線性方程組題庫

1、知識(shí)能力層次一、 填空（每題2分）設(shè)方程組有非零解，則 。2線性方程組有非零解，則。3方程組有無窮多解，則 。4非齊次線性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是_。5設(shè)是階方陣,是齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解向量,則 。6設(shè)為三階方陣，秩，是線性方程組的解，已知，則線性方程組的通解為 。7三元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，已知該方程組的兩個(gè)解分別為 ，則的全部解可表為 。8設(shè)，欲使線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，則= 。9當(dāng) 時(shí)，線性方程組無解。10方程組=的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)是_ _1_。11若5元線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無關(guān)的解向量，則 3 。12設(shè)線性方程組有解，則應(yīng)滿

2、足條件。13設(shè)齊次線性方程組為，則它的基礎(chǔ)解系中所包含的向量個(gè)數(shù)為n-1。14設(shè)是非齊次線性方程組的解向量，則是方程組的解向量15設(shè)為非齊次線性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個(gè)解，則。16設(shè)矩陣，則齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為。17若方程組有惟一解，則所滿足的條件是。18設(shè)n元齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量個(gè)數(shù)是n，則為 零矩陣 。19設(shè)是階矩陣，如果，則任何n個(gè)線性無關(guān)的n維向量都是的基礎(chǔ)解系。20設(shè)n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線性方程組的通解為 。二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）1線性方程組 （ a ）a. 無解 b. 只有0解 c. 有惟一解 d

3、. 有無窮多解2設(shè)方程組， 當(dāng)=（ b ）時(shí)，方程組有非零解。a.0 b. ±1 c. 2 d. 任意實(shí)數(shù)3已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則 （ d ）a方程組有無窮多解b. 方程組無解c. 方程組有惟一解或無窮多解 d. 方程組可能無解，也可能有無窮多解4. 若齊次線性方程組有非零解，則的值為（ c）a b c d 5當(dāng)（ c ）時(shí)，僅有零解。 a b c d6設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是（ d ）a的行向量組線性無關(guān) b的行向量組線性相關(guān)c的列向量組線性相關(guān) d的列向量組線性無關(guān)7設(shè)a為m×n矩陣，且非齊次線性方程組有惟一解，則必有（c）am=nbr (a)=

4、 mcr (a)=ndr (a)< n8若方程組存在基礎(chǔ)解系，則等于（）a2b3c4d59. 設(shè)矩陣，則非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是 （ b ）a bc d10若，則元線性方程組（ d ） a有無窮多解 b有唯一解 c無解 d不一定11. 設(shè)齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，是的解，則下列正確的是 （ a ）a是的解 b是的解 c是的解 d是的解12設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是（ d ）a的行向量組線性無關(guān) b的行向量組線性相關(guān)c的列向量組線性相關(guān) d的列向量組線性無關(guān)13設(shè)齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，是的解，則下列正確的是（ a ）a是的解 b是的

5、解 c是的解 d是的解14已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則 ( d ) a方程組有無窮多解b 方程組無解c方程組有唯一解或無窮多解d方程組可能無解，也可能有無窮多解15是n元線性方程組有惟一解的（）a充分必要條件 b充分條件 c必要條件d無關(guān)條件16已知線性方程組無解，則（）a. b. c. d. 17為矩陣，是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確的是（ a ） a有無窮多解，則有非零解b有無窮多解，則僅有零解c僅有零解，則有唯一解d有非零解，則有無窮多解18設(shè)為矩陣，有解，則（）a當(dāng)有惟一解時(shí)， b當(dāng)有惟一解時(shí)， c當(dāng)有無窮解時(shí),只有零解d.當(dāng)有無窮解時(shí)， 19線性方程組有解的充

