歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答

1、歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第屆（1967年于波蘭的華沙）【題】質(zhì)量0.2kg的小球靜置于垂直柱上，柱高5m。一粒質(zhì)量0.01kg、以速度u0500m/s飛行的子彈水平地穿過球心。球落在距離柱s20m的地面上。問子彈落在地面何處？子彈動能中有多少轉(zhuǎn)換為熱能？解：在所有碰撞情況下，系統(tǒng)的總動量均保持不變：其中v和V分別是碰撞后子彈的速度和小球的速 1,3,5度. 兩者的飛行時(shí)間都是s球在這段時(shí)間沿水平方向走過20m的距離，故它在水平方向的速度為：（m/s）由方程0.01×5000.01v0.2×19.8可求出子彈在碰撞后的速度為：v104m/s子彈也在1.01s后落地，

2、故它落在與柱的水平距離為Svt104×1.01105m的地面上。碰撞前子彈的初始動能為1250 J球在剛碰撞后的動能為39.2 J子彈在剛碰撞后的動能為54 J與初始動能相比，兩者之差為1250 J93.2 J1156.8 J這表明原來動能的92.5%被系統(tǒng)吸收而變?yōu)闊崮堋＿@種碰撞不是完全非彈性碰撞。在完全彈性碰撞的情形下，動能是守恒的。而如果是完全非彈性碰撞，子彈將留在球內(nèi)?！绢}2】右圖（甲）為無限的電阻網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)電阻均為r，求、兩點(diǎn)間的總電阻。解：如圖（乙）所示、兩點(diǎn)間的總電阻應(yīng)等于、兩點(diǎn)間的總電阻與電阻的并聯(lián)，再與串聯(lián)圖（甲）后的等效電阻。如果網(wǎng)絡(luò)是無限的，則、兩點(diǎn)間的總電

3、阻應(yīng)等于、兩點(diǎn)間的總電阻，設(shè)為x。 根據(jù)它們的串并聯(lián)關(guān)系有：圖（乙）解上式可得： 【題3】給定兩個(gè)同樣的球，其一放在水平面上，另一個(gè)以細(xì)線懸掛。供給兩球相同的熱量，問兩球溫度是否趨于相同？說明你的理由（忽略各種熱量損失）解答：如右圖所示，球體受熱，體積增大。放在水平面上的球重心升高，克服重力做功要耗費(fèi)一部分熱量，于是剩下提高球體溫度的熱量減少了些。以細(xì)線懸掛的球與之相反。結(jié)果放在水平面上球的溫度將稍小于以細(xì)線懸掛球的溫度。（這一差別是很小的，對于半徑為10cm的銅球來說，相對差值約為10-7 K）【實(shí)驗(yàn)題】測定石油的比熱?？晒┦褂玫奈锲酚校禾炱?、量熱器、溫度計(jì)、電源、開關(guān)、導(dǎo)線、停表、電熱器、

4、容器、水和石油。解答：把已知溫度t1和質(zhì)量m1的水，與已知溫度t2和質(zhì)量m2的石油在量熱器里混合，測出混合物的溫度t3。從包含一方放熱和另一方吸熱的方程中可算出石油的比熱。這是通常測定石油比熱的方法。也可以先用電熱器加熱水，再加熱等量的石油，并且及時(shí)觀察溫度的改變。兩條溫度曲線起始點(diǎn)的切線斜率與比熱成反比關(guān)系，據(jù)此可以測定石油的比熱。【替換題】（為在校沒有上過電學(xué)的學(xué)生而設(shè)。）密閉容器中裝有一個(gè)大氣壓、溫度為的干燥空氣10升，加入3克水后將系統(tǒng)加熱到100，求容器的壓強(qiáng)。解：在100時(shí)，全部水都處于汽相。3克水是摩爾（18÷36），它們在100和atm下的體積是：（升）由狀態(tài)方程求出

5、摩爾水蒸氣的壓強(qiáng)：解得：0.507 atm由空氣的狀態(tài)方程：解得：1.366 atm把兩部分壓強(qiáng)相加得到總壓強(qiáng)為：1,3,51.366 atm0.507 atm1.873 atm歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第2屆（1968年于匈牙利的布達(dá)佩斯）【題】 在傾角為300的斜面上，質(zhì)量為m24 kg的木塊經(jīng)細(xì)繩與質(zhì)量為m18 kg 、半徑為r 5 cm的實(shí)心圓柱體相連。求放開物體后的加速度。木塊與斜面之間的動摩擦系數(shù)0.2，忽略軸承的摩擦和滾動摩擦。解：如果繩子是拉緊，則圓柱體與木塊一同加速運(yùn)動，設(shè)加速度為a，繩子中的張力為F，圓柱體與斜面之間的摩擦力為S，則圓柱體的角加速度為ar。對木塊有：

6、m2am2gsinm2gcosF對圓柱體有：m1am1gsinSFS rIar1,3,5其中I是圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量，S r是摩擦力矩。解以上方程組可得（1）（2）（3）均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量為代入數(shù)據(jù)可得a0.3317g3.25m/s2 S13.01 NF0.196 N討論：系統(tǒng)開始運(yùn)動的條件是a0。把a(bǔ)0代入（1）式，得出傾角的極限1為：0.066713049/單從圓柱體來看，1；單從木塊來看，1tg-111019/如果繩子沒有拉緊，則兩物體分開運(yùn)動，將F0代入（3）式，得出極限角為：0.6230058/圓柱體開始打滑的條件是S值（由（2）式取同樣的動摩擦系數(shù)算出）達(dá)到 m1gcos，由此得出的

