提公因式法教學(xué)設(shè)計一

1、提公因式法三、教學(xué)過程引言：同學(xué)們在小學(xué)里學(xué)完整數(shù)的四則運算和應(yīng)用題之后，就學(xué)習(xí)因數(shù)分解因為通分和約分要直接應(yīng)用質(zhì)因數(shù)分解在初中一年級，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式本學(xué)期，代數(shù)課先學(xué)習(xí)因式分解因為這部分內(nèi)容不僅在分式的通分和約分里有直接的應(yīng)用，而且在解方程和各種式子的恒等變形等方面經(jīng)常用到，希望同學(xué)們努力學(xué)好它從初中代數(shù)課本第二冊(以下簡稱教科書)第2頁上半部分的圖，同學(xué)們可看出用字母表示分配律的等式m(a+b+c)=ma+mb+mc 這個式子表明了兩個因式相等所得的結(jié)果，結(jié)果是一個多項式，其中各項都含有一個公共的因式m把式反過來寫，就是ma+mb+mc=m(a+b+c) 這個式子表明：如果一個多項式的

2、各項都含有一個公共的因式m，那么這個多項式可化為因式m與另一個因式的積這種把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式式是做整式乘法，式是進(jìn)行因式分解，由此可以看出因式分解正好與整式乘法相反，就是說，因式分解是整式乘法的逆變形從教科書第2頁下半部可知(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn表明兩個多項式相乘，結(jié)果仍是一個多項式把式反過來寫，就是am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)這個式子表明：把一個多項式通過先分組，再化為兩個整式的積可見式是做整式乘法，式是進(jìn)行因式分解，它們是互逆的

3、兩種整式變形式給出了因式分解的一種基本方法提公因式法，式給出了因式分解的另一種方法分組分解法這一章就是學(xué)習(xí)因式分解的幾種基本方法提公因式法：同學(xué)們看多項式ma+mb+mc， 各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式 例如，m是多項式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bdd的公因式根據(jù)乘法分配律，可得m(a+b+c)=ma+mb+mc 將式反過來，得到多項式ma+mb+mc的因式分解的形式ma+mb+mc=m(a+b+c) 也就是，多項式ma+mb+mc各項都含有公因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式 例如，m是多項式ma+mb+mc的公因式，又

4、如d是ad+bdd的公因式根據(jù)乘法分配律，可得m(a+b+c)=ma+mb+mc將式反過來，得到多項式ma+mb+mc的因式分解的形式ma+mb+mc=m(a+b+c) 也就是，多項式ma+mb+mc各項都含有公因式m，可以把公因式m提到括號外面，將多項式ma+mb+mc寫成因式m與a+b+c乘積的形式這里的m既可以是單項式，也可以是多項式一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式這種分解因式的方法叫做提公因式法下面，我們用提公因式的方法把一些多項式分解因式1公因式是單項式的類型例1 把8a3b212ab3c分解因式 解：8a3b212ab3c=

5、4ab2·2a24ab2·3bc=4ab2(2a23bc)說明：怎樣提公因式呢？公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的例2 把3x26xy+x分解因式 解：3x26xy+x=x·3xx·6y+x·1=x(3x6y+1)說明：提公因式后，不能出現(xiàn)漏項的情況，1作為項的系數(shù)，通?？梢允÷圆粚懀绻麊为毘梢豁棔r，如例2中的x，它在因式分解過程中不能漏掉，檢查是否漏項的方法是用乘法進(jìn)行驗證例3 把4m3+16m226m分解因式 解：4m3+16m226m=(4m316m2+26m)=2m(2m28m+

6、13)說明：如果多項式首項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提取“”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正的，在提取負(fù)號時，多項式的各項都要變號2公因式是二項式或三項式乘方的類型例4 把2a(b+c)3(b+c)分解因式 解：令m=b+c，則2a(b+c)3(b+c)=(b+c)(2a3)例5 把6(x2)+x(2x)分解因式 解：6(x2)+x(2x)=6(x2)x(x2)=(x2)(6x)例6 把18b(ab)212(ab)3分解因式 解：18b(ab)212(ab)3=6(ab)2·3b6(ab)2·2(ab)=6(ab)23b2(ab)=6(ab)2(3b2a+2b)=6(ab)2(5b2