6、分必要條件是（）a. b. c. d. 20齊次線性方程組，（ ）是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。a. b. c. d. 三、判斷題（每題2分）1若是的解，則也是它的解。 （ 是 ）2若是齊次線性方程組的解向量的一個(gè)極大無關(guān)組，則是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 （ 是 ）3若齊次線性方程組有非零解，則線性方程組就一定有解。（ 否 ）4若有無窮多組解，則有非零解。 （ 是 ）5n線性非齊次方程組只要其系數(shù)矩陣的a秩,就一定有無窮多組解。（ 否 ）6齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不是惟一的。7是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（ 是 ）8方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量。 （ 是 ）9線性方程組在時(shí)，是有解的。 （ 是 ）1

7、0任何齊次線性方程組都有基礎(chǔ)解系。 （ 否 ）11是方程組的一般解。 （ 是 ）12方程組的一般解可表示為。 （ 否 ）13時(shí)，方程組有解。 （ 否 ）14與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系。 （ 是 ）15若是一個(gè)線性方程組的解，那么（其中）也是它的一個(gè)解。 （ 是 ）16方程組有非零解。 （ 否 ）17方程組與方程組是同解的方程組。（ 是 ）18用初等變換解，可以對(duì)實(shí)行列等行變換。 （ 否 ）19若是的解，是的解，則是的解。 （ 否 ）20給定方程組，當(dāng)時(shí)，方程組有解。（ 否 ）理解能力層次一、填空（每題2分）1已知方程組有無窮多解，則 -1 或3 。2設(shè)是的解向量，是其導(dǎo)出組的

8、基礎(chǔ)解系，則必線性無關(guān)。3. 設(shè)四階方陣且，則方程組的一個(gè)解向量為 。4. 設(shè)方程組有解，則其增廣矩陣的行列式= 0 。5設(shè)，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則1。6設(shè)為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個(gè)特征值等于 。7設(shè)，b是三階矩陣，且，若，則 4 。8設(shè)為矩陣，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數(shù)為3。9若齊次線性方程組中的系數(shù)矩陣的秩，且的代數(shù)余子式，則該方程組的通解可以表示為。10已知四元非齊次線性方程組，是它的三個(gè)解向量，且，則齊次線性方程組的通解為_。11齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足條件。12已知四元線性方程組的三個(gè)解為，且，則方程組的通解是 。13已知線性方程組的兩個(gè)解為則該

9、方程組的全部解為 。14設(shè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有三個(gè)解向量，其中矩陣，則 2 。15設(shè)四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，且，其中是它的的三個(gè)解向量，則方程組的通解為 。16設(shè)，則齊次線性方程組的解空間的一組基為 。17已知是非齊次線性方程組線性無關(guān)的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關(guān)系式 。18設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，則線性方程組的解是 。19設(shè)矩陣，其中則線性方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是 n-1 。20設(shè)為階方陣，若齊次線性方程組只有零解，則的解是 只有零解 。21設(shè)任意一個(gè)維向量都是方程組的解，則 0 。22設(shè)非齊次線性方程組有兩個(gè)解，則該方程組的通解為 。23已

10、知齊次線性方程組有無窮多解，則 -5或-6 。24若線性方程組 無解，則常數(shù)應(yīng)滿足的條件是.253元非齊次線性方程組有3個(gè)解為，則系數(shù)矩陣= 。 26若向量，都是線性方程組的解，則系數(shù)矩陣= 。27方程組有解的充分必要條件為 。28設(shè)元非齊次線性方程組有解，其中為階矩陣，則 0 。29. 已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為 是的極大線性無關(guān)組 。30. 設(shè)，其中，則線性方程組的解是。二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）1齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 （ c ） a的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān) b的任意兩個(gè)列向量線性無關(guān)c中必有一列向量是其余列向量的線性組合