7、3值與已得出的2值相同。圓柱體與木塊兩者的中心加速度相同，都為g（sin gcos）圓柱體底部的摩擦力為 m1gcos，邊緣各點(diǎn)的切向加速度為a（）gcos，【題2】 一個(gè)杯里裝有體積為300 cm3、溫度為00C的甲苯，另一個(gè)杯里裝有體積為110 cm3、溫度為1000C的甲苯，兩體積之和為410 cm3。求兩杯甲苯混合以后的最終體積。甲苯的體膨脹系數(shù)為0.001（0C），忽略混合過程中的熱量損失。解：若液體溫度為t1時(shí)的體積為V1，則在00C時(shí)的體積為同理，若液體溫度為t2時(shí)的體積為V2，則在00C時(shí)的體積為如果液體在00C時(shí)的密度為d，則質(zhì)量分別為m1V10d m2V20d混合后，液體的

8、溫度為在該溫度下的體積分別為V10（t）和V20（t）。所以混合后的體積之和為V10（t）V20（t）V10V20（V10V20）t V10V20 V10V20（）V10V10t1V20V20t2V10（t1）V20（t2）V1V2體積之和不變，在本題仍為410 cm3。當(dāng)把多杯甲苯不斷地加入進(jìn)行混合，對任何數(shù)量的甲苯這個(gè)結(jié)果都成立。【題3】光線在垂直玻璃半圓柱體軸的平面內(nèi)，以450角射在半圓柱體的平面上（如右圖），玻璃的折射率為。試問光線在何處離開圓柱體表面？解：用角度描述光線在玻璃半圓柱體內(nèi)的位置如解圖2.3所示。按照折射定律：得：sinb0.5，b300所有折射光線與垂直線的夾角均為 3

9、00，有必要研究一下，當(dāng)角從00增至1800的過程中發(fā)生了什么現(xiàn)象。不難看出，角不可能小于600。光線從玻璃射向空氣全反射的臨界角 由解圖3.2求出：bt450，則：t1800600450750如果角大于750，光線將離開圓柱體。隨著角的增加，光線將再次發(fā)生全反射，此時(shí)t9003004501650故當(dāng)：7501650時(shí)光線離開圓柱體。出射光線的圓弧所對應(yīng)的圓心角為1650750900。【實(shí)驗(yàn)題】參加者每人領(lǐng)取三個(gè)封閉的盒子，每個(gè)盒上有兩個(gè)插孔。不許打開盒子，試確定盒中元件的種類，并測定其特性?？晒┦褂玫氖?，內(nèi)阻和精度已知交流和直流儀器，以及交流電源（頻率50 HZ）和直流電源。解：在任何一對插

10、孔中都測不到電壓，因此，盒子都不含有電源先用交流，再用直流測電阻，有一盒給出相同的結(jié)果。結(jié)論是：該盒包含一個(gè)簡單電阻，其阻值由測量確定。另一盒有極大的直流電阻，但對交流來說是導(dǎo)體。結(jié)論是：該盒包含一個(gè)電容，其電容值由算得。1,3,5第三個(gè)盒子對交流和直流都是導(dǎo)體，而交流電阻較大。結(jié)論是：該盒包含一個(gè)電阻和電感，兩者串聯(lián)。電阻和電感值可從測量中算得。歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第3屆（1969年于捷克斯洛伐克的布爾諾）【題1】右圖的力學(xué)系統(tǒng)由三輛車組成，質(zhì)量分別為mA0.3kg，mB0.2kg，mC1.5kg。（a）沿水平方向作用于C車的力F很大。使A、B兩車相對C車保持靜止。求力F及繩子

11、的張力。（b）C車靜止，求A、B兩車的加速度及繩子的張力。1,3,5（忽略阻力和摩擦力，忽略滑輪和車輪的轉(zhuǎn)動慣量）解：（a）A、B兩車相對C車保持靜止，A車在豎直方向沒有加速度，因此它對繩的拉力為mAg。這個(gè)力使B車得到加速度。又三車系統(tǒng)以相同的加速度運(yùn)動，則：由給定的數(shù)值得：aBaCaA1.5g14.7m/s2繩中的張力為：TmAg2.94N水平推力為：F29.4N （b）如果C車靜止，則力mAg使質(zhì)量mAmB加速，加速度為：0.6g5.88N繩中的張力為：T/mAgmA×0.6g1.176N【題2】在質(zhì)量為m1的銅量熱器中裝有質(zhì)量為m2的水，共同的溫度為t12；一塊質(zhì)量為m3、溫

12、度為t3的冰投入量熱器中（如右圖所示）。試求出在各種可能情形下的最終溫度。計(jì)算中t3取負(fù)值。銅的比熱c10.1kcal/kg·0C，水的比熱c21kcal/kg·0C，冰的比熱c30.5kcal/kg·0C，冰的熔解熱L80kcal/kg。解：可能存在三種不同的終態(tài)：（a）只有冰；（b）冰水共存；（c）只有水。（a）冰溫度升高，但沒有熔化，達(dá)到某一（負(fù)）溫度ta；放出的熱量和吸收的熱量相等： c3 m3（tat3）（c1 m1c2 m2）（t12ta）m2L得出最終的溫度為（1）情況（a）的條件是ta（注：指00C），如果上式的分子為負(fù)值，我們得到下列條件：（c1

13、 m1c2 m2）t12c3 m3t3m2L（2）（c）現(xiàn)在讓我們討論冰塊全部熔化的情況。設(shè)它們最終的溫度為tc，冰塊吸收的熱量等于量熱器和水放出的熱量：c3 m3（0t3）m3 Lc2 m3tc（c1 m1c2 m2）（t12tc）得出最終的溫度為 （3）這種情況只有在tc時(shí)才能發(fā)生。取上式的分子為正值，得到下列條件：（c1 m1c2 m2）t12c3 m3t3m3L（4）（b）冰水共存這種情況是冰和水混合后都以00C共存于量熱器中。根據(jù)（2）式和（4）式，條件為：c3 m3t3m2L（c1 m1c2 m2）t12c3 m3t3m3L如果混合后有x克冰熔化了，則c3 m3t3x L（c1 m

