職高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下人教版教案三角函數(shù)

1、1職高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下（人教版）教案：三角函數(shù)職高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下（人教版）教案：三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識一、基礎(chǔ)知識定義 1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長為 l，則其弧度數(shù)的絕對值|=,其中 r 是圓的半徑。rl定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點(diǎn)的點(diǎn)

2、 p，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y） ，到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù) cos=,正切函數(shù)ryrxtan=，余切函數(shù) cot=，正割函數(shù) sec=,余割函數(shù) csc=xyyxxr.yr定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,sin=，cos=；商數(shù)關(guān)系：cot1csc1sec1tan=；乘積關(guān)系：sincoscot,cossintancos=sin,cotsin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理 2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=

3、cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶222不變，符號看象限） 。定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（xr）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，22 ,22kk232 ,22kk最小正周期為 2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+時，y 取最大值 1，當(dāng)2且僅當(dāng) x=3k-時, y 取最小值-1。對稱性：直

4、線 x=k+均為其對稱軸，點(diǎn)22（k, 0）均為其對稱中心，值域?yàn)?1，1。這里 kz.定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(xr)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線 x=k 均為其對稱軸，點(diǎn)均為其對稱0 ,2k中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2k 時，y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2k- 時，y 取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里 kz.2定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+22)上為增函數(shù), 最小正周期為 ，值域?yàn)椋?，+） ，點(diǎn)（k

5、，0） ，2（k+，0）均為其對稱中心。2定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan定理 7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,2222sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),2121coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).2121定理 8 倍角公式:sin2

6、=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22定理 9 半角公式:sin=,cos=,22)cos1 (22)cos1 (tan=2)cos1 ()cos1 (.sin)cos1 ()cos1 (sin定理 10 萬能公式: , ,2tan12tan2sin22tan12tan1cos22.2tan12tan2tan2定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實(shí)數(shù)且 a2+b20，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)(a, b)的一個角為 ，則 sin=,cos=，對任意22bab22baa的角 .asin+bcos=s

7、in(+).)(22ba 定理 12 正弦定理：在任意abc 中有，其中 a, b, crccbbaa2sinsinsin3分別是角 a，b，c 的對邊，r 為abc 外接圓半徑。定理 13 余弦定理：在任意abc 中有 a2=b2+c2-2bcosa，其中 a,b,c 分別是角a，b，c 的對邊。定理 14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得 y=sinx+k 的圖象；經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象（相位變換） ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?得到 y=sin()的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ax0倍，得到 y=asinx 的圖象（振幅變換） ；

8、y=asin(x+)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?a 倍，得到 y=asinx 的圖象（振幅變換） ；y=asin(x+)(, 0)(|a|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到 y=asinx的圖象。定義 4 函數(shù) y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x-2,2x1, 1)，函數(shù) y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù) y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=arctanx(x-, +). 2,2xy=cosx(x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作 y=arccotx(x-, +).

9、定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nz。方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kz. 如果 ar，方程tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kz。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.22定理 16 若，則 sinxx-1，所以 cos，,2x0 ,2x所以 sin(cosx) 0,又 00，所以 cos(sinx)sin(cosx).若，則因?yàn)?, 0 xsinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)2cos22

10、sin222xx44244，22所以 0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).2綜上，當(dāng) x(0,)時，總有 cos(sinx)0，求證：2. 2sincossincosxx【證明】 若 +，則 x0，由 -0 得 coscos(-)=sin,222所以 0sin(-)=cos, 所以 01，sincos2sincos所以. 2sincossincossincossincos00 xx若 +，則 x0，由 0-cos(-)=sin0,2222所以1。又 0sin1，sincos2sincos所以，得證。2sincossincossincossincos00 xx注：以上兩

11、例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3最小正周期的確定。例 4 求函數(shù) y=sin(2cos|x|)的最小正周期?！窘狻?首先，t=2 是函數(shù)的周期（事實(shí)上，因?yàn)?cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx） ；其次，當(dāng)且僅當(dāng) x=k+時，y=0（因?yàn)閨2cosx|2）,2所以若最小正周期為 t0，則 t0=m, mn+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 t0=2。4三角最值問題。例 5 已知函數(shù) y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值。x2cos1【解法一】 令 sinx=,4304sin2cos1,cos22x則有 y=).