11、d中任一列向量是其余列向量的線性組合2設(shè)矩陣，且，則線性方程組 （ d ）a可能無解； b一定無解； c可能有解； d一定有解3當(dāng) =（）時(shí)，方程組無解a. 2 b. 3c. 4d. 54為矩陣，秩(a) =，下列結(jié)論正確的是（）a齊次線性方程組僅有零解b非齊次線性方程組有無窮多解c中任一個(gè)階子式均不等于零d中任意個(gè)列向量必線性無關(guān)。5是個(gè)m方程n個(gè)未知量的齊次線性方程組有非零解的（）a充分必要條件 b充分條件 c必要條件d無關(guān)條件6設(shè)為矩陣，則齊次線性方程組有結(jié)論（）a時(shí)，方程組僅有零解 b時(shí)，方程組有非零解，且基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無關(guān)的解向量 c若有n階子式不為零，則方程組僅有零解d若中所有n

12、 - 1階子式不為零，則方程組僅有零解7n元線性方程組有惟一解的充分必要條件是（）a導(dǎo)出組僅有零解b為方陣，且時(shí)，c. d的列向量線性無關(guān)，且可由的列向量線性表示8設(shè)為矩陣，則方程組 ( a )a. 當(dāng)時(shí)，有解 b. 當(dāng)時(shí)，有惟一解 c. 當(dāng)時(shí)，有惟一解 d. 當(dāng)時(shí)，有無窮多個(gè)解9設(shè)為矩陣，且，若的行向量組線性無關(guān)，則 （ a ） a、方程組有無窮多解 b、方程組有唯一解 c、方程組無解 d、方程組僅有零解10. 設(shè)矩陣，且，則線性方程組 （ d ）a可能無解； b一定無解； c可能有解； d一定有解11若線性方程組有惟一解，則的值為（ d ） a b c d異于與的數(shù)12.設(shè)是四元非齊次線性

13、方程組的三個(gè)解向量，且，(c為任常數(shù))，則線性方程組的通解是 ( c )a. b. c. d. 13設(shè)矩陣，齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個(gè)方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)都是 （ a ） a b c d14.設(shè)向量組中是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則向量組( d ) 也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系a. b. c. d. 15設(shè)為矩陣， ，是非齊次方程組的三個(gè)不同的解，則正確的結(jié)論是 ( d )a. 線性相關(guān) b. 是的基礎(chǔ)解系 c. 的任何線性組合是的解 d. 當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，則是的通解,其中是滿足的任何數(shù)16要使都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣a為 ( b ) a. b.

14、c. d. 17設(shè)為矩陣，若有解，是其兩個(gè)特解，的基礎(chǔ)解系是，則 ( b )a. 的通解是 b. 的通解是 c. 的通解是 d. 的通解是 上述四項(xiàng)中均為任意常數(shù)18已知是齊次方程的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系也可以是( b )a b c d 19齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則 ( c )a b c d 20已知，則齊次線性方程組的通解為 （ ）a b c d三、判斷題（每題2分）1齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足的條件是。（ 否 ）2若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩小于n，則方程組有無窮多解。（ 否 ）3設(shè)為n階方陣，且，是的兩個(gè)不同的解向量，則的通解為。（ 否 ）4設(shè)齊次線

15、性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個(gè)方程組的每個(gè)基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)都是1。 （ 是 ）5設(shè)為矩陣，若非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則時(shí)，方程組有解。 （ 是 ）6設(shè)a，b都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n 。 （ 是 ）7設(shè)a為n階奇導(dǎo)方陣，a中有一個(gè)元素的代數(shù)余子式，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為n 。（ 否 ）8設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線性無關(guān)。（ 否 ）9設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線性無關(guān)。（ 是 ）10設(shè)為階方陣，且是的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（ 是 ）11設(shè)為線性無關(guān)的n維列向量，則非齊次線性方程

