2-21.1.1函數(shù)的平均變化率學(xué)案

1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用L1導(dǎo)數(shù)I1. 1.1 函數(shù)的平均變化率【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】1.理解并掌握平均變化率的概念.2.會(huì)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率3能利用平均變化率解決或說明生活中的一些實(shí)際問題.填要點(diǎn)記疑點(diǎn)1 .函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)y = f(x), xo, X1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記Zx=xj1-xo, Ay= y1一 yo= f(x1)f(xo)= 叫+ Ax) f(x),則當(dāng)Axw 0時(shí)，商“xO+ :匚x0X 乎叫做函數(shù)y=f(x)在xo到+Ax(或 4-x4-xxo+Ax, xo)之間的平均變化率.2 .函數(shù)y=f(x)的平均變化率的幾何意義?=皿_匚3汰示函數(shù)y = f(x

2、)圖象上過兩點(diǎn) , f(x1)，的，儀)的割線的斜率.xx2-x1一探要點(diǎn)究所然情境導(dǎo)學(xué)某市2。13年5月3。日最高氣溫是33.4C ,而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4C和18.6 C,短短兩天時(shí)間，氣溫 “陡增” 14.8C,悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！ ”但是，如果我們將該市 2013年4月28日最高氣溫3.5 C和5月28日最高氣溫18.6C進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為 15.1 C,甚至超過了 14.8C,而人們卻不會(huì)發(fā)出上述感慨，這是什么原因呢？顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那 么在數(shù)學(xué)中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢?探究點(diǎn)一

3、函數(shù)的平均變化率思考1如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度？答 如圖，表示A、B之間的曲線和 B、C之間的曲線的陡峭程度，可以近似地用直線的斜 率來量化.如用比值yC二期近似量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在Xb, xc上的平xc XbJ均變化率.思考2什么是平均變化率，平均變化率有何作用？答 如果問題中的函數(shù)關(guān)系用 y=f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子逅匚3)麥?zhǔn)?，X2 Xi我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)y = f(x)從xi到X2的平均變化率，平均變化率可以描述一個(gè)函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢.思考3平均變化率有什么幾何意義？答 設(shè)A(xi, f(Xi), B(X2, f(X2)

4、是曲線y=f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù) y= f(x)的平均變化率/二3戶)=衛(wèi)等也為割線ab的斜率.ZaXX2 XiZaXy0 *!由 工xi, X2是定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，因此Axw 0,但Ax可正也可負(fù)；Ay=f(X2)f(xi)是相應(yīng) Ax= X2 xi的改變量，Ay的值可正可負(fù)，也可為零.因此，平均變化率可正可負(fù)，也可為零.例i某嬰兒從出生到第i2個(gè)月的體重變化如圖所示， 試分別計(jì)算從出生到第 3個(gè)月與第6 個(gè)月到第i2個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率.3-1?解 從出生到第3個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為6.5-3.5=i（千克/月）.3-0從第6個(gè)月到第12個(gè)月，嬰兒體重平均變化率為118

5、.6 24=24= 0.4(千克 /月).12-66反思與感悟求平均變化率的主要步驟:(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Ay= f(x2) -f(x1).(2)再計(jì)算自變量的改變量Ax = x2-xi.Ay f(x2 > f(x1 ) 得平均變化率事?二產(chǎn)跟蹤訓(xùn)練1如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，則:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為、13答案1 (2)3f (1 - f( 一 1 2 一 1解析 (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為一f=(T)212.fx+3, - K x< 1(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)=&l

6、t; 2、x+1, 1<x< 3f(2 尸 f(0 )所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為* 2-03 2=3 =4.探究點(diǎn)二求函數(shù)的平均變化率例2已知函數(shù)f(x) = x2,分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率:(1)1,3; (2)1,2; (3)1,1.1; (4)1,1.001.解(1)函數(shù)f(x)在1,3上的平均變化率為f(3 上甲)_32-13-12一= 4；(2)函數(shù)f(x)在1,2上的平均變化率為f(2 卜甲)22-12-12一= 3;(3)函數(shù)f(x)在1,1.1上的平均變化率為f(1.1 廠 f(1 ) 1.12- 11.1 10.12一=2.1;(

7、4)函數(shù)f(x)在1,1.001上的平均變化率為f(1.001 / f(1) 1.0012- 11.001 10.0012-=2.001.反思與感悟函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢(shì)，自變量的改變量 Ax取值越小,越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況.跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)y= x2在x= 1,2,3附近的平均變化率，判斷哪一點(diǎn)附近平均變化率最大？解 在x=1附近的平均變化率為1- = 2+ Ax;2k1 =f(1 + Ax J- f(1 ) (1+Axj Ax_Ax在x=2附近的平均變化率為k2=f(2+ 瓜廠 f(2 ) (2+ Ax 2-xAx22=4+ Ax;在x=3附近的平均變化率為k3=x;

8、f(3+ Ax / f(3 ) (3+ Ax 2- 32 Ax_Ax對(duì)任意 Ax有，k1<k2<k3,.在x= 3附近的平均變化率最大.思考 一次函數(shù)y=kx+b(kw0)在區(qū)間m , n上的平均變化率有什么特點(diǎn)？答根據(jù)函數(shù)平均變化率的幾何意義，一次函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率是定值k,即一次函數(shù)的平均變化率是定值.探究點(diǎn)三平均變化率的應(yīng)用例3甲、乙兩人走過的路程S1(t), S2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖，試比較兩人的平均速度哪個(gè)大？解 由圖象可知 S1(t0)=S2(t0), S1(0)>S2(0),S1(t0 廣 S1(0 ) S2(t0 ) S2(0 )t0< t

9、0'所以在從0到t0這段時(shí)間內(nèi)乙的平均速度大.反思與感悟 平均變化率的絕對(duì)值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對(duì)值 越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化越快；平均變化率的絕對(duì)值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢.跟蹤訓(xùn)練3甲用5年時(shí)間掙到10萬元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營(yíng)成果？1010 1 2斛 甲賺錢的平均速度為5* .=硒=6(萬兀/月)，乙賺錢的平均速度為 石(萬兀/月).因?yàn)橐移骄吭沦嵉腻X數(shù)大于甲平均每月賺的錢數(shù), 所以乙的經(jīng)營(yíng)成果比甲的好.*-49Ax4.9Zk-3.3.當(dāng)堂測(cè)查疑缺當(dāng) Ax= 2 時(shí)，羋=4.9 %3.3= 13.1;Ax當(dāng) Ax

10、= 1 時(shí)，半=4.93.3= 8.2;瓜當(dāng) Ax= 0.1 時(shí)，?=4.9 %3.3=3.79;瓜'當(dāng) Ax= 0.01 時(shí)，孚=4.93.3= 3.349.Ax3.3.(2)當(dāng)|闔越來越小時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1 + Ax上的平均變化率逐漸變大，并接近于一呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1 .函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率，在實(shí)際問題中表示事物變化的快慢.2 .求函數(shù)f(x)的平均變化率的主要步驟：(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Ay= f(X2)f(xi);(2)再計(jì)算自變量的改變量Ax = X2-xi；(3)得平均變化率Axf(X ) f(xi ).x2 xi1.如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s= 3 + t* 2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間2, 2.1中相應(yīng)的平均速度是(A. 4 B. 4.1 C. 0.41 D. 3答案 B 一(3+ 2.12) (3+22 解析 v =X-= 4.1.0.12. 一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s= 3+2t,則在2,2.1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為 .答案 23.已知函