計(jì)算機(jī)圖形變換與輸出

1、圖形變換：通過(guò)圖形的幾何變換可以產(chǎn)生新的圖形。圖形不動(dòng)，坐標(biāo)系變動(dòng)坐標(biāo)系不動(dòng)，圖形移動(dòng)所謂齊次坐標(biāo)法，就是用n+1維向量來(lái)表示一個(gè)n維向量。對(duì)n維向量用其n個(gè)坐標(biāo)分量(p1,p2,pn)表示，是唯一的，若用齊次坐標(biāo)表示，則有n+1個(gè)分量，即(hp1,hp2,hpn，h)，且不唯一。二維坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)是一對(duì)多的關(guān)系。通常都采用規(guī)格化的齊次坐標(biāo)，即取h=1。(x,y) 的規(guī)格化齊次坐標(biāo)為 (x,y,1)齊次坐標(biāo)的幾何意義：可理解為在三維空間上第三維為常數(shù)的一平面上的二維向量。1、h可以取不同的值，所以同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。如普通坐標(biāo)系下的點(diǎn)（2,3）變換為齊次坐標(biāo)可以是(1,1.5,0.5)

2、(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對(duì)多”由普通坐標(biāo)h齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)h普通坐標(biāo)3、當(dāng)h=1時(shí)產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱(chēng)為“規(guī)格化坐標(biāo)”，因?yàn)榍皀個(gè)坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)。(, )xyhhh0,hhyyhxxhhhzhyyhxxhhh 基本的幾何變換研究物體坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)的平移、旋轉(zhuǎn)和變比的規(guī)律。 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 一、基本變換一、基本變換 平移平移(translation) x x = = x x+ +x xy y = = y y+ +y y(x, y)(x, y)(tx,ty)x(x,y)(x,y)c o ss inxycos

3、()cos cossin sincossinsin()sin coscos sinsincosxxyyxy 是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))一、基本變換 旋轉(zhuǎn)(rotation) 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))一、基本變換一、基本變換 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(rotation) x x = = x xr r+(+(x x x xr r)cos)cos ( (y y y yr r)sin )sin y y = = y yr r+(+(y y y yr r)cos)cos +(+(x x x xr r)sin)sin xyf f (x, y)(x,

4、 y) 1、把旋轉(zhuǎn)中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，、把旋轉(zhuǎn)中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，2、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換 3、將坐標(biāo)系平移回原來(lái)的原點(diǎn)、將坐標(biāo)系平移回原來(lái)的原點(diǎn) 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))一、基本變換一、基本變換 變比變比(scaling) x = x sxy = y sy (x, y)(x, y)xy固定點(diǎn)變比固定點(diǎn)變比(scaling relative to a fixed point)(scaling relative to a fixed point)。以。以a a為為固定點(diǎn)固定點(diǎn)1 1(1)(1)作平移作平移t tx x= = x xa a，t ty y= = y

5、 ya a；2 2(2)(2)按式按式(3.3)(3.3)作變比；作變比；3 3(3)(3)作作1)1)的逆變換，即作平移的逆變換，即作平移t tx x= =x xa a，t ty y= =y ya a。 當(dāng)比例因子sx或sy小于0時(shí)，對(duì)象不僅變化大小，而且分別按x軸或y軸被反射 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))一、基本變換 變比(scaling) 二維幾何變換矩陣可以表示如下：ifchebgdatd2t2d可看作三個(gè)行向量，其中1 0 0：表示x 軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)0 1 0：表示y 軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)0 0 1：表示原點(diǎn) 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))

6、二、變換矩陣 是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換； 是對(duì)圖形進(jìn)行投影變換，g的作用是在x軸的1/g處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)，h的作用是在y軸的1/h處產(chǎn)生一處滅點(diǎn)；i是對(duì)整體圖形作伸縮變換fchg從變換功能上可以將變換矩陣分為4個(gè)子矩陣，其中 是對(duì)圖形進(jìn)行縮放、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切等變換ebdaifchebgdatd2 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù)) 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))二、變換矩陣 1 平移的矩陣運(yùn)算表示為 (3.2)簡(jiǎn)記為p=pt(tx, ty)。其中，p=x y 1，p=x y 1。 10011 0101xyx yx ytt 100(,)0101xyxyt