16、組有惟一解。（ 是 ）12設(shè)是的基礎(chǔ)解系，則為的通解。（ 否 ）13已知為非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則（其中）是的通解。（ 是 ）14設(shè)4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎(chǔ)解系為。（ 是 ）15設(shè)為的基礎(chǔ)解系，為一n維列向量，若，則可由線性表示。（ 是 ）16給定方程組，則對(duì)任意的，方程組均有解，且有無窮多解。（ 是 ）17設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組有解時(shí)，加入一個(gè)方程后方程組也有解。（ 否 ）18設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組無解時(shí)，加入一個(gè)方程后方程組也無解。（ 是 ）19設(shè)線性方程組，當(dāng)時(shí)，方程組僅有零解。（ 否 ）20設(shè)為矩陣

17、，非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解。（ 是 ）簡(jiǎn)單應(yīng)用能力層次一、計(jì)算題（每題5分）1求線性方程組 的一般解 解： 因?yàn)橄禂?shù)矩陣 3分所以一般解為：， 其中，是自由未知量。 .5分 2求線性方程組的一般解。解：因?yàn)樵鰪V矩陣 3分所以一般解為： （其中是自由未知量）。 5分 3當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有非零解？并求一般解解： 因?yàn)樵鰪V矩陣 3分所以當(dāng)= -2時(shí)，線性方程組有無窮多解，且一般解為：是自由未知量) 54當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組 有解？并求一般解解：因?yàn)樵鰪V矩陣 3分 當(dāng)=3時(shí)，線性方程組有無窮多解，且一般解為：是自由未知量)。 5分 5求線性方程組的一般解。解： 因?yàn)橄禂?shù)矩陣

18、3分所以一般解為 （其中，是自由未知量）。 .5分6設(shè)齊次線性方程組問取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解. 解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣 a = 3分 所以當(dāng)l = 5時(shí)，方程組有非零解. 且一般解為： （其中是自由未知量）。 .5分 7設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.解 因?yàn)?.3分所以 r(a) = 2，r() = 3. 又因?yàn)閞(a) < r()，所以方程組無解。 .5分8求下列線性方程組的一般解。解：因?yàn)樵鰪V矩陣 .3分 所以一般解為： （其中是自由未知量） .5分9設(shè)線性方程組討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無解，有惟一解，有無窮多解。 .3分所以當(dāng)且時(shí)，方程組無

19、解； 當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解； 當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解。. .5分 10當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組 有解？并求一般解.解：因?yàn)樵鰪V矩陣 .3分 所以當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量。 .5分11已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為問取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解。解：當(dāng)=3時(shí)，方程組有解. 當(dāng)=3時(shí)，.3分 一般解為， 其中, 為自由未知量。 .5分 12當(dāng)為何值時(shí)，方程組有解，并求其通解。解： .3分當(dāng)，同解方程組為令，令 .5分13. 設(shè)線性方程組為，問：、取何值時(shí)，方程組無解、有惟一解、有無窮多解？ 在有無窮多解時(shí)求出其通解。解： .2分

20、 當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解當(dāng)，時(shí)，方程組無解 當(dāng)，時(shí)，=2<3，方程組有無窮多組解,其通解為，為任意常數(shù)。 .5分14.線性方程組為 ，問,各取何值時(shí)，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求出其通解。解： .3分 當(dāng)2時(shí)，方程組有唯一解 當(dāng)2，1時(shí)，方程組無解 當(dāng)2，1時(shí)，2<3，方程組有無窮多組解,其通解為 (為任意常數(shù))。 .5分15已知是齊次線性方程組的一個(gè)解，試求方程組的一個(gè)包含的基礎(chǔ)解系。解：，.2分令，得方程組的兩個(gè)解為：，從而所求基礎(chǔ)解系即為和。 .5分16求解線性方程組。解 ：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即 ，.3分因?yàn)?，r(a) = r(a) = 3，

21、所以，方程組有解 一般解為: (x4是自由未知量)。 .5分 17設(shè)線性方程組試問c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。解：因?yàn)?.2分所以當(dāng)c = 0時(shí)，方程組有解且 .3分所以，原方程組的一般解為： （x3是自由未知量）。 .5分18試討論a取什么值時(shí)，線性方程組有解，并求出解 。 解： .3分當(dāng)時(shí)，方程組有解，解為 .5分19試討論a取什么值時(shí)，線性方程組有解，并求出解 。 .3分當(dāng)時(shí)，方程組有解，解為 .5分20設(shè)為階矩陣，且，試問的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)。解：，又因?yàn)殡A矩陣，故中至少有一個(gè)階子式不為，則中至少有一個(gè)非零元素，則， .2分又，所以， .4分從而有，故的基礎(chǔ)

22、解系所含解向量的個(gè)數(shù)為4-1=3個(gè)。.5分二、證明題（每題5分）1. 設(shè)是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明：是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，都是的解，且線性無關(guān)，從而都是的解，.2分設(shè)即由線性無關(guān)，得，僅有零解，從而線性無關(guān)，也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。.5分2證明方程組有解的充要條件是。證明：3分方程組有解，即，即5分3設(shè)n階矩陣可逆，證明：線性方程組 無解。證明：線性方程組的系數(shù)矩陣為，因?yàn)榫仃?，所以?.2分又因?yàn)樵摲匠探M的增廣矩陣為，而是可逆的， .4分從而系數(shù)矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線性方程組無解。.5分4設(shè)實(shí)數(shù)域上的線性方程組，證明：（1）如果，則方程組有惟一解；（2）如果

23、則方程組無解；（3）如果則方程組有無窮多解。證明：（1）令，因?yàn)椋瑥亩匠探M有惟一解，由克萊姆法則得其解為：；（2），從而方程組無解；（3），從而方程組有無窮多解。.5分5 證明：含有n個(gè)未知量n+1個(gè)方程的線性方程組 若有解，則行列式證明：易知方程組的系數(shù)矩陣為矩陣，所以，又因?yàn)樵摲驱R次線性方程組有解，所以必須滿足關(guān)系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且， 。.5分6設(shè)是矩陣，是矩陣，證明線性方程組，當(dāng)時(shí)，必有非零解。證明：是矩陣，是矩陣，且 ， ，由，得，而是，所以當(dāng)時(shí)，必有非零解。 .5分7已知行列式，證明方程組無解。證明：由題設(shè)知方程組的增廣矩陣的秩， .2分而系數(shù)矩陣是矩陣， .

24、4分故，方程組無解。 .5分8設(shè)是階矩陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，且，證明：向量組是線性無關(guān)的。證明：設(shè)有常數(shù)，使得，上式左乘，得，.3分以此類推，分別左第乘，得，故向量組線性無關(guān)。 .5分9設(shè)是矩陣，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。證明：有惟一解，僅有零解，故，即為可逆矩陣， .3分于是由，得，所以。 .5分10設(shè)是矩陣，且,若滿足,證明:。證明：設(shè)，其中為維列向量，故線性無關(guān)，由于，即=， .3分所以，由于線性無關(guān)，故，所以。 .5分綜合應(yīng)用能力層次一、 計(jì)算題（每題8分）1.設(shè)線性方程組，討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解？有惟一解？有無窮多解？（不必求解）解：5分當(dāng)時(shí)，方程

25、組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解 .8分2.設(shè)線性方程組，討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）解：5分當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解 .8分3.設(shè)線性方程組，討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）解：因?yàn)閷?duì)線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得： 所以，當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。.5分而當(dāng)時(shí)，由上面的結(jié)果可知：所以，當(dāng)且時(shí)，方程組無解； 當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解。.8分4. 設(shè)線性方程組，討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）解：對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得： ，

