八年級數(shù)學(xué)整式的乘法復(fù)習(xí)與測試

1、第14章整式的乘法復(fù)習(xí)與測試知識網(wǎng)絡(luò)歸納整式的乘法互逆難點講解：（2）正確處理運算中的“符號”，避免以下錯誤，如：等；例5【點評】由（1）、（2）可知互為相反數(shù)的同偶次冪相等；互為相反數(shù)的同奇次冪仍互為相反數(shù)3、下列各式計算正確的是（ ）a、 b、c、 d、12、的值是（ ）a、1 b、1 c、0 d、11、因式分解為 。（6）(6)12a2b(xy)4ab(yx)(7m11n) (11n7m) = _； (4xy)(5x2y)_(2)(x2)(x3)(x6)(x1) 2、求(ab)2(ab)24ab的值，其中a2002，b20012化簡的結(jié)果是（）專題綜合講解專題一巧用乘法公式或冪的運算簡化

2、計算方法1逆用冪的三條運算法則簡化計算（冪的運算是整式乘法的重要基礎(chǔ)，必須靈活運用，尤其是其逆向運用。）例1(1) 計算：。(2) 已知3×9m×27 m321，求m的值。(3) 已知x2n4，求(3x3n)24(x2) 2n的值。思路分析：(1)，只有逆用積的乘方的運算性質(zhì)，才能使運算簡便。(2)相等的兩個冪，如果其底數(shù)相同，則其指數(shù)相等，據(jù)此可列方程求解。(3)此題關(guān)鍵在于將待求式(3x3n)24(x2) 2n用含x2n的代數(shù)式表示，利用(xm)n(xn)m這一性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化。解：(1) .(2) 因為3×9m×27 m3×(32)m

3、5;(33)m3·32m·33m315m，所以315m321。所以15m21，所以m4.(3) (3x3n)24(x2)2n9(x3n)24(x2)2n9(x2n)34(x2n)29×434×42512。3、已知：，求m.方法2巧用乘法公式簡化計算。例2計算：. 思路分析：在進行多項式乘法運算時，應(yīng)先觀察給出的算式是否符合或可轉(zhuǎn)化成某公式的形式，如果符合則應(yīng)用公式計算，若不符合則運用多項式乘法法則計算。觀察本題容易發(fā)現(xiàn)缺少因式，如果能通過恒等變形構(gòu)造一個因式，則運用平方差公式就會迎刃而解。解：原式.點評：巧妙添補2，構(gòu)造平方差公式是解題關(guān)鍵。方法3將條件

4、或結(jié)論巧妙變形，運用公式分解因式化簡計算。例3計算：200300222003021×2003023原式20030022(20030021)(20030021)20030022(200300221)200300222003002211點評：此例通過把2003021化成(20030231)，把2003023化成(20030221)，從而可以運用平方差公式得到(200302221)，使計算大大簡化。由此可見乘法公式與因式分解在數(shù)值計算中有很重要的巧妙作用，注意不斷總結(jié)積累經(jīng)驗。例4已知(xy)21，(xy)249，求x2y2與xy的值。解法1：x2y2.解法2：由(xy)21得x22xyy

5、21.由(xy)249得x2y22xy49.得4xy48，所以xy12.點評：解決本題關(guān)鍵是如何由(xy)2、(xy)2表示出x2y2和xy，顯然都要從完全平方公式中找突破口。以上兩種解法，解法1更簡單。專題二整式乘法和因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用（格式的問題）方法1先將求值式化簡，再代入求值。例1先化簡，再求值。(a2b)2(ab)(ab)2(a3b)(ab)，其中a，b3.思路分析：本題是一個含有整式乘方、乘法、加減混合運算的代數(shù)式，根據(jù)特點靈活選用相應(yīng)的公式或法則是解題的關(guān)鍵。解：原式a24ab4b2a2b22(a24ab3b2)2a24ab3b22a28ab6b24ab3b2。當(dāng)a，b

6、3時，原式4××(3)3×(3)262733.點評：(1) 本題要分沮是否可用公式計算。 (2) 本題綜合應(yīng)用了完全平方公式、平方差公式及多項式乘法法則。 (3) 顯然，先化簡再求值比直接代入求值要簡便得多。方法2整體代入求值。）例2當(dāng)代數(shù)式ab的值為3時，代數(shù)式2a2b1的值是（）a、5b、6c、7d、8解析：2a2b12(ab)12×317，故選c。點評：這里運用了“整體思想”，這是常用的一種重要數(shù)學(xué)方法。練習(xí)1：、若代數(shù)式的值為6，則代數(shù)式的值為 .5、已知;求的值5、已知，求的值綜合題型講解題型一學(xué)科內(nèi)綜合(一) 數(shù)學(xué)思想方法在本章中的應(yīng)用1、從

7、特殊到一般的認識規(guī)律和方法在探索冪的運算法則時，都是從幾個特殊例子出發(fā)，再推出法則。如：從以下幾個特殊的例子a2·a3a5a23，a4·a6a10a46，推廣到am·anam+n。從而得到法則“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”。2、化歸思想即將要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，這是初中數(shù)學(xué)中最常用的思想方法，如在本章中，單項式乘以單項式可轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法和同底數(shù)冪的乘法運算；單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式都可轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即多×多多×單單×單。還有：如比較420與1510的大小，通常也是將要比較

8、的兩個數(shù)化為底數(shù)相同或指數(shù)相同的形式，再進行比較，即420(42)101610，16101510，所以4201510。3、逆向變換的方法（不講）在進行有些整式乘法運算時，逆用公式可使計算簡便。這樣的例子很多，前邊已舉了一些，這里再舉一例。例： .還有把乘法公式反過來就得出因式分解的公式等。4、整體代換的方法（在冪與乘法，及因式分解中）此方法的最典型應(yīng)用表現(xiàn)于乘法公式中，公式中的字母a、b不僅可以表示一個單項式，還可以表示一個多項式，在因式分解3a(m2)4b(m2)中，可把m2看作一個整體，提公因式m2，即原式(m2)(3a4b)。(二) 與其他知識的綜合(方程，不等式，面積的)（舉例）例1（

9、與方程綜合）一個長方形的長增加4 cm，寬減少1 cm，面積保持不變；長減少2 cm，寬增加1 cm，面積仍保持不變。求這個長方形的面積。解：設(shè)這個長方形的長為a cm，寬為b cm，由題意得即解得因為ab8×324，所以這個長方形面積為24 cm2。點評：本題是一道多項式乘以多項式和列二元一次方程組解應(yīng)用題的綜合題。4、解不等式題型二學(xué)科間的綜合例2生物課上老師講到農(nóng)作的需要的肥料主要有氮、磷、鉀三種，現(xiàn)有某種復(fù)合肥共50千克，分別含氮23%、磷11%、鉀6%，求此種肥料共含有肥料多少千克？解：50×23%50×11%50×6%50（23%11%6%）

10、50×40%20.答：復(fù)合肥共含有肥料20千克。題型三拓展、創(chuàng)新、實踐（整除問題）例3（拓展創(chuàng)新題）2481可以被60和70之間某兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)。思路分析：由2481(224)21(2241)( 2241)(2241)(2121) (2121)(2241)(2121)(261)(261)(2241)(2121)(261)×(641)(641)(2241)(2121)(261)×65×63，所以這兩個數(shù)是65和63。點評：本題是因式分解在整除問題中的應(yīng)用。同步測試一、填空題1、(a)2·(a)3，(x)·x2·(x4)

11、，(xy2)2.2、(2×105)2×1021，(3xy2)2·(2x2y).3、計算：(8)2004 (0.125)2003，2200522004.4、計算：(mn)3·(mn)2·(nm)，(3a)(1a)， (a2)(a2)(4a2)，(mn1)(mn1).5、xn5，yn3，則(xy)2n，若2xm，2yn，則8x+y.6、若a3x2，b12x，c5x，則a·ba·c.7、不等式(x16)(x4)(x12)2的解集是.8、比較25180，64120，8190的大小用“”號聯(lián).9、把下列各式分解因式：(1) a2n2a

12、2n1；(2) x2x1；(3) mm5；(4) (1x)(x1)3.10、在多項式16a24上加上一個單項式，使其成為一個整式的平方，該單項式是 .11、四個連續(xù)自然數(shù)中，已知兩個大數(shù)的積與其余兩個數(shù)的積的差等于58，則這四個數(shù)的和是.12、如圖(1)的面積可以用來解釋(2a)24a2，那么根據(jù)圖(2)，可以用來解釋 （寫出一個符合要求的代數(shù)恒等式）。二、選擇題13、下列各式中，正確的是（）a、m2·m3m6b、(ab)(ba)a2b2c、25a22b2(5a2b)(5a2b)d、(xy)(x2xyy2)x3y314、與(x2x1)(x1)的積等于x61的多項式是（）a、x21b、

13、x31c、x21d、x3115、已知5x3，5y4，則25x+y的結(jié)果為（）a、144b、24c、25d、4916、x為正整數(shù)，且滿足3x+1·2x3x2x+166，則x（）a、2b、3c、6d、1217、把多項式2x2bxc分解因式后得2(x3)(x1)，則b、c的值為（）a、b3，c1b、b6，c2c、b6，c4d、b4，c618、如果xy0，且(xy)3x3y3，那么x、y的關(guān)系為（）a、xyb、xy0c、x、y異號d、x、y同號19、不等式(x1)2(x1)(x1)3(x1)0的正整數(shù)解為（）a、1, 2b、1, 2, 3c、1, 2, 3, 4d、任意正整數(shù)20、若二次三項

14、式ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)，則當(dāng)a0，b0，c0時，c1，c2的符號為（）a、c10, c20b、c10, c20c、c10, c20d、c1, c2異號21、若m2m10，則m32m23（）a、2b、4c、2d、422、已知x2ax12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的積，則符合條件的整數(shù)a的個數(shù)是（）a、3個b、4個c、6個d、8個三、解答題23、計算：(1) (2y3)2(-4y2)3(2y)2·(-3y2)2；(2) (3x2)2(3x2)2(3x2)2·(3x2)2；(3) 3.765420.4692×3.76540.23462.24、因式分

15、解：(1) (a3)2(62a)；(2) 81(ab)24(ab)2；(3) (x25)28(5x2)16.25、解方程或不等式：(1) 3(x2)2(2x1)27(x3)(x3)28；(2) (13x)2(2x1)25(x1)(x1).26、化簡求值：(1) (x23x)(x3)x(x2)2(xy)(yx)，其中x3，y2；(2) 已知x23x10，求下列各式的值，；.四、應(yīng)用題27、如圖大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，求陰影部分的面積。 28、如圖四邊形abcd是校園內(nèi)一邊長為ab的正方形土地（其中ab）示意圖，現(xiàn)準備在這塊正方形土地中修建一個小正方形花壇，使其邊長為ab，其余的

16、部分為空地，留作道路用，請畫出示意圖。 (1) 用尺規(guī)畫出兩種圖形的情形，保留痕跡，不寫作法，并標(biāo)明各部分面積的代數(shù)式。(2) 用等式表示大小正方形及空地間的面積關(guān)系。附1：中考熱點透視分解因式一章中，我們主要學(xué)習(xí)了分解因式的概念、會用兩種方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）. 具體要求有：1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的整體（整式乘法與因式分解）聯(lián)系.2、了解因式分解的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）. 3、通過乘法公式：（a + b）（a

17、- b）=a2 - b2，（a±b）2= a2±2ab + b2的逆向變形，進一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達能力.在中考中，除了考查對一個整式進行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意. 一、構(gòu)造求值型例1（2004山西）已知x+y=1，那么的值為_.分析：通過已知條件，不能分別求出x、y的值，所以要考慮把所求式進行變形，構(gòu)造出x+y的整體形式. 在此過程中我們要用完全平方公式對因式分解中的. =（x2+2xy+y2）=(x+y)2 = 12 = 1 = .在此過程中，我們先提

18、取公因式，再用完全平方公式對原式進行因式分解，產(chǎn)生x+y的整體形式，最后將x+y=1代入求出最終結(jié)果. 例2（2004廣西桂林）計算：_.分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來”，即原式 = = = = = = = 22 + 2 = 4+2 = 6.此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進行分解因式，使結(jié)構(gòu)特點明朗化，規(guī)律凸現(xiàn)出來. 此題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個整體，利用方程與提公因式法分解因式相結(jié)合的方法解答此題. 設(shè)m = ，則-m = 即.解得m = 6.二、探索規(guī)律型例3(2002福建福州)觀察下列各式：l2+1=1×2，22+2=2×