7、t tt t表示平移矩陣。 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))二、變換矩陣 旋轉(zhuǎn)的矩陣運(yùn)算表示為 (3.2)簡(jiǎn)記為p=pr()，其中r()表示旋轉(zhuǎn)矩陣。 cossin011sincos0001x yx y 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))二、變換矩陣 變比的矩陣運(yùn)算表示為 (3.3)簡(jiǎn)記為p=ps(sx, sy)，其中(sx, sy)表示變化矩陣。 0 011 0000 1xysx yx ys3.比例變換1100000011*ysxsssyxyxyxyx以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)當(dāng)sx=sy=1時(shí)：恒等比例變換當(dāng)sx=sy1時(shí)：沿x,y方向等比例放大。當(dāng)s

8、x=sy1xysx=sy1xysx1,sy=14.對(duì)稱(chēng)變換11000011*eydxbyaxebdayxyxq當(dāng)b=d=0，a=-1，e=1時(shí)，有x*=-x，y*=y，產(chǎn)生與y軸對(duì)稱(chēng)的反射變換xyxyq當(dāng)b=d=0，a=1，e=-1時(shí)，有x*=x，y*=-y，產(chǎn)生與x軸對(duì)稱(chēng)的反射變換q當(dāng)b=d=0，a=e=-1時(shí)，有x*=-x，y*=-y，產(chǎn)生與原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的反射變換q當(dāng)b=d=1，a=0，e=0時(shí)，有x*=y，y*=x，產(chǎn)生與直線y=x對(duì)稱(chēng)的反射變換xyxy 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))三、級(jí)聯(lián)變換三、級(jí)聯(lián)變換(composite transformation) (co

9、mposite transformation) 對(duì)于復(fù)雜的圖形變換，需要通過(guò)若干個(gè)變換矩陣的級(jí)聯(lián)對(duì)于復(fù)雜的圖形變換，需要通過(guò)若干個(gè)變換矩陣的級(jí)聯(lián)才能實(shí)現(xiàn)。這里特別要注意的是才能實(shí)現(xiàn)。這里特別要注意的是矩陣級(jí)聯(lián)的順序矩陣級(jí)聯(lián)的順序，由于矩陣，由于矩陣的乘法運(yùn)算不適用交換率，因此矩陣級(jí)聯(lián)的順序不同所得到的乘法運(yùn)算不適用交換率，因此矩陣級(jí)聯(lián)的順序不同所得到的變換結(jié)果也不相同。的變換結(jié)果也不相同。q復(fù)合平移復(fù)合平移1010001101000110100012121221121yyxxyxyxttttttttttttttq復(fù)合比例1000000100000010000002121221121yyxxyx

10、yxsstsssssssstttq復(fù)合旋轉(zhuǎn)1000)cos()sin(0)sin()cos(1000cossin0sincos1000cossin0sincos212121212222111121rrttttffffyxtyxyxyxyx110100011111 tyxyxyx11000cossin0sincos11221122ffffyxtyxyxyxyx1101000111*2222 ffffyxttyxtyxyx11*1000cossin0sincosr 1000cossin0sincosr1000100012t100100013at 321trtrtt 比例、旋轉(zhuǎn)變換是和參考點(diǎn)有關(guān)的，

11、若相對(duì)于任意參考點(diǎn)(xf,yf)作比例、旋轉(zhuǎn)變換，其變換過(guò)程是先將坐標(biāo)系平移到參考點(diǎn)上，變換后，再將坐標(biāo)平移回來(lái)注意: 3.1.1 二維圖形幾何變換二維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))四、二維幾何變換的指令 建立變換矩陣的指令為creat_transformation_matrix(xf, yf, sx, sy, xr, yr, , tx, ty, matrix)； 積累變換的指令為accumulate_transformation_matrix(matrix1, matrix2, matrix); 坐標(biāo)變換的指令為set_segment_transformation(id, matrix);),(hz