26、5分 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以方程組有唯一解； 當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?，所以方程組無解； 當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M有無窮多解。.8分5. 當(dāng)，為何值時(shí)，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解？（不必求出解）解：對(duì)方程組系數(shù)的增廣矩陣施行初等行變換：.5分 由階梯形矩陣可見：(1)當(dāng)時(shí)，故此時(shí)方程組有唯一解;(2)當(dāng)且時(shí)，故此時(shí)方程組無解; (3)當(dāng)且時(shí)，故此時(shí)方程組有無窮多解.8分6當(dāng)為何值時(shí)，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時(shí)，求出方程的通解。解： 設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換= .4分當(dāng)a=3時(shí)， 方程組無解。當(dāng)a3且a2時(shí)， 方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為，則方程組

27、的解為 。 .6分當(dāng)a=2時(shí)， 方程組有無窮多個(gè)解。此時(shí)梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為 則方程組的解為（c為任意常數(shù)）。.8分7. 求線性方程組的全部解(用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).解： .5分全部解為：8分8. 的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。解：5分全部解為： 8分9求線性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。解：對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換得： ， 5分 令自由未知量，得方程組的一個(gè)特解：， 令分別取：，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：；所以，方程組的全部解為： （其中、為任意常數(shù)）。8分10. 求線性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。解：對(duì)線性方程組的增廣矩陣施行行初

28、等變換得： ，.5分 令自由未知量，得到一個(gè)特解 ， 再取分別為，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系： ， 所以方程組的全部解為 ，（為任意常數(shù)）.8分11. 用基礎(chǔ)解系表示線性方程組的全部解。解：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為，對(duì)其增廣矩陣作初等變換，得： . 5分原方程組同解于，取得方程組一個(gè)特解。導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣可化為，導(dǎo)出組與方程組同解，取，得基礎(chǔ)解系：。故原方程組的全部解為:，（為任意系數(shù)）.8分12已知方程組() 的解都是方程組() 的解，試確定。解：=， 于是得方程組()的全部解： ，.3分將代入()的導(dǎo)出組得，將代入()得，解此四式得。 .8分13已知非齊次線性方程組 有3個(gè)線性無關(guān)的解，(1)證明此

29、方程組的系數(shù)矩陣的秩為2.(2)求的值和方程組的通解. 解:(1) 設(shè)a1,a2,a3是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個(gè)線性無關(guān)的解.于是的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2,即,從而,又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€性無關(guān)的,所以,兩個(gè)不等式說明.(2)對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換: .3分 由,得出,代入后繼續(xù)作初等行變換: .5分 得同解方程組, 得到方程組的通解: (2,-3,0,0)t+c1(-2,1,1,0)t+c2(4,-5,0,1)t, c1,c2為任常數(shù). .8分14設(shè),.討論為何值時(shí),方程組無解、有唯一解、有無窮多解? 并在有無窮多解時(shí)，求出其通解.解：經(jīng)計(jì)算 因

30、此方程組有唯一解.2分時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形: 因 ，即時(shí)無解。 .5分時(shí)，同樣對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形: 因，所以時(shí)有無窮多解。等價(jià)方程組為: 得通解為：，（為任意系數(shù)） .8分15已知線性方程組 ，試討論：(1)取何值時(shí)，方程組無解；(2)取何值時(shí),方程有唯一解，并求出其解；(3)取何值時(shí),方程有無窮多解，并求出其通解。解： (1)時(shí)， ，無解； .2分 (2)時(shí)，唯一解 .5分(3)時(shí)，無窮多解, 通解 。 .8分16已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關(guān),如果,求方程組的通解。解：令，則由得，將代入上式，整理后得，由線性無關(guān)，知， .5分解此方程組得，其中k為任意常數(shù)。