14、1c2 m2）t12故冰熔化了的質(zhì)量為于是混合后，在量熱器中有質(zhì)量為（m3x）的冰和質(zhì)量為（m2x）的水。x為負(fù)值意味著有水結(jié)為冰，冰的質(zhì)量增加。對于給定的數(shù)值，我們可以從公式容易得到最終的結(jié)果?！绢}3】在豎直平面內(nèi)有半徑R5cm的線圈（如圖）。質(zhì)量m1g的小球系在長度為l的絕緣輕繩上，從線圈的最高點(diǎn)懸掛著。當(dāng)線圈和小球兩者都帶有Q9×10-8C的相同電量時(shí)，發(fā)現(xiàn)小球在垂直線圈平面的對稱軸上處于平衡。求繩的長度。解：如果線圈上的全部電荷集中與一點(diǎn)，則庫侖力為線圈上各點(diǎn)施于小球的力與對稱軸夾角為a，它們在軸上的投影為FnFcosa。小球的重量為mg。由上圖可得：所以：7.2cm（k9&

15、#215;109N m2/C2）（注：以上解答為原解，可能有錯(cuò)）另解：如解答圖3.3.1，在線圈上取一電荷微元，長為d ，電荷量為ld ，l為線電荷密度，2R lQ。則微元電荷對小球的作用力為：把Fi沿平行軸和垂直軸分解：FniFi cosa 解答圖3.3.1FtiFi sina在線圈上取與上電荷微元對稱的電荷微元，如解答圖3.3.2。對稱的電荷微元，長也為d ，電荷量為ld ，它對小球的作用力為：把Fi沿平行軸和垂直軸分解：Fn/iFi /cosa解答圖3.3.2Ft/iFi /sinaFni與Fn/i方向相同，合力為大小相加，F(xiàn)ti與Ft/i方向相反，合力為大小相減，等于零。所以線圈對小球

16、作用的庫侖力為： FnFni對小球受力分析，小球受三力作用：重力mg、 庫侖力Fn、拉力T，如解答圖3.3.3。則： 解答圖3.3.3把Fn代入上式解得：7.2cm（k9×109N m2/C2）【題4】一塊平板玻璃放置在邊長為2cm的玻璃立方體上，兩者之間有一層平行的薄空氣隙。波長在0.4m到1.15m之間的電磁波垂直入射到平板上，經(jīng)空氣隙的兩邊表面反射而發(fā)生干涉。在此波段中只有兩種波長獲得極大的增強(qiáng)，其一是l10.4m。求空氣隙的厚度。解：光在厚度為d的空氣隙中往返，經(jīng)過的距離為2d。光被玻璃反射時(shí)，還經(jīng)受1800的相位改變。于是對波長為l1的光，增強(qiáng)的條件為：2d（k10，1，2

17、，3，）類似地，對其它波長的光，產(chǎn)生極大增強(qiáng)的條件是：2d（k20，1，2，3，）比較這兩個(gè)條件，得到：根據(jù)波長給定的范圍，得到：這個(gè)比值的最小可能值為1，最大可能值為2.875。因此我們得到關(guān)于k1和k2的下列條件：2.875（1）對不同的k1和k2，我們算出上述分?jǐn)?shù)值，得到下表：k1k20123450135791110.3311.672.3333.6720.20.611.41.82.230.140.430.7111.291.5740.110.330.560.7811.2250.090.270.450.640.811只有分?jǐn)?shù)值滿足條件（）式的各個(gè)k1和k2對才是合格的，我們已在表格中算出。但

18、其中只有一對是允許的。這就是說，我們應(yīng)當(dāng)找出這樣的一列，其中只能有一對是允許的k1和k2。從表中看出，僅有的是k12，k21這一對，其分?jǐn)?shù)值是1.67，這就是解答。對于k10.4m的光，根據(jù)2d2×0.40.21m，得到空氣隙的厚度為d0.5m由2×0.5得到第二個(gè)波長為k20.667m【實(shí)驗(yàn)題】給定一閉合電路，它是由已知電阻R、未知電阻X以及內(nèi)阻可以忽略的電源組成的。電阻X是可調(diào)電阻器，由引線、毫米標(biāo)尺、滑動接觸塊組成。另一電路由干電池和零點(diǎn)在中心的電流計(jì)組成，它與主電路的連接方式使得沒有電流流過電流計(jì)。試測定電阻X及端電壓之比。 解答圖3.5.1 解答圖3.5.2解答：

19、聯(lián)接兩種補(bǔ)償電路，如解答圖3.5.1和解答圖3.5.2。第一次測量不包括R?；瑒咏佑|塊的位置在第一次測量中由比率x給出，在第二次測量中由y給出，在此兩中測量下，電阻值之比等于電勢差之比，所以有， 解得：1,3,5把代入得：歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第屆（1970年于蘇聯(lián)的莫斯科）【題1】如圖4.1（a)、（b），在質(zhì)量M1kg的木板上有質(zhì)量m0.1kg的小雪橇。雪橇上的馬達(dá)牽引著一根繩子，使雪橇以速度v00.1m/s運(yùn)動。忽略桌面與木板之間的摩擦。木板與雪橇之間的摩擦系數(shù)0.02。把住木板，起動馬達(dá)。當(dāng)雪橇達(dá)到速度v0時(shí)，放開木板。在此瞬間，雪橇與木板端面的距離L0.5m。繩子拴在（a

20、）遠(yuǎn)處的樁子，（b）木板的端面上。試描述兩種情形下木板與雪橇的運(yùn)動。雪橇何時(shí)到達(dá)木板端面？圖4.1（a）圖4.1（b）解：（a）在第一種情形中（如圖4.1（a），雪橇處于勻速運(yùn)動狀態(tài)。雪橇與木板以不同的速度運(yùn)動。這樣引起的最大摩擦力為m mg，它作用在木板上，產(chǎn)生的加速度，直至木板達(dá)到雪橇的速度v0為止。加速時(shí)間為5.1s在這段時(shí)間內(nèi)，雪橇的位移為0.255m因此，雪橇離木板右端點(diǎn)的距離為0.5m0.255m0.245m雪橇不能達(dá)到木板的一端，因?yàn)檫@段時(shí)間以后，木板與雪橇以相同的速度v0一起運(yùn)動。在木板加速期間，馬達(dá)必須用力m mg牽引繩子，但以后馬達(dá)不能施加力的作用，它只是卷繩子。（b）在第

21、二種情形中（如圖4.1（b），木板與桌面之間無摩擦。木板與雪橇形成一個(gè)孤立系統(tǒng)，可以用動量守恒定律。當(dāng)我們放開木板時(shí)，雪橇的動量為mv0，釋放后的木板具有速度v2，它由下式?jīng)Q定：mv0M v2m（v0v2）此式表明v2，所以木板保持不動，雪橇以同一速度繼續(xù)前進(jìn)。雪橇達(dá)到木板右端的時(shí)間為5 s【題2】NaCl的晶體點(diǎn)陣由邊長為5.6×10-8cm的立方晶胞組成，它是面心立方點(diǎn)陣。鈉原子量約為23，氯原子量為35.5，NaCl密度為2.22g/cm3。試計(jì)算氫原子的質(zhì)量（如圖4.2）。解：我們先求出一個(gè)晶胞的Na離子數(shù)。在立方晶胞中心有一個(gè)離子，在立方晶胞的每一邊也有一個(gè)離子，但后者僅有

22、四分之一是屬于這個(gè)晶胞的。故鈉離子數(shù)為：1,3,5氯離子也是這個(gè)數(shù)。密度可以表示為晶圖4.2胞的質(zhì)量與體積之比，故若用m表示氫原子的質(zhì)量，則密度可表示為：解上式可求得氫原子的質(zhì)量為m1.66×10-24g1.66×10-27kg【題3】半徑r10cm的金屬球置于半徑R20cm的薄金屬空心球內(nèi)，兩球同心。內(nèi)球靠一根長導(dǎo)線經(jīng)過外球的開孔接地。若外球帶電量Q10-8C，求外球電勢（如圖4.3）。解：這里有兩個(gè)電容，并聯(lián)連接。其一由外球和內(nèi)球組成，另一由地與外球組成。由電容相加便可算出電勢。導(dǎo)體球相對遠(yuǎn)處地球的電容為，其中k9×109 N m2/C2，R為導(dǎo)體球半徑。在空

23、心球情形，如果內(nèi)球接地，電容為：， 圖4.3所以：兩個(gè)電容并聯(lián)總電容為：把R0.2m，r0.1m，k9×109 N m2/C2代入上式得：C44.4×10-12F44.4 pF故外球相對與地球的電勢為：225V（注：Ca是內(nèi)外球組成的球形電容器的電容，與內(nèi)球是否接地?zé)o關(guān)。）【題4】在半徑r2m、孔徑d0.5m的凹面鏡的焦點(diǎn)位置上，放一塊圓形屏幕，使平行于軸的所有入射光線經(jīng)凹面鏡反射后都能達(dá)到該圓形屏幕。試求圓形屏幕的直徑。如果在上述條件下圓形屏幕的直徑減少到僅由原來的1/8，問有多少部分的光能達(dá)到在同樣位置的屏幕上？解：我們只有采用較精確形式的反射定律，通過利用某些數(shù)學(xué)近似

24、來求解本題。按照教科書中通常的理論推導(dǎo)，半徑POR的凹面鏡的焦點(diǎn)位于距離R的中點(diǎn)F處。我們用h表示凹面鏡孔徑之半。在P點(diǎn)的入射光線與半徑的夾角為a，反射后與軸交于F1點(diǎn)。OP F1是等腰三角形。 圖4.4則：故實(shí)際焦點(diǎn)與理論距離的偏差為我們把圓形屏放在點(diǎn)F處，要求出屏幕的最小半徑值x。在直角三角形P F F1中，應(yīng)用通常的小角近似，得：對于小角度：，故將代入，得焦“斑”的半徑為將數(shù)值：h50/225cm；R200cm，代入即得：x0.195cm1.95mm再看問題的第二部分。如果圓形屏的半徑為x，則入射到凹面鏡的光束半徑為如果我們用半徑kx的屏代替半徑為x的屏，則入射光束的半徑為：入射光的量正

25、比于，因此本題情形是，由此得出，落在圓形屏幕上光的量將是前者的【實(shí)驗(yàn)題】桌上有三個(gè)裝在支架上的透鏡，一塊有幾何圖形的屏，一支桿和一把卷尺。僅用所給的工具，以不同的方法測定透鏡的焦距。解答：有幾種可能的方法。在凸透鏡情形，我們用目視觀查虛像的消失，并測定透鏡的距離。我們注視著實(shí)像，借助于視差把桿放在實(shí)像的位置上，測量物距和像距，從而計(jì)算出焦距。1,3,5再看凹透鏡情形。我們把凹透鏡與一個(gè)強(qiáng)會聚的凸透鏡密接在一起，并用上述方法之一測量系統(tǒng)的焦距，然后算出凹透的焦距。歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第5屆（1971年于保加利亞的索菲亞）【題1】質(zhì)量為m1和m2的物體掛在繩子的兩端，繩子跨過雙斜面頂

26、部的滑輪，如圖5.1。斜面質(zhì)量為m，與水平面的夾角為a 1和a 2。整個(gè)系統(tǒng)初態(tài)靜止。求放開后斜面的加速度和物體的加速度。斜面保持靜止的條件是什么？摩擦可以忽略。解：我們用a表示雙斜面在慣性參照系中的加速度（正號表示向右的方向）。用a0表示物體相對斜面的加速度（正號表示左邊物體m1下降）兩個(gè)物體在慣性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到（如解 圖5.1圖5.1）。用F表示繩子中的張力。對沿斜面方向的分量應(yīng)用牛頓第二定律。使物體m1加速下降的力是m1gsina 1F在慣性系中，沿斜面方向的加速度分量為a0acosa 1所以，對此斜面分量，牛頓第二定律為： 解圖5.1m1（a0acosa