12、4sin(2sin2cos2因?yàn)椋裕?30442所以1，)4sin(05所以當(dāng)，即 x=2k-(kz)時，ymin=0，432當(dāng)，即 x=2k+(kz)時，ymax=2.42【解法二】 因?yàn)?y=sinx+,)cos1(sin2cos1222xxx=2（因?yàn)?a+b)22(a2+b2)） ，且|sinx|1，所以 0sinx+2，x2cos1x2cos1所以當(dāng)=sinx，即 x=2k+(kz)時, ymax=2，x2cos12當(dāng)=-sinx，即 x=2k-(kz)時, ymin=0。x2cos12例 6 設(shè) 0，求 sin的最大值。)cos1 (2【解】因?yàn)?00, cos0.22022所

13、以 sin（1+cos）=2sincos2= 2222cos2cos2sin22222=322232cos2cos2sin22.9342716當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得22222222最大值。934例 7 若 a，b，c 為abc 三個內(nèi)角，試求 sina+sinb+sinc 的最大值?！窘狻?因?yàn)?sina+sinb=2sincos, 2ba2sin22babasinc+sin, 23sin223cos23sin23ccc又因?yàn)椋?sin243cos43sin223sin2sincbacbacba由，得 sina+sinb+

14、sinc+sin4sin,33所以 sina+sinb+sinc3sin=,3233當(dāng) a=b=c=時， （sina+sinb+sinc）max=.3233注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值6不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。5換元法的使用。例 8 求的值域。xxxxycossin1cossin【解】 設(shè) t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222xxx因?yàn)? 1)4sin(1x所以. 22t又因?yàn)?t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=，所以，212t211212ttxy所以.2122

15、12y因?yàn)?t-1，所以，所以 y-1.121t所以函數(shù)值域?yàn)?212, 11,212y例 9 已知 a0=1, an=(nn+)，求證：an.11121nnaa22n【證明】 由題設(shè) an0，令 an=tanan, an，則2, 0an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因?yàn)?，an，所以 an=，所以 an=21na2, 0121na.210an又因?yàn)?a0=tana1=1，所以 a0=，所以。4nna214又因?yàn)楫?dāng) 0 xx，所以2.22tan22nnna注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當(dāng) x

16、時，有 tanxxsinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)2, 0數(shù)后，證明是很容易的。6圖象變換：y=sinx(xr)與 y=asin(x+)(a, , 0).由 y=sinx 的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶 倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得?y=asin(x+)的1圖象；也可以由 y=sinx 的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?a 倍，再7保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個單位，得到1y=asin(x+)的圖象。例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 r 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)

17、間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。0 ,43m2, 0【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意 xr 成立。又 0，解得=，2因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。0 ,43m)43()43(xfxf取 x=0，得=0，所以 sin)43(f. 0243所以(kz)，即=(2k+1) (kz).243 k32又0，取 k=0 時，此時 f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取 k=1 時，=2，此時 f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；22取 k=2 時，此時 f(x)=sin(x+)在0，上不是單

18、調(diào)函數(shù)，31022綜上，=或 2。327三角公式的應(yīng)用。例 11 已知 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，135135,22 ,23求 sin2,cos2 的值?！窘狻?因?yàn)?-，所以 cos(-)=-,2.1312)(sin12又因?yàn)?+，所以 cos(+)=2 ,23.1312)(sin12所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,169120cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 12 已知abc 的三個內(nèi)角 a，b，c 成等差數(shù)列，且，bcacos2cos1cos1試求

19、的值。2cosca【解】 因?yàn)?a=1200-c，所以 cos=cos(600-c)，2ca又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000ccccccca8=，2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60cos(60cos2000000cccc所以=0。232cos22cos242caca解得或。222cosca8232cosca又0，所以。2cosca222cosca例 13 求證：tan20 +4cos70 .【解】 tan20 +4cos70 =+4sin2020cos20sin20cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin2