高考數(shù)學(xué)立體幾何試題匯編

1、高考數(shù)學(xué)立體幾何試題匯編一、選擇題1（全國理7題）如圖，正四棱柱中，則異面直線所成角的余弦值為（ d ）a b c d2（全國理7題）已知正三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則ab1與側(cè)面acc1a1所成角的正弦等于（ a ）a b c d3（北京理3題）平面平面的一個充分條件是（d）a存在一條直線 b存在一條直線c存在兩條平行直線d存在兩條異面直線4（安徽理2題）設(shè)，均為直線，其中，在平面內(nèi)，“”是且“”的（）a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充分必要條件 d既不充分也不必要條件6（福建理8題）已知，為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ d ）a b

2、c d 8（湖北理4題）平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：； ；與相交與相交或重合； 與平行與平行或重合；其中不正確的命題個數(shù)是（ d ）a.1 b.2 c.3 d.49（湖南理8題）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ d ）a b c d10（江蘇理4題）已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題： 其中正確命題的序號是（ c ）a b c d11（江西理7題）如圖，正方體ac1的棱長為1，過點a作平面a1bd的垂線，垂足為點h則以下命題中，錯誤的命題是（ d ） a點h是a1bd的垂心 bah垂直平面cb1

3、d1 cah的延長線經(jīng)過點c1 d直線ah和bb1所成角為45°12（遼寧理7題）若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ）a若，則b若，則c若，則d若，則13（陜西理6題）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ b ） a b c d 14（四川理4題）如圖，abcd-a1b1c1d1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（ d ）abd平面cb1d1 bac1bdcac1平面cb1d1 d異面直線ad與cb1角為60° 2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖15(寧夏理8題) 已知某個幾何

4、體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（b） 17（天津理6題）設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（d）若與所成的角相等，則 若，則若，則 若，則18（浙江理6題）若p是兩條異面直線外的任意一點，則（ b ）a過點p有且僅有一條直線與都平行 b過點p有且僅有一條直線與都垂直c過點p有且僅有一條直線與都相交 d過點p有且僅有一條直線與都異面二、填空題19（全國理16題）一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 。20（全國理15題）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上

5、。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm2。21（安徽理15題）在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）。矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；每個面都是等邊三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體。22（江蘇理14題）正三棱錐高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點到側(cè)面的距離是23（遼寧理15題）若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個平面上，則此球的體積為 24（上海理10題）平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合。已知兩個相交平面與兩直線，

6、又知在內(nèi)的射影為，在內(nèi)的射影為。試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件 平行，相交 。25（四川理14題）如圖，在正三棱柱abc-a1b1c1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則bc1與側(cè)面acc1a1所成的角是 26（天津理12題）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為27（浙江理16題）已知點o在二面角的棱上，點p在內(nèi)，且。若對于內(nèi)異于o的任意一點q，都有，則二面角的大小是_。三、解答題27（全國理19題）四棱錐sabcd中，底面abcd為平行四邊形，側(cè)面sbc底面abcd。已知abc45°，ab2，bc

7、=2，sasb。()證明：sabc；()求直線sd與平面sab所成角的大??；解答：解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得dbcas（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為28（全國理19題）如圖，在四棱錐s-abcd中，底面abcd為正方形，側(cè)棱sd底面abcd，e、f分別是ab、sc的中點。aaebcfsdgmyzxabcdpef第38題圖第39題圖()求證：ef平面sad；()設(shè)sd = 2cd，求二面角aefd的大?。唤夥ㄒ唬海?）作交

8、于點，則為的中點連結(jié)，又，故為平行四邊形，又平面平面所以平面（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形取中點，連結(jié)，則又平面，所以，而，所以面取中點，連結(jié)，則連結(jié)，則故為二面角的平面角所以二面角的大小為29（北京理16題）如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（i）求證：平面平面；（ii）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；（iii）求與平面所成角的最大值解法一：（i）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（ii）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（iii）由（i）知，平面，是

9、與平面所成的角，且當最小時，最大，這時，垂足為，與平面所成角的最大值為31（福建理18題）如圖，正三棱柱abca1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1中點。（）求證：ab1面a1bd；（）求二面角aa1db的大小；（）求點c到平面a1bd的距離；分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力滿分12分解答：解法一：（）取中點，連結(jié)為正三角形，abcdof正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點，在正方形中，平面（）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面，為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又，所