27、 1）m1gsina 1F1,3,5同樣，對于m2有m2（a0acosa 2）Fm2gsina 2兩式相加：（m1cosa 1m2cosa 2）a（m1m2）a0（m1sina 1m2sina 2）g（1）我們用動量守恒原理來研究斜面的運(yùn)動。斜面在慣性系中的速度為v（向右）。物體相對斜面的速度為v0。故斜面上兩物體在慣性系中的速度的水平分量（向左）分別為：v0 cosa 1v和v0 cosa 2v利用動量守恒原理：m1（v0 cosa 1v）m2（v0 cosa 2v）m v對勻加速運(yùn)動，速度與加速度成正比，因此有：m1（a0 cosa 1a）m2（a0 cosa 2a）m a所以（2）上式給

28、出了有關(guān)加速度的信息。很明顯，只有當(dāng)兩物體都靜止，即兩個(gè)物體平衡時(shí)，斜面才靜止，這是動量守恒原理的自然結(jié)果。由方程（1）和（2），可得到加速度為：如果m1sina 1m2sina 2即則兩個(gè)加速度均為零?！绢}2】在一個(gè)帶活塞的圓筒內(nèi)裝配著著名的托里拆利裝置。在水銀柱上方有氫氣，在圓筒內(nèi)有空氣。第一步，水銀柱高度h170cm，空氣壓強(qiáng)pk11.314atm133.4kPa100cmHg，溫度為00C273K。第二步，向上提升活塞，直至水銀柱高度降為h240cm，這時(shí)空氣壓強(qiáng)為pk20.79atm80kPa60cmHg。第三步，保持體積不變，提高溫度到T3，此時(shí)水銀柱的高度為h350cm。最后，第

29、四步，溫度為T4，水銀柱的高度為h445cm，空氣壓強(qiáng)沒有改變。求出最后一步中氫氣的溫度和壓強(qiáng)。解：我們將空氣和氫氣的數(shù)據(jù)列成表。兩者溫度是相同的。玻璃管的長度用L表示。為了簡單起見，我們以裝有氫氣的管子長度的厘米數(shù)來度量氫氣的體積。壓強(qiáng)全部用cmHg為單位給出（見解圖5.2第一步至第四步）。次數(shù) 1 2 3 4氫氣壓強(qiáng)ph1ph2 ph3 ph4氫氣體積V h1 V h2V h3V h4空氣壓強(qiáng)100cmHg60cmHg pk3 pk4空氣體積V k1 V k2V k3V k4兩者溫度273K273KT3 T4解圖5.2從第一步到第二步，對氫氣應(yīng)用玻意耳定律：（L70）（10070）（L40

30、）（6040）由此式求得玻璃管的長度L130cm，因此，氫氣在第一步至第四步中體積分別為：V h160cm，V h290cm，V h380cm，V h485cm從第二步到第三步，氫氣的狀態(tài)方程為：對空氣應(yīng)用蓋呂薩克定律：從第三步到第四步，我們只有向上提升活塞，以便使空氣壓強(qiáng)保持不變。氫氣的狀態(tài)方程為：解以上方程組，得：pk3pk480cmHg，T3364K， T4451K，所以氫氣的壓強(qiáng)為：ph330cmHg ph435cmHg算出空氣的體積比為：V k1:V k2:V k46:10:12.4（注：cmHg為實(shí)用單位，應(yīng)轉(zhuǎn)換成國際單位Pa）【題3】四個(gè)等值電阻R、四個(gè)C1mF的電容器以及四個(gè)電

31、池分別在立方體的各邊連接起來，如圖5.3所示。各電池的電壓為U14V，U28V，U312V，U416V，它們的內(nèi)電阻均可忽略。（a）求每個(gè)電容器的電壓和電量，（b）若H點(diǎn)與B點(diǎn)短路，求電容器C2上的電量。解：（a）將這個(gè)網(wǎng)絡(luò)展開成平面圖（如解圖5.3.1）。由于電流不能通過電容器，所以只在圖圖5.3解圖5.3.1中A-B-C-G-H-E-A回路的導(dǎo)線中有電流。在這個(gè)回路中，電壓為12V，電阻為4R。因此電流為：于是就知道了電阻和電源兩端的電壓。設(shè)A點(diǎn)的電勢為零，就能很容易地算出各點(diǎn)的電勢。A 0 VB(U4U1)/43 VC(U4U1)/26 VG(U4U1)/2U1 10 VH(U4U1)/

32、2U1(U4U1)/413 VE(U4U1)/2U1(U4U1)/216 VD(U4U1)/2U1(U4U1)/4U3 1 VF(U4U1)/4U3U2 11 V從每個(gè)電容器兩端的電勢差，可以算出其電量如下：C1 （1110）V1V，1×10-6C。C2 （1611）V5V，5×10-6C。C3 （61）V5V， 5×10-6C。C4 （10）V1V， 1×10-6C。我們可以算出各電容器的儲能量CU 2/2。電容器C1和C4各有0.5×10-6 J，電容器C2和C3各有12.5×10-6 J。（b）H點(diǎn)與B點(diǎn)連接，我們得到兩個(gè)分電路

33、。如解圖5.3.2。在下方的分電路中，電流為，E點(diǎn)相對A點(diǎn)的電勢是U416 V，H點(diǎn)與B點(diǎn)的電勢是U428 V。F點(diǎn)的電勢為16 V于是，電容器C2兩極板的電勢均為16 V，結(jié)果C2上無電量。解圖5.3.2【題4】在直立的平面鏡前放置一個(gè)半徑為R的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，其中心距離鏡面3R，缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過球心與鏡面垂直的方向注視魚缸。一條小魚在離鏡面最近處以速度v沿缸壁游動。求觀察者看到的魚的兩個(gè)像的相對速度。水的折射率為。如圖5.4（a），5.4（b）解：魚在1秒鐘內(nèi)游過的距離為v。圖5.4（a）我們把這個(gè)距離當(dāng)作物，而必須求出兩個(gè)不同的像。在計(jì)算中，我們只考慮近軸光線和小角度