12、yxhhh0,hhzzhyyhxxhhh 3.1.2 三維圖形幾何變換三維圖形幾何變換444342413433323124232221141312113aaaaaaaaaaaaaaaatd1101000010000111*zyxzyxtztytxtttzyxzyx1000000000000zyxsss考慮相對(duì)于參考點(diǎn)（xf，yf，zf）的縮放變換，其步驟為： a. 將平移到坐標(biāo)原點(diǎn)處； b. 進(jìn)行縮放變換； c. 將參考點(diǎn)（xf，yf，zf）移回原來(lái)位置 xyz(y,z)(y z)yzoo(y z)(y,z)z 1 0 0 00 cos sin- 00 sin cos 00 0 0 11 zy

13、 x 1 z y xxyz(x,z)(x z)xzooz 1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin- 0 cos1 zy x 1 z y xxyz(x,y)(x y)xyoo 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin-0 0 sin cos1 zy x 1 z y x1010000100001aaaazyxt10000cossin00sincos00001xr10000cos0sin00100sin0cosyr1000010000cossin00sincoszr10000cos0sin00100sin0cos1yr10000cossin00sincos00

14、0011xr10100001000011aaaazyxt可以通過(guò)下列步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)p點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)： a. 將a點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)。 b. 使ab分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度與z軸重合。 c.將ab繞z軸旋轉(zhuǎn)角 d.作上述變換的逆操作，使ab回到原來(lái)位置。 3.1.2 三維圖形幾何變換三維圖形幾何變換 (續(xù)續(xù))四、三維幾何變換的指令 建立變換矩陣的指令為creat_transformation_matrix(xf, yf, zf ,sx, sy, sz, xr, yr, zr , xt, yt, zt , , tx, tz , ty, matrix)； 積累變換的指令為accumulate_transfor

15、mation_matrix(matrix1, matrix2, matrix); 坐標(biāo)變換的指令為set_segment_transformation(id, matrix);3.1.3 參數(shù)圖形幾何變換參數(shù)圖形幾何變換 (續(xù)續(xù)) 圓錐曲線的幾何變換圓錐曲線的幾何變換 圓錐曲線的二次方程是圓錐曲線的二次方程是axax2 2+ +bxybxy+ +cycy2 2+ +dxdx+ +eyey+ +f f=0=0，其相應(yīng)的矩陣表，其相應(yīng)的矩陣表達(dá)式是達(dá)式是簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為xsxxsxt t=0=0。221022122bdaxbex ycydef 平移變換。若對(duì)圓錐曲線進(jìn)行平移變換，平移矩陣是平移變換。若

16、對(duì)圓錐曲線進(jìn)行平移變換，平移矩陣是trtr= = ，則平移后的圓錐曲線矩陣方程是則平移后的圓錐曲線矩陣方程是xtrstrxtrstrt tx xt t=0=0。1000101mn3.1.3 參數(shù)圖形幾何變換參數(shù)圖形幾何變換 (續(xù)續(xù)) 圓錐曲線的幾何變換圓錐曲線的幾何變換 旋轉(zhuǎn)變換。若對(duì)圓錐曲線相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)變換。若對(duì)圓錐曲線相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)變換矩陣是變換矩陣是r r= =，則旋轉(zhuǎn)后的圓錐曲線矩陣方程是則旋轉(zhuǎn)后的圓錐曲線矩陣方程是xrsrxrsrt tx xt t=0=0。 若對(duì)圓錐曲線相對(duì)若對(duì)圓錐曲線相對(duì)( (m m, , n n) )點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)點(diǎn)作旋轉(zhuǎn) 角變換，則

17、旋轉(zhuǎn)后角變換，則旋轉(zhuǎn)后的圓錐曲線是上述的圓錐曲線是上述trtr、r r變換的復(fù)合變換，變換后圓錐曲線的變換的復(fù)合變換，變換后圓錐曲線的矩陣方程是矩陣方程是xtrrsrxtrrsrt ttrtrt tx xt t=0=0。cossin0sincos00013.1.3 參數(shù)圖形幾何變換參數(shù)圖形幾何變換 (續(xù)續(xù)) 圓錐曲線的幾何變換 比例變換。若對(duì)圓錐曲線相對(duì)(m, n)點(diǎn)進(jìn)行比例變換，比例變換矩陣為st=，則變換后圓錐曲線的矩陣方程是xtrstsstttrtxt=0。0000001xyss3.1.3 參數(shù)圖形幾何變換參數(shù)圖形幾何變換 (續(xù)續(xù)) 參數(shù)曲線、曲面的幾何變換 若指定一個(gè)平移矢量t，對(duì)曲線