7、a)例7 把5(xy)3+10(yx)2分解因式 解：因為(yx)2=(xy)2=(xy)2所以5(xy)3+10(yx)2=5(xy)2·(xy)+5(xy)2·2=5(xy)2(xy+2)說明：(1)進(jìn)行因式分解時常用的一些等式ba=(ab)；(ba)2=(ab)2;(ba)3=(ab)3.(2)在提公因式后的多項式因式里，如果有同類項，要合并同類項，如例6；如果化簡后的因式化為單項式，要把單項式因式寫在前面，如(m+n)(p+q)(m+n)(pq)=(m+n)(p+q)(pq)=(m+n)(p+qp+q)=(m+n)·2q=2q(m+n)本課題可分三課時進(jìn)行

8、教學(xué)第一課時內(nèi)容：引言，因式分解的意義，因式分解與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系例題：1根據(jù)乘法運算(a+b)(ab)=a2b2;(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab;(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3把下列多項式分解因式：(1)a2b2；(2)x2+(a+b)x+ab；(3)a3+b3練習(xí)：1(口答)下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解，哪些不是？(1)(x+2)(x2)=x24；(2)x24=(x+2)(x2)；(3)x24+3x=(x+2)(x2)+3x2根據(jù)乘法運算m(ab+c)=mamb+mc;(x2)2=x24x+4；(x+1)(x2x+1)=x3+1把下列多項式分解因式：

9、(1)mamb+mc；(2)x24x+4；(3)x3+1作業(yè)：根據(jù)乘法運算(m+4)(m4)=m216，(x+2)(x+3)=x2+5x+6，(y3)2=y26y+9，(p2)(p2+2p+4)=p38，把下列多項式分解因式(1)m216；(2)x2+5x+6(3)y26y+9；(4)p38第二課時內(nèi)容：提公因式法，公因式為單項式類型的多項式的因式分解，例1例3練習(xí)：1(口答)指出下列多項式中各項的公因式：(1)ax+ay； (2)3mx6mx；(3)4a2+10ab； (4)15a2+5a；(5)x2y+xy2； (6)12xyz9x2y22填空：(1)2r+2r=_(r+r)；(2)2r+

10、2r=2(_)；(5)3x3+6x2=_(x+2)；(6)7a221a=_(a3)；(7)15a2+25ab2=5a(_)；(8)x2y+xy2xy=xy(_)3把下列各式分解因式：(1)nxny；(2)a2+ab；(3)4x36x2；(4)8m2n+2mn；(5)3a2y3ay+6y；(6)a2b5ab+9b；(7)x2+xyxz；(8)24x2y12xy2+28y3；(9)3ma3+6ma212ma；(10)56x3yz+14x2y2z21xy2z2參考答案1(1)a；(2)3x；(3)2a；(4)5a；(5)xy；(6)3xy3(1)n(xy)；(2)a(a+b)；(3)2x2(2x3)

11、；(4)2mn(4m+1)；(5)3y(a2a+2)；(6)b(a25a+9)；(7)x(xy+z)；(8)4y(6x2+3xy7y2)；(9)3ma(a22a+4)；(10)7xyz(8x2+2xy3yz)作業(yè)1把下列各式分解因式(1)cxcy+cz； (2)pxqxrx；(3)15a310a2； (4)12abc3bc2；(5)4x2yxy2； (6)63pq+14pq2；(7)24a3m18a2m2； (8)x6yx4z2填空(1)14abx8ab2x+2ax=2ax(_)；(2)7ab14abx+49aby=7ab(_)3把下列各式分解因式：(1)15x3y2+5x2y20x2y3；(

12、2)6m2n15mn2+30m2n2；(3)16x432x3+56x2；(4)4a3b2+6a2b2ab參考答案1(1)c(xy+z) (2)x(pqr)(3)5a2(3a2) (4)3bc(4ac)(5)xy(4xy) (6)7pq(9+2q)(7)6a2m(4a3m) (8)x4(x2yz)2(1)7b4b2+1 (2)1+2x7y3(1)5x2y(3xy+14y2)(2)3mn(2m5n+10mn)(3)8x2(2x2+4x7)(4)2ab(2a2b3a+1)第三課時內(nèi)容：公因式為二項式或二項式乘方類型的多項式的因式分解例4例7練習(xí)：略作業(yè)：略四、需要注意的幾個問題1教科書第2頁上半部分：用一組矩形及兩條逆向的箭頭表明因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系，這種利用直觀形象簡捷而生動地闡明數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性，我們還可以就下半部分作類似的表述： 整式乘法(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn因式分解am+an+bm+bn=a(m