34、，并將角度的正弦用角度本身圖5.4（b）去近似。在T1點(diǎn)游動的魚只經(jīng)過一個(gè)折射面就形成一個(gè)像，如圖5.4（a）所示。從T1點(diǎn)以角度rA T1O發(fā)出的光線，在A點(diǎn)水中的入射角為r，在空氣中的折射角為n r。把出射光線向相反方向延長，給出虛像的位置在K1，顯然K1A T1n rr（n1）r從三角形K1 T1 A，有：利用通常的近似：K1AK1OR，K1AT1K1OR于是所以這個(gè)虛像與球心的距離為水的折射率，從而K1O2R。若折射率大于2，則像是實(shí)像。有像距與物距之商得到放大率為對水來說，放大率為2。以與速度v相應(yīng)的線段為物，它位于在E處的平面鏡前的距離為2R處，它在鏡后2R遠(yuǎn)的T2處形成一個(gè)與物同

35、樣大小的虛像。T2離球心的距離為5R。在一般情形下，我們假設(shè)T2OkR。T2處的虛像是我們通過球作為一個(gè)透鏡觀察時(shí)的（虛）物。因此，我們只要確定T2的實(shí)像而無需再去考慮平面鏡。如圖5.4（b）所示。我們需要求出以r角度從T2發(fā)出的光線在C點(diǎn)的入射角，其中rCT2F。在三角形T2OC中，k r玻璃中的折射角為：需要算出DOB。因?yàn)椋篊OFrk rrr（k1）而且COD與C點(diǎn)和D點(diǎn)的兩角之和相加，或與COF和DOB之和相加，兩種情況都等于1800，因此即從三角形DOK2，有此外，因此像距為：若k5，n，得放大率為若k5，n，則放大率為綜合以上結(jié)果，如魚以速度v向上運(yùn)動，則魚的虛像以速度v向上運(yùn)動，

36、而魚的實(shí)像以速度v向下運(yùn)動。兩個(gè)像的相對速度為vvv，是原有速度的倍。我們還必須解決的最重要的問題是：從理論上已經(jīng)知道了像是如何運(yùn)動的，但是觀察者在做此實(shí)驗(yàn)時(shí)，他將看到什么現(xiàn)象呢？兩個(gè)像的速度與魚的真實(shí)速度值，從水中的標(biāo)尺上的讀數(shù)來看，是一致的，實(shí)際上觀察到兩個(gè)反向的速度，其中一個(gè)是另一個(gè)的三倍，一個(gè)像是另一個(gè)像的三倍。我們應(yīng)當(dāng)在遠(yuǎn)處看，因?yàn)槲覀円瑫r(shí)看清楚魚缸后遠(yuǎn)處的一個(gè)像。兩個(gè)像的距離8.33R。用肉眼看實(shí)像是可能的，只要我們在比明視距離遠(yuǎn)得多的地方注視它即可。題目中講到“在遠(yuǎn)處的觀察者”，是指他觀察從兩個(gè)不同距離的像射來光線的角度變化。只要觀察者足夠遠(yuǎn)，盡管有距離差，但所看到的速度將逐漸

37、增加而接近。他當(dāng)然必須具有關(guān)于魚的實(shí)際速度（v）的一些信息。兩個(gè)像的相對速度與物的原始速度之比的普遍公式為：用一個(gè)充滿水的圓柱形玻璃缸，一面鏡子和一支桿，這個(gè)實(shí)驗(yàn)很容易做到。沿玻璃缸壁運(yùn)動的桿代表一條魚。【實(shí)驗(yàn)題】測量作為電流函數(shù)的給定電源的有用功率。確定電源的內(nèi)阻Rb和電動勢U0。畫出作為外電阻R函數(shù)的有用功率，總功率以及效率h的曲線。解答：端電壓為電流為總功率為P0U0I有用功率為：PU I效率為利用以上公式，得到要求的六個(gè)函數(shù)，如解圖5.4（a）（f）所示。PU0IRbI2PP0U0I P0 h 1 h 1,3,5測出適當(dāng)選擇的兩個(gè)值，由以上公式便可求出Rb和U0。這些數(shù)據(jù)應(yīng)該是獨(dú)立于外

38、負(fù)載，所以這樣的測量并不可靠，大負(fù)載時(shí)尤其如此。歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第屆（1972年于羅馬尼亞的布加勒斯特）【題】給定三個(gè)圓柱，它們的長度、外徑和質(zhì)量均相同。第一個(gè)是實(shí)心圓柱；第二個(gè)是空心圓筒，壁有一定厚度；第三個(gè)是同樣壁厚的圓筒，但兩端用薄片封閉，里面充滿一種密度與筒壁相同的液體。如將它們放在傾角為的斜面上，如圖6.1所示，求出并比較這些圓柱的線加速度。研究光滑滾動與又滾又滑兩種情況。圓柱與斜面的摩擦系數(shù)為，液體與筒壁之間的摩擦可以忽略。解：沿斜面方向作用在圓柱上的力是：作用于質(zhì)心重力的分量mg sina和作用于接觸點(diǎn)的摩擦力S，如圖6.1所示。產(chǎn)生的加速度a ：mamg si

