù)對于總有0 成立，則= 【規(guī)范解答】答案：4試題分析：因為總有0 成立，所以當時，有恒成立，令，知當時，當時，當時；所以在時知；當時，有恒成立，由上知在上恒大于0，

11、所以在-1，0）上是增函數(shù)，故在-1，0）上，所以有，又注意到當x=0時，不論a為何值不等式0總成立；綜上可知a=4.2.已知函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取得極大值，則a的取值范圍是_【規(guī)范解答】答案：(1,0)解析：若a0，則f(x)0，函數(shù)f(x)不存在極值；若a1，則f(x)(x1)20，函數(shù)f(x)不存在極值；若a0，當x(1，a)時，f(x)0，當x(a，)時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在xa處取得極小值；若1a0，當x(1，a)時，f(x)0，當x(a，)時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在xa處取得極大值；若a1，當x(，a)時，f(x)0，當x(a，1)時，f(x)0，