18、平移t，即對(duì)曲線上的每一點(diǎn)p都平移t。對(duì)平移后的點(diǎn)p*有p* = p+t對(duì)于參數(shù)曲線和曲面的幾何系數(shù)矩陣b和代數(shù)系數(shù)矩陣a，可以直接實(shí)現(xiàn)平移變換，即有b* = b+t，t = t t 0 0tb*是經(jīng)平移后參數(shù)曲線的幾何系數(shù)矩陣，變換結(jié)果如圖所示。3.2.1 坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)系統(tǒng) 1. 世界坐標(biāo)系(w world c coordinates) 為了描述被處理的對(duì)象，要在對(duì)象所在的空間中定義一個(gè)坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位和坐標(biāo)軸的方向要適合對(duì)被處理對(duì)象的描述，這個(gè)坐標(biāo)系通常就稱(chēng)之為世界坐標(biāo)系或用戶(hù)坐標(biāo)系。世界坐標(biāo)系一般采用右手三維笛卡兒坐標(biāo)系。2. 局部坐標(biāo)系xyzo3.2.1 坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)系統(tǒng)（

19、續(xù)）（續(xù)） 3. 觀察坐標(biāo)系(v view c coordinates) 產(chǎn)生三維物體的視圖，必須規(guī)定觀察點(diǎn)(視點(diǎn))和觀察方向。 好比照相時(shí)選擇拍攝的位置和方向。 左手笛卡兒坐標(biāo)系(上圖)：觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)通常設(shè)置在觀察點(diǎn)(視點(diǎn))，z軸作為觀察方向。 右手笛卡兒坐標(biāo)系：視點(diǎn)確定在z軸上的某一個(gè)位置，z軸仍為觀察方向(下圖)。xyzoxyzo視點(diǎn)視點(diǎn)3.2.1 坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)系統(tǒng)（續(xù)）（續(xù)）4. 設(shè)備坐標(biāo)系(d device c coordinates) 與圖形設(shè)備相關(guān)連的坐標(biāo)系叫設(shè)備坐標(biāo)系。 例如，顯示器以分辨率確定坐標(biāo)單位，原點(diǎn)在左下角或左上角；繪圖機(jī)繪圖平面以繪圖精度確定坐標(biāo)單位，原點(diǎn)一般在

20、左下角。5. 規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(n normal d device c coordinates) 為了使圖形處理過(guò)程做到與設(shè)備無(wú)關(guān)，通常采用一種虛擬設(shè)備的方法來(lái)處理，也就是圖形處理的結(jié)果是按照一種虛擬設(shè)備的坐標(biāo)規(guī)定耒輸出的。這種設(shè)備坐標(biāo)規(guī)定為0x1，0y1，這種坐標(biāo)系稱(chēng)之為規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系。3.2.2 規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換 規(guī)格化變換規(guī)格化變換 從窗口到視區(qū)的變換，稱(chēng)為規(guī)格化變換從窗口到視區(qū)的變換，稱(chēng)為規(guī)格化變換(normalization (normalization transformation)transformation)。xyow(窗口)xyov(視圖區(qū))

21、wxlwxrwybwytvxlvxrvybvyt(wx,wy)(vx,vy)3.2.2 規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換 (續(xù)續(xù)) 規(guī)格化變換 vx vxl wx wxl 由兩圖的比例關(guān)系： vxr vxl wxr wxl vy vyb wy wyb vyt vyb wyt wyb可得： vxr vxl wxr wxl vyt vyb wyt wyb = =vx = ( wx wxl ) + vxlvy = ( wy wyb ) + vyb3.2.2 規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換 (續(xù)續(xù)) 窗口操作 視野的變化(zooming)。 搖鏡頭(panning)。