31、 .8分17已知線性方程組解：，討論取何值時(shí)，方程無解；有惟一解；有無窮多解（不必求解）。解： .4分由于方程有解0，1，故得時(shí)有惟一解；時(shí)有無窮多解；時(shí)無解。 .8分18設(shè)線性方程組為：，試討論下列問題：（1）當(dāng)取什么值時(shí)，線性方程組有唯一解？（2）當(dāng)取什么值時(shí)，線性方程組無解？（3）當(dāng)取什么值時(shí)，線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求其解（要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）。解 ：線性方程組的系數(shù)行列式為 .2（1）當(dāng)，即且時(shí)，線性方程組有唯一解； .4分（2）當(dāng)時(shí)，線性方程組無解；. 6分（3）當(dāng)時(shí)線性方程組有無窮多解，且其通解為。 .8分19設(shè)線性方程組，已知是該方程組

32、的一個(gè)解，求方程組的全部解。解：將代入方程組中得， .2分.4分當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解，此時(shí)，方程組的全部解為：（c為任常數(shù)），.6分當(dāng)時(shí)，于是，故方程組有無窮多解，全部解為：。 .8分20求一齊次線性方程組，使，構(gòu)成它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解：顯然，所求的方程組是一個(gè)5元線性方程組，且，另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為，故只要求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則以為系數(shù)矩陣的方程組即滿足要求，為此對(duì)矩陣施行初等行變換，得， . 4分由此得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：， . 6分故所求的線性方程組為，即。 . 8分二、證明題（每題8分）1已

33、知三階矩陣且的每一個(gè)列向量都是方程組的解，求 (1)的值；(2)證明。(1)解：由得中至少有一非零列向量，的每一個(gè)列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式，。 . 4分(2)證明：（反證法）若設(shè)，則可逆，因此由題意與矛盾，所以。 . 8分 2已知方程組，若互不相等，證明方程組無解。證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，故， .4分則,而系數(shù)矩陣為矩陣,，方程組無解8分3設(shè)有兩個(gè)n元齊次線性方程組，。證明：（1）若的解都是的解，則；（2）若與同解，則。證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數(shù)不大于的解空間的維數(shù)，即，于是； .4分（2）

34、由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為，由此即得。 .8分4已知非齊次線性方程組 有3個(gè)線性無關(guān)的解，（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（2）求的值及方程組的通解。解：（1）設(shè)是非齊次方程組三個(gè)線性無關(guān)的解，令，則是其導(dǎo)出組的兩個(gè)解設(shè)即因線性無關(guān)，所以必有，即由此得線性無關(guān)，因?yàn)閷?dǎo)出組至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解，所以其基礎(chǔ)解系至少包含兩個(gè)解，故，由此得；另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣 存在2階不等于零的子式，所以，綜上所述，即得。 .4分（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，由（1）得,故增廣矩陣 的秩也為2，用初等行變換把上述矩陣化為階梯形 由此得 

35、60;   ，即利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組 即 由此得通解為 ：，其中為自由未知數(shù)。 .8分5設(shè)方程組(1)及方程組(2)，其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為，并令，則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解。.分反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。.8分發(fā)展應(yīng)用能力層次一、 計(jì)算題（每題10分）1設(shè)有兩個(gè)四元齊次方程組(); () ,（1）線性方程組()的基礎(chǔ)解

36、系；（2）求方程組()和()的非零公共解。解：（1）方程組()的系數(shù)矩陣，則得()的基礎(chǔ)解系為：和；.3分（2）由（1）的結(jié)果，方程組()的一般解為：,若兩個(gè)方程組有公共解，將上式代入方程組()中，必有，得，所以()和()的非零公共解為：。.10分2已知非齊次線性方程組，；（1） 求解方程組，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；（2） 同解，求的值。解：（1）設(shè)組（i）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，對(duì)作初等行變換，得：， 因，故（i）有無窮多解，且通解為，為任意常數(shù)。.5分（2）將通解代入組（ii）第一個(gè)方程，得到：，即，由得任意性，得。將通解代入組（ii）第二、三個(gè)方程，分別得到。因此，。 .10分 3設(shè)非齊次線性方程組有3個(gè)解向量，求此線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中為常數(shù)。解：設(shè)所給方程為