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1、點到直線的距離公式7.1 點到直線的距離公式點到直線的距離公式點到直線的距離公式若m(x0y0)是平面上一定點,它到直線l: :ax+by+c=0的距離d為0022|axbycdab試用向量方法給出簡單的證明點到直線的距離公式證明 如圖, m(x0,y0) 是直線外一定點,p(x,y)是直線上任意一點,由直線l: :ax+by+c=0,可以取它的方向向量v v=(b,-a).p p(x,y)m(x0y0)nl02222(,)abababn|n|n no oxy設n n=(a,b),因為nvnv=(a,b) (b,-aa) =ab-ba=0所以n v,故稱n為直線l的法向量.與n同向的單位向量點

2、到直線的距離公式00222200220022|(,) (,)|()()|()|dpmabxx yyababa xxb yyabaxbyaxbyab n n所以,點m(x0y0) 到直線l: :ax+by+c=0的距離等于向量 在n n0 0方向上射影的長度.pm 點到直線的距離公式又因為p(x,y)為l上任意一點,所以c=-(ax+by)0022|axbycdab故點到直線的距離公式例1 求點p(1,2)到直線l：2x+y+1=0的距離。解 由點到直線的距離公式，得222 1 1 2 15,21d 所以點p(1,2)到直線l的距離為5.點到直線的距離公式 分析分析：以a為原點建立直角坐標系，應

3、該有四個解. 例2 若向量 =(2,3), =(1,k), k r，abc為直角三角形，求k的值.ab acyx a cb點到直線的距離公式y(tǒng)x a cb(2,3),(1, ),( 1,3),abackbckabbc 解: 向量11時,-2+3(k-3)=0,k=3,bcac 313時,-1+k(k-3)=0,k=32.abac 時,2+3k=0,k=-3點到直線的距離公式分析分析：在所求直線上任取一點：在所求直線上任取一點p,則則 a ,利用向量平行的條件利用向量平行的條件寫出方程寫出方程.解:設點p(x,y)是所求直線上的任意一點,則 =(x+1,y-2). 例3 求過點a(-1,2),且

4、平行于向量a=(3,1)的直線方程.ap ap ap a(1)3(2)0 xy370 xy即370 xy 所求直線的方程為點到直線的距離公式解:設點q(x,y)是所求直線上的任意一點,則 =(x-1,y+1). 練習 求過點p(1,-1),且與向量n=(4,-3)垂直的直線方程.pq pqn 1)3(1)0 xy即4(370 xy 4所求直線的方程為0pq n 點到直線的距離公式小結：小結：（1） 點點m(x0,y0) 到直線到直線l:ax+by+c=0的距離等于向的距離等于向量量 在在l的單位向量的單位向量n0上射影的長度上射影的長度,；（2）利用直線的法向量）利用直線的法向量,用兩向量垂直的充要條件用兩向量垂直的充要條件可求直線方程可求直線方程.pm 此課件

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