39、naS1,3,5純滾動時(shí)的角加速度為：轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程為：以上方程組的解為：（）當(dāng)S達(dá)到最大可能值mg cosa時(shí)，也就到了純滾動的極限情形，這時(shí)：即維持純滾動的極限條件為（）下面我們來研究三個(gè)圓柱體的純滾動情形。（）實(shí)心圓柱的轉(zhuǎn)動慣量為從（）式和（）式分別得到，tan ah角加速度為：（）設(shè)空心圓筒壁的密度是實(shí)心圓柱密度的n倍。因已知圓柱的質(zhì)量是相等的，故可以算出圓筒空腔的半徑r：即轉(zhuǎn)動慣量為：由（）式和（）式分別算出：，角加速度為：（）對充滿液體的圓筒，因液體與筒壁之間無摩擦力，故液體不轉(zhuǎn)動?？傎|(zhì)量為m，但轉(zhuǎn)動慣量只需對圓筒壁計(jì)算：由（）式和（）式分別算出：，角加速度為：現(xiàn)在比較三個(gè)圓柱體的

40、運(yùn)動特點(diǎn)：線加速度和角加速度之比為：1極限角正切之比為：1如果斜面傾角超過極限角，則圓柱又滑又滾。此時(shí)三個(gè)圓柱體的摩擦力均為mg cosa，故線加速度相同，為：ag（sinamcos a）角加速度由給出，但轉(zhuǎn)動慣量在三種情況下各不相同。因此，若圓柱體又滾又滑，則三種情況下的角加速度分別為：【題】有兩個(gè)底面積為1dm2的圓筒，如圖6.2所示，左方圓筒裝有一種氣體，氣體的質(zhì)量4g，體積22.4L，壓強(qiáng)1atm，溫度00C。右方圓筒裝有同種氣體，氣體的質(zhì)量7.44g，體積22.4L，壓強(qiáng)1atm，溫度00C。左方圓筒筒壁絕熱，右方圓筒靠一個(gè)大熱庫維持溫度00C。整個(gè)系統(tǒng)在真空中。放開活塞，它移動了5

41、dm后達(dá)到平衡并靜止。試問右方圓筒中的氣體吸收了多少熱量？氣體等容比熱為0.75cal/gK。圖6.2解：放開連桿前，右方氣體壓強(qiáng)為：7.44/41.86（atm）在達(dá)到平衡時(shí)，左方氣體體積為22.4517.4（dm3），右方氣體體積為22.4527.4（dm3）。左方氣體經(jīng)絕熱過程升高溫度到T，壓強(qiáng)為p。右方氣體經(jīng)等溫膨脹到同一壓強(qiáng)。等溫膨脹由下式表示：1.86×22.4×27.4解得： p1.521 atm對左方氣體應(yīng)用絕熱過程定律，得：1×22.4k1.521×17.4k由此可求得比熱之商k如下1.2874k1.521k1.66（看來它是一種單原子

42、氣體：氦。）左方氣體的溫度可從狀態(tài)方程算出：解得：T322.5Kt49.50C在這個(gè)過程中，右方氣體的溫度沒有改變，它吸收了0.75×4×49.5148.5 cal的熱量，這些熱量表現(xiàn)為氣體的內(nèi)能注。（注：此處是指左方氣體的內(nèi)能。因?yàn)橛曳綒怏w等溫膨脹，所吸收的熱量等于它對左方氣體所作的功。左方氣體絕熱壓縮，右方氣體對它所作的功等于左方氣體內(nèi)能的增量。）【題】將焦距為f的一個(gè)透鏡，沿其表面的垂直方向切割成兩部分。把兩個(gè)半透鏡移開一段小距離，如果在透鏡的一方距離t f處放置一個(gè)單色點(diǎn)光源，問在透鏡的另一方距離H處的屏幕上將出現(xiàn)多少干涉條紋？解：由兩部分透鏡所產(chǎn)生的像是相干光源，

43、所以可以發(fā)生干涉。設(shè)兩個(gè)點(diǎn)光源的距離為d，若光程差等于波長，則在h遠(yuǎn)處的屏幕上將出現(xiàn)第一個(gè)極強(qiáng)，如解圖6.1所示。即：dsina解圖6.1由于a是小角，取近似，各級極強(qiáng)的間距為：，下面計(jì)算兩個(gè)焦點(diǎn)的位置。一個(gè)點(diǎn)光源位于焦距為f的透鏡前t距離處，它產(chǎn)生的實(shí)像位于，如解圖6.2所示。解圖6.2若切口的寬度為，則兩實(shí)像點(diǎn)間的距離可從下列比例式中得到：因此像點(diǎn)K1和K2是相干光源。它們發(fā)射出來的光束的干涉在屏幕上觀察到。條紋的間距為，其中d為已知。屏幕到像點(diǎn)的距離為：在此實(shí)驗(yàn)中，條紋間距為：干涉條紋出現(xiàn)在K1和K2發(fā)出的兩束光交疊處。由相似三角形求得兩束光交疊部分的直徑為用S除D，得條紋數(shù)目為如果f

44、10cm，t20cm，0.1cm，0.5m，H50cm，則得N46.6 。當(dāng)屏幕比A點(diǎn)更近時(shí)，對D必須另作計(jì)算。如屏幕在B點(diǎn)以內(nèi)，則無干涉條紋。【實(shí)驗(yàn)題】給定兩個(gè)圓柱體，它們的大小、形狀、材料均相同，其一是實(shí)心體，另一個(gè)內(nèi)部有一個(gè)與圓柱軸平行的圓柱形空腔。后者兩端用薄片封閉。試確定材料密度，以及空腔軸與圓柱軸之間的距離。1,3,5解答：實(shí)心圓柱體的密度可由其質(zhì)量和體積確定。其次我們測量有空腔的圓柱體的質(zhì)量，根據(jù)兩個(gè)圓柱體質(zhì)量之差，算出空腔的體積和直徑。為求出兩軸的距離，可以用幾種方法。例如，把圓柱體放在水平面上。確定使它恢復(fù)平衡的力矩最大時(shí)的位置，這時(shí)兩軸構(gòu)成的平面是水平面，由于知道了空腔的大