19、;3，32+33×4，請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù)n(n1)表示出來 .分析：根據(jù)題意，不難猜想到規(guī)律：n2+n=n(n+1).這個結(jié)論就是用提公因式法把n2+n進行了因式分解. 例4（2003青海）請先觀察下列算式，再填空：，（1）8× ；（2）（ ）8×4；（3）（ ）98×5；（4）（ ）8× ；通過觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論： . 分析：類比各式，可以發(fā)現(xiàn)：（1）8× 3 ；（2）（ 7）8×4；（3）（ 11 ）98×5；（4）（ 11 ）8× 7 ；通過觀察歸納，得到這種規(guī)律的一般結(jié)論

20、是兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除（或說是8的倍數(shù)）.如果我們分別用2n+1和2n-1表示兩個相鄰的奇數(shù)，則利用平方差公式，有(2n+1)2 (2n-1)2 = (2n+1)+(2n-1) (2n+1)-(2n-1) = 4n×2 = 8n.四、你能很快算出 嗎？為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字是5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成即求的值（n為正整數(shù)），你分析n=1、n=2，這些簡單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納、猜想出結(jié)論（在下面的空格內(nèi)填上你探索的結(jié)果）。（1）通過計算，探索規(guī)律152=225 可寫成10×1×（1+1）+25252=625

21、可寫成10×2×（2+1）+25352=1225 可寫成10×3×（3+1）+25452=2025 可寫成10×4×（4+1）+25 可寫成 。 可寫成 。（2）從第（1）題的結(jié)果歸納、猜想得： 。（3）根據(jù)上面的歸納、猜想，請算出： 。三、開放創(chuàng)新型例5（2003福建南平）請寫出一個三項式，使它能先提公因式，在運用公式來分解. 你編寫的三項式是_，分解因式的結(jié)果是_.分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，寫出一個等式，在它的兩邊都乘一個因式，比如2m(m+n)2 = 2m(m2+2mn+n2)=

22、2m3+2m2n+2mn2,3a(2x-5y)2=3a(2x)2-2×2x×5y+(5y)2=3a(4x2-20xy+25y2)=12ax2-60axy+75ay2，等等. 于是編寫的三項式可以是2m3+2m2n+2mn2，分解因式的結(jié)果是2m(m+n)2；或者編寫的三項式可以是12ax2-60axy+75ay2，分解因式的結(jié)果是3a(2x-5y)2，等等. 例6（2003四川）多項式9x2 + 1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是_(填上一個你認為正確的即可).分析：根據(jù)完全平方公式a2±2ab+b2= (a±b)2

23、的特點，若表示了a2+b2的話，則有a=3x，b=1，所以，缺少的一項為±2ab=±2（3x）·1=±6x，此時，9x2 + 1±6x=(3x±1)2；如果認為9x2 + 1表示了2ab+b2的話，則有a=4.5x2，b=1，所以，缺少的一項為a2=（4.5x）2= 20.25x4，此時，20.25x4+9x2 + 1=(4.5x2+1)2.從另外一個角度考慮，“一個整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多項式，也可以是單項式. 注意到9x2=(3x)2，1=12，所以，保留二項式9x2 + 1中的任何一項，都是“一個整

24、式的完全平方”，故所加單項式還可以是-1或者 - 9x2，此時有9x2 + 1-1=9x2=(3x)2，或者9x2 + 1-9x2=12. 綜上分析，可知所加上的單項式可以是±6x、20.25x4、-1或者 - 9x2. 四、數(shù)形結(jié)合型例7（2002陜西）如圖1，在長為a 的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(ab)把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖2),通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式,則這個等式是( d ) aa2b2(a十b)(ab) b(ab)2a22ab 十b2 c(ab)2a22abb2 d(a十2b)(ab)a2ab 2b2分析：圖1表示的是a2b2，圖

25、2表示的是(a十b)(ab)，兩者面積相等，所以a2b2(a十b)(ab).故選a例8（2002年山東省濟南市中考題）請你觀察圖3，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是_圖3分析：圖中所表示的整個正方形的面積是x2，兩個小正方形的面積分別是y2與（x-y）2，利用這些數(shù)據(jù)關(guān)系，結(jié)合圖形便可以寫出以下公式：x2-2xy+y2 = (x-y)2，或者x2-y2 = (x+y)(x-y).當(dāng)然，在沒有限定的情況下，也能寫成乘法公式. 根據(jù)幾何圖形的特征，研究其中蘊含的數(shù)學(xué)公式，是“數(shù)形結(jié)合思想”的具體體現(xiàn). 例9（2003山西）有若干張如圖4所示的正方形和

