最全的圓錐曲線軌跡方程求法

1、圓錐曲線軌跡方程的解法目錄一題多解2一直接法3二. 相關點法6三. 幾何法10四. 參數(shù)法12五. 交軌法14六. 定義法16一題多解設圓c：（x1）2+y2=1，過原點o作圓的任意弦oq，求所對弦的中點p的軌跡方程。一直接法設p（x,y），oq是圓c的一條弦，p是oq的中點，則cpoq，x0,設oc中點為m（），則|mp|=|oc|=，得（x）2+y2=(x0)，即點p的軌跡方程是（x）2+y2= (0x1)。二定義法opc=90°，動點p在以m（）為圓心，oc為直徑的圓（除去原點o）上，|oc|=1，故p點的軌跡方程為（x）2+y2=(0x1)3 相關點法設p（x,y）,q(x1

2、,y1)，其中x10,x1=2x,y1=2y,而（x11）2+y2=1(2x1)2+2y2=1,又x10,x0,即（x）2+y2=(0x1）四參數(shù)法設動弦pq的方程為y=kx,代入圓的方程（x1）2+kx2=1，即（1+k2）x22x=0,設點p（x,y），則消去k得（x）2+y2=(0x1）另解 設q點（1+cos,sin），其中cos1,p(x,y)，則消去得（x）2+y2=(0x1）一直接法 課本中主要介紹的方法。若命題中所求曲線上的動點與已知條件能直接發(fā)生關系，這時，設曲線上動點坐標后，就可根據(jù)命題中的已知條件研究動點形成的幾何特征，在此基礎上運用幾何或代數(shù)的基本公式、定理等列出含有、

3、的關系式。從而得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為直接法。 例題1等腰三角形的定點為，底邊一個端點是，求另一個端點的軌跡方程。練習一1.已知點、，動點滿足。求點的軌跡方程。2. 線段ab的長等于2a,兩個端點a和b分別在x軸和y軸上滑動，求ab中點p的軌跡方程？3.動點p（x,y）到兩定點和的距離的比等于2（即：）。求動點p的軌跡方程？4.動點p到一高為h的等邊abc兩頂點a、b的距離的平方和等于它到頂點c的距離平方，求點p的軌跡？5.點與一定點的距離和它到一定直線的距離的比是。求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。7.已知是圓內(nèi)的一點，a、b是圓上兩動點，且滿足apb=90°，求

4、矩形apbq的頂點q的軌跡方程。8.過原點作直線和拋物線交于a、b兩點，求線段ab的中點m的軌跡方程。二. 相關點法利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解，就得到原動點的軌跡。例題2已知一條長為6的線段兩端點a、b分別在x、y軸上滑動，點m在線段ab上，且am : mb=1 : 2，求動點m的軌跡方程。練習二1.已知點在圓上運動，求點m的軌跡方程。 2.設p為雙曲線上一動點，o為坐標原點，m為線段op的中點。求點m的軌跡方程。3.設，點在軸上，點在軸上，且，當點p在軸上運動時，求點n的軌跡方程。4.已知abc的頂點，頂點a在曲線上運

5、動，求abc重心g的軌跡方程。 5.已知a、b、d三點不在同一條直線上，且、，求e點的軌跡方程。6.abc的三邊ab、bc、ca的長成等比數(shù)列，且，點b、c坐標分別為、，求定點a的軌跡方程。7.已知點，p是圓o：上任意一點，p在x軸上的射影為q ，動點g的軌跡為c，求軌跡c的方程。 8.已知橢圓上任意一點p，由點p向x軸作垂線段pq，垂足為q ，點m在pq上，且，點m的軌跡為c，求曲線c的方程。9.如圖，從雙曲線上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程。10.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點的動直線與雙曲線相交于a、b兩點。（i） 若動點m滿足（其中o為坐標原點），求點m的軌跡方

6、程；（ii）在軸上是否存在定點c，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。三. 幾何法求動點軌跡問題時，動點的幾何特征與平面幾何中的定理及有關平面幾何知識有著直接或間接的聯(lián)系，且利用平面幾何的知識得到包含已知量和動點坐標的等式，化簡后就可以得到動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方程的方法稱為幾何法。例題3已知定點，點p在曲線上運動，aop的平分線交于q點，其中o為原點，求點q的軌跡方程。練習三1.如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，p是側(cè)面bc1內(nèi)一動點，若p到直線bc與直線c1d1的距離相等，求動點p的軌跡所在的曲線。2.已知點c的坐標是，過點c的直線ca與x軸交于點a，

7、過點c且與直線ca垂直的直線cb與y軸交于點b。設點m是線段ab的中點，求點m的軌跡方程。 3.已知經(jīng)過點的直線，經(jīng)過的直線為，若，求與交點s的軌跡方程。4.求圓心在拋物線（）上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程。5.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于m、n兩點，mn中點的橫坐標為，求此雙曲線方程。6.已知動點p到定點f（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點p的軌跡方程。四. 參數(shù)法有時候很難直接找出動點的橫、縱坐標之間關系。如果借助中間量（參數(shù)），使之間的關系建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，這便可得動點的軌跡方程。例題4 過不在坐標軸上的定點的動直線交兩坐標

8、軸于點a、b，過a、b坐標軸的垂線交于點p，求交點p的軌跡方程。練習四1.過點p（2，4）作兩條互相垂直的直線、，若交x軸于a點，交y軸于b點，求線段ab的中點m的軌跡方程。2.一個動圓的解析式為，求圓心的軌跡方程。3.過圓o：外一點a（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦bc的中點m的軌跡。 4.點，b、c是圓上的動點，且abac，求bc中點p的軌跡方程。五. 交軌法 求兩條動曲線交點的軌跡方程時，可選擇同一個參數(shù)及動點坐標x、y分別表示兩條曲線方程，然后聯(lián)立消去參數(shù)便得到交點的軌跡方程，這種方法稱為交軌法。例5 已知直線過定點，且是曲線的動弦p1p2的中垂線，求直線與動弦p1p2交點m

9、的軌跡方程。練習五 1.求兩條直線與的交點的軌跡方程。2.當參數(shù)m隨意變化時，求拋物線的頂點的軌跡方程。3.設a1、a2是橢圓的長軸兩個端點，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端點。求直線a1p1與a2p2交點的軌跡方程。4.已知雙曲線=1 (m0，n0)的頂點為a1、a2，與y軸平行的直線交雙曲線于點p、q。求直線a1p與a2q交點m的軌跡方程。5.已知橢圓，直線l：，p是l上一點，射線op交橢圓于r，有點q在op上，且滿足，當p在l上移動時，求點q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。六. 定義法求軌跡方程時，若動點軌跡的條件滿足某種已知曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可以直接根據(jù)定義

10、求出動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫定義法。常見已知曲線：（1）圓：到定點的距離等于定長（2）橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）（3）雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）（4）拋物線：到定點與定直線距離相等。例題61.設圓的圓心為a，直線過點且與x軸不重合，交圓a于c、d兩點，過b作ac的平行線交ad于點e。證明為定值，并寫出點e的軌跡方程。 2.已知abc的頂點a，b的坐標分別為，c 為動點，且滿足。求點c的軌跡。練習六 1.已知圓m：，圓n：，動圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切，圓心p的軌跡為曲線c。求c的方程。 2.動點p到直線的距離與它到點（2，1）的距離之比為，則點p的軌跡是什么？ 3.點m到點f（4，0）的距離比它到直線的距離小1。求