45、小，便可算出軸間距離。另一種方法在于測定圓柱體對空腔最近或最遠(yuǎn)的那條母線的轉(zhuǎn)動慣量。歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第屆（1974年于波蘭的華沙）【題1】一個(gè)處于基態(tài)的氫原子與另一個(gè)靜止基態(tài)的氫原子碰撞。問可能發(fā)生非彈性碰撞的最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光發(fā)射，且在原速度方向可以觀察到光。問這種光的頻率與簡正頻率相差多少？氫原子質(zhì)量是1.67×10-27kg，電離能E13.6 eV2.18×10-18 J。解：處于基態(tài)的氫原子能量為，第一激發(fā)態(tài)能量為。被氫原子吸收的最小能量為 J我們必須求出在碰撞中能量損失為以上數(shù)據(jù)代最小速度。如果碰撞是完全非彈性的，則碰撞中能量損

46、失最大，碰撞后的速度將是v/2，初動能與末動能之差為：這個(gè)值應(yīng)等于最小的能量子因此m/s非彈性碰撞后，兩個(gè)原子的速度為m/s本題第二問的解答與多普勒效應(yīng)有聯(lián)系。對于比光速小很多的速度，相對速度之比給出頻率相對變化的極好近似：6.26×1043×1082.09×10-42.09×10-2 %兩束光的頻率按此比率稍小于或稍大于簡正頻率?！绢}2】給定一厚度為d的平行平板，其折射率按1,3,5下式變化束光在O點(diǎn)由空氣垂直射入平板，并在A點(diǎn)以角度a 射出，如圖7.1所示。求A點(diǎn)的折射率nA，并確定A點(diǎn)的位置及平板的厚度。（設(shè)n01.2，r13cm，1300） 圖7

47、.1解：首先考慮光的路線，如解圖7.1所示。對于經(jīng)過一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應(yīng)用斯奈爾 定律：，更簡單的形式是：這個(gè)公式對任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿x軸變化，即常數(shù)解圖7.1在本題中，垂直光束從折射率為n0的點(diǎn)入射，即nxn0bx900則常數(shù)等于n0，于是在平板內(nèi)任意一點(diǎn)有n0nx與x的關(guān)系已知，因此沿平板中的光束為：由解圖7.2表明光束的路徑是一個(gè)為XCr的圓，解圖7.2從而有：現(xiàn)在我們已知光的路徑，就有可能找到問題的解答。按照折射定律，當(dāng)光線在A點(diǎn)射出時(shí)，有：因?yàn)閚A sin bAn0，故有：于是因此在本題情形n A1.3由得出A點(diǎn)的x坐標(biāo)為x1 cm光

48、線的軌跡方程為y 2（1x）2r 2代入x1 cm，得到平板厚度為yd5 cm【題3】一科學(xué)探險(xiǎn)隊(duì)因船只失事流落荒島。他們沒有能源，卻發(fā)現(xiàn)了一種惰性氣體源。這種氣體比空氣重，其壓強(qiáng)與溫度同周圍的大氣相等。探險(xiǎn)隊(duì)有兩個(gè)膜片，其中一個(gè)能滲透該氣體，另一片只能滲透空氣。試設(shè)計(jì)一個(gè)做工的熱機(jī)。解：我們要用到兩個(gè)重要的定律。如果一個(gè)容器中裝著氣體混合物，則每種氣體的分壓強(qiáng)等于這種氣體在同樣溫度下單獨(dú)占據(jù)相同體積時(shí)的壓強(qiáng)。壓強(qiáng)計(jì)在混合氣體中讀出的是各分壓強(qiáng)之和。如果一膜片對某一氣體是可滲透的，則在膜片兩側(cè)該氣體的分壓強(qiáng)相等。我們設(shè)計(jì)這樣的熱機(jī)（見解圖7.3）對惰性氣體能滲透的那張膜片裝在管子里，這個(gè)管子把

49、氣源與活塞下面的圓筒連通。對空氣能滲透的那張膜片裝在圓筒底部。在活塞下部總有同樣的一個(gè)大氣壓壓強(qiáng)，因而空氣對所做的功來說是沒有關(guān)系的。首先，打開管中的閥門，導(dǎo)通可滲透氣體的膜片。膜片兩側(cè)氣體的分壓強(qiáng)將相等，于是活塞下部也有這一分壓強(qiáng)。結(jié)果圓筒內(nèi)總壓強(qiáng)將達(dá)到二個(gè)大氣壓，活塞上升做功。關(guān)閉閥門可停止活塞的上升運(yùn)動，然后打開閥門，活塞回到初始位置而不做功。解圖7.3如果圓筒導(dǎo)熱良好，且過程足夠緩慢，則上述過程是等溫的，做功等于這個(gè)過程不是循環(huán)過程，我們也不在乎它的效率。有兩個(gè)膜片就可以實(shí)現(xiàn)上述過程，只要有一個(gè)周圍是真空的氣體源?！緦?shí)驗(yàn)題】兩個(gè)同類的半導(dǎo)體二極管和一個(gè)歐姆電阻以未知方式聯(lián)接，并封閉在一個(gè)盒里。盒子有兩個(gè)引出線接線柱，不打開盒子試測量該電阻的歐姆值。解答：分別在兩個(gè)方向測定兩個(gè)不同電壓下的電流，我們得到下列結(jié)果：兩個(gè)方向都能觀測到電流，但并不相同，且不是電壓的線性函數(shù)。根據(jù)這些結(jié)果，不難畫出如解圖7.4所示的網(wǎng)絡(luò)。 解圖7.4其次，畫出兩個(gè)方向的伏安圖，找到在兩個(gè)方向上電流相同的兩個(gè)電壓。電壓之差1,3,5給出電阻兩端的電壓，除以電流，得出電阻的歐姆值。歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第8屆（1975年于德意志民主共和國的居斯特羅）【題1】一根桿以恒定的角速度繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿與軸的夾角為（900）。質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)可以沿桿滑動，摩擦系數(shù)為 。求