26、長方形卡片，圖4表中所列四種方案能拼成邊長為的正方形的是（ ） 卡片 數(shù)量（張）方案（1）（2）（3）a112b111c121d211分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是（a+b）2.因為a2+2ab+b2=（a+b）2，對照圖4所示的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為a2、b2和ab，它們分別需要1張、1張、2張. 由此可選出正確答案為a.例10（2003山西太原）如圖5是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式 圖5分析：外框圍成的大正方形面積為（a+b）2，4個矩形的面積之和為4ab，中間的空白部分的面積為(a-b

27、)2.于是，可以列出等式（a+b）2-4ab = (a-b)2.對于它的正確性，可以用因式分解的方法證明：（a+b）2-4ab =a2+2ab+b2-4ab = a2-2ab+b2 = (a-b)2.29、在通常的日歷牌上,可以看到一些數(shù)所滿足的規(guī)律,表1是2005年6月份的日歷牌。表2表3表1星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六123456789101112131415161718192021222324252627282930(1) 在表1中，我們選擇用如表2那樣2×2的長方形框任意圈出2×2個數(shù)，將它們交叉相乘，再相減，如：2×81×97，1

28、4×2013×217，24×1817×257，你發(fā)現(xiàn)了什么？再選擇幾個試試，看看是否都是這樣，想一想，能否用整式的運算加以說明。(2) 如果選擇用如表3那樣3×3的長方形方框任意圈出3×3個數(shù)，將長方形方框四解位置上的4個數(shù)交叉相，再相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？請說明理由。30、為了美化校園環(huán)境，爭創(chuàng)綠色學(xué)校，某區(qū)教育局委托園林公司對a，b兩校進行校園綠化，已知a校有如圖(1)的陰影部分空地需鋪設(shè)草坪，b校有如圖(2)的陰影部分空地需鋪設(shè)草坪，在甲、乙兩地分別有同種草皮3500米2和2500米2出售，且售價一樣，若園林公司向甲、乙兩地購買草皮

29、，其路程和運費單價表如下：路程、運費單價表a校b校路程(千米)運費單價(元)路程(千米)運費單價(元)甲地200.15100.15乙地150.20200.20（注：運費單價表示每平方米草皮運送1千米所需的人民幣）求：(1) 分別求出圖1、圖2的陰影部分面積；(2) 若園林公司將甲地3500m2的草皮全部運往a校，請你求出園林公司運送草皮去a、b兩校的總運費；(3) 請你給出一種運送方案，使得園林公司支付出送草皮的總運費不超過15000元。 第30題圖參考答案一、填空題1、a5，x7，x2y42、4×1031，18x4y53、8，220044、(mn)6，32aa2，a416，m22m

30、1n25、225，m3n36、21x217x27、x208、819064120251809、a2n1(a2)，(x1)2，m(1m2)(1m)(1m)，x(1x)(2x)10、±16a11、5812、(ab)2(ab)24ab二、選擇題13、d14、d15、a16、c17、d18、b19、d20、b21、b22、c三、解答題23、(1) 96y6(2) 81x472x224x16(3) 1624、(1) (a3)(a1)；(2) (11a7a)(7a11b)；(3) (x3)2 (x3)225、(1) x6；(2) x.26、(1) 原式5x213xy2，當(dāng)x3，y2時，原式2；(2

31、) 由題意得，27、大正方形的邊長為4，小正方形的邊長為2.長方形的長為6，寬為4.s陰6×41644.28、(1) 如圖(2) (ab)2(ab)24ab (ab)2a22abb2.29、(1) 9×158×167，18×2417×257.設(shè)最小數(shù)為x，另三個數(shù)分別為(x1)，(x7)，(x8)則(x1)(x7)x(x8)x28x7x28x7.(2) 它們的差是28.設(shè)最中間一個數(shù)為x，則最小的是x8最大的是x8，另兩個分別是x6和x6.有題意得(x6)(x6)(x8)(x8)x236x2642830、(1) 圖1陰影面積為3600m2，圖2陰影面積為2400m2.(2) 總運費為20400元。(3) 設(shè)甲地草皮運送x m2去a校，有(3500x)m2運往b校，乙地草皮(3600x)m2運往a校，(x1100)m2草皮運往b校。依題意得。20×0.15x(3500x)×10×0.15(3600x)×15×0.20(x1100)×20×0.201500，x11000解之得1100x1340.只要所設(shè)計的方案中運往a校的草皮在11