10、以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點到平面的距離為由得，點到平面的距離為32（廣東理19題）如圖6所示，等腰abc的底邊ab=6，高cd=3，點b是線段bd上異于點b、d的動點.點f在bc邊上，且efab.現(xiàn)沿ef將bef折起到pef的位置，使peae。記bex，v(x)表示四棱錐pacfe的體積。（）求v(x)的表達式；（）當x為何值時，v(x)取得最大值？（）當v(x)取得最大值時，求異面直線ac與pf所成角的余弦值；33（湖北理18題）如圖，在三棱錐v-abc中，vc底面abc，acbc，d是ab的中點，且ac=bc=a，vdc=。（）求證：平面vab平面vcd ；（

11、）當角變化時，求直線bc與平面vab所成的角的取值范圍；分析：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中點，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過點在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角adbchv在中，；設(shè)，在中，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即adbcvxyz同理，即又，平面又平面平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，則由得可取，又，于是，又，即

12、直線與平面所成角的取值范圍為解法3：（）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，adbcvxy則由，得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則設(shè)adbcvxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個非零法向量，則取，得可取，又，于是，關(guān)于遞增，即直線與平面所成角的取值范圍為aebgdfcaebcfdg1g2圖1圖234（湖南理18題）如圖1，分別是矩形的

13、邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖2（i）證明：平面平面；（ii）當，時，求直線和平面所成的角；解：解法一：（）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（ii）過點作于點，連結(jié)由（i）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因為，所以可在上取一點，使，又因為，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因為平面，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（i）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因為平面，所以平面平面（ii）由（i）可知，平面故可以為原點，分別以直線為軸、

14、軸、軸建立空間直角坐標系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點的坐標分別是，所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得故可取過點作平面于點，因為，所以，于是點在軸上因為，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是abcda1d1c1b1gmhfe35（江蘇理18題）如圖，已知是棱長為3的正方體，點在上，點在上，且。（i）求證：四點共面；（4分）（ii）若點在上，點在上，垂足為，求證：面；（）用表示截面和面所成銳二面角大小，求。36（江西理20題）右圖是一個直三棱柱（以a1b1c1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為abc已知a1b1b1c1l，alblc190°，aa

15、l4，bbl2，ccl3。（i）設(shè)點o是ab的中點，證明：oc平面a1b1c1；（ii）求二面角baca1的大?。唬ǎ┣蟠藥缀误w的體積；解法一：（1）證明：作交于，連則因為是的中點，所以則是平行四邊形，因此有平面且平面，則面（2）如圖，過作截面面，分別交，于，作于，連因為面，所以，則平面又因為，所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角因為，所以，故，即：所求二面角的大小為（3）因為，所以所求幾何體體積為解法二：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，因為是的中點，所以，易知，是平面的一個法向量因為，平面，所以平面（2），設(shè)是平面的一個法向量，則則，得：取，顯然，為平面的一個法向量

16、則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角所以二面角的大小是（3）同解法一37（遼寧理18題）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點，為棱上的點，二面角為。（i）證明：；（ii）求的長，并求點到平面的距離。38（寧夏理19題）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）求二面角的余弦值證明：（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解法一：取中點，連結(jié)，由（）知，得為二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為解法二：以為坐標原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設(shè)，則的中點，故等于二面角的

17、平面角，所以二面角的余弦值為39（陜西理19題）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，,bc=6。()求證：；()求二面角的大小；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）過作，垂足為，連接平面，是在平面上的射影，由三垂線定理知，為二面角的平面角aedpcbf又，又，由得在中，二面角的大小為解法二：（）如圖，建立坐標系，aedpcbyzx則，又，平面（）設(shè)平面的法向量為，則，又，解得平面的法向量取為，二面角的大小為40（上海理19題）體積為1的直三棱柱中，求直線與平面所成角。41（四川理19題）如圖，四邊形是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直線與直線所成的角為60

18、6;.（）求證：平面平面；（）求二面角的大??；（）求三棱錐的體積；分析：本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運算能力。解法一：（），又（）取的中點，則，連結(jié)，從而作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，從而為二面角的平面角直線與直線所成的角為在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小為（）由（）知，為正方形解法二：（）同解法一（）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）取平面的法向量取為，則點a到平面的距離，42（天津理19題）如圖，在四棱錐中，底面，是的中點（）證明；（）證明平面；（）求二面角的大小；分析：本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運