22、 多重窗口(multiple window)。 3.2.2 規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換規(guī)格化變換與設(shè)備坐標(biāo)變換 (續(xù)續(xù)) 從規(guī)格化坐標(biāo)(ndc)到設(shè)備坐標(biāo)(dc)的變換 通常采用的公式 xdcsxxndcdx，ydcsyyndcdy 方向的考慮 對(duì)設(shè)備坐標(biāo)中像素中心的變換 3.2.3 投影變換投影變換 投影(project)是一種使三維對(duì)象映射為二維對(duì)象的變換。它可描述為project(object(x, y, z)object(x, y)投影的要素除投影對(duì)象、投影面外，還有投影線。按照投影線角度的不同，有兩種基本投影方法： 平行投影(parallel projection)。它使用一組平行投影

23、將三維對(duì)象投影到投影平面上去。 透視投影(perspective projection)。它使用一組由投影中心產(chǎn)生的放射投影線，將三維對(duì)象投影到投影平面上去。投影中心與投影平面之間的距離為無(wú)限投影中心與投影平面之間的距離為無(wú)限 投影中心與投影平面之間的距離為有限投影中心與投影平面之間的距離為有限 根據(jù)投影方向與投影平面的夾角根據(jù)投影平面與坐標(biāo)軸的夾角3.2.3 投影變換投影變換 (續(xù)續(xù))1 1 平行投影平行投影- -正交平行投影正交平行投影(orthographic p. p.) 正投影的投影面與某一坐標(biāo)軸垂直，而投影方向與該正投影的投影面與某一坐標(biāo)軸垂直，而投影方向與該坐標(biāo)軸的方向一致。坐標(biāo)

24、軸的方向一致。 正投影的圖形，在長(zhǎng)寬高三個(gè)方向上的比例與實(shí)正投影的圖形，在長(zhǎng)寬高三個(gè)方向上的比例與實(shí)物保持一致，因此，常用于工程制圖。物保持一致，因此，常用于工程制圖。yxz主視圖主視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖1000100000000111zxtbtazyxwvu 1000000010000111yxtbtazyxwvu俯視圖： 1000100001000011zytbtazyxwvu3.2.3 投影變換投影變換 (續(xù)續(xù))2 平行投影-斜交平行投影(oblique p. p.) 投影線與投影平面成交角 投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等測(cè)(b)斜二測(cè)7-16 斜平行投影pop投影方向投影

25、平面pop投影平面法向3.2.3 投影變換投影變換 (續(xù)續(xù))3 透視投影變換 3.2.3 投影變換投影變換 (續(xù)續(xù))3 透視投影變換 3.2.3 投影變換投影變換 (續(xù)續(xù))3 透視投影變換 設(shè)投影中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，投影面與 z 軸垂直，在 z = d 的位置。點(diǎn) p( x, y, z )在投影面上的投影為 p ( xp, yp, d )。 xp x yp y d z d z x z y z=,xp =yp =ddzxyop(x,y,z)pdyzppoozpp d3.3.1 二維圖元輸出二維圖元輸出 圖元是圖形軟件用語(yǔ)組織和操作畫(huà)面的基本素材。 常用圖元有l(wèi)ine,polyline,text,fillarea,polymarker,move,cell array,circle.圖元命令包括：輸出圖元命令 圖元性質(zhì)定義命令(1)move (x,y)(2)line(x,y)(3)polyline(n,x_array,y_array)3.3.1 二維圖元輸出二維圖元輸出用戶(hù)定義的二維圖元的窗口區(qū)到視圖區(qū)的輸出過(guò)程如下所示：應(yīng)用程序得到的坐標(biāo)(uc)對(duì)窗口區(qū)進(jìn)行裁剪(wc)窗口區(qū)到視圖區(qū)的規(guī)格化變換(ndc)視圖區(qū)的規(guī)格化坐標(biāo)系到設(shè)備坐標(biāo)系的變換(dc)調(diào)用基本圖元生成算法在圖形設(shè)備上輸出圖形3.