人教版高一下學期期中考試數(shù)學試題及答案解析（共五套）

人教版高一下學期期中考試數(shù)學試卷（一）一．選擇題1．已知向量，，是線段AB的中點，則點的坐標是A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足，則A． B． C．5 D．3．已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為A． B． C．1 D．4．復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為A． B． C． D．5．已知向量，滿足，，則向量，的夾角為A． B． C． D．6．已知向量，，且，則A．5 B．4 C．3 D．27．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A．，，， B．，，C．， D．，8．四面體中，面ABC，，，，則四面體外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題9．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A．是單位向量 B． C． D．10．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，角的角平分線交BC于點，，，以下結(jié)論正確的是A． B．C． D．的面積為11．在正方體中，為底面ABCD的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段AP的中點，則A．與是異面直線B．存在點使得平面C．平面平面D．過，，三點的正方體的截面一定是等腰梯形12．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為三．填空題13．已知虛數(shù)單位，若復數(shù)的虛部為，則．14．已知向量，若向量與反向，且，則向量的坐標是．15．已知向量，，且，則．16．直三棱柱的各頂點都在球的球面上，且，，若球的表面積為，則這個三棱柱的體積為．四．解答題17．已知復滿足為實數(shù)，為純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位．（1）求實數(shù)，的值；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．18．已知復數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）若復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復數(shù)．19．（1）設，是正交單位向量，如果，，，若、、三點在一條直線上，且．求、的值．（2）已知，，點在線段的延長線上，且，求點坐標．20．如圖，在四棱柱中，四邊形是邊長等于2的菱形，，平面，，分別是，的中點，交于點，點為的中點（1）求證：平面；（2）若與平面所成的角為，求三棱錐的表面積．21．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，其面積．（1）若，，求；（2）求的最大值．22．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面．（Ⅰ）證明：直線平面；（Ⅱ）若，為線段的中點，求三棱錐的體積．參考答案一．選擇題1．已知向量，，是線段AB的中點，則點的坐標是A． B． C． D．【答案】B【解析】由線段的中點公式可得，，故點的坐標是，故選B．2．若復數(shù)滿足，則A． B． C．5 D．【答案】D【解析】由，得，，則．故選D．3．已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由，得，復數(shù)的虛部為．故選A．4．復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為A． B． C． D．【答案】D【解析】，，復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為，故選D．5．已知向量，滿足，，則向量，的夾角為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設向量，的夾角為，若，則，，若，則，解可得，又由，故，故選C．6．已知向量，，且，則A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】向量，，且，可得，解得，所以，，所以．故選A．7．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A．，，， B．，，C．， D．，【答案】D【解析】，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，對于，，，，，也可能相交，所以不正確；對于，，，也可能異面，所以不正確；對于，，有可能，所以不正確；對于，，，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)，所以正確．故選D．8．四面體中，面ABC，，，，則四面體外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】設外接圓的圓心為，四面體外接球的球心為，半徑為，連接，，，由正弦定理可得，即，，，即四面體外接球的表面積為，故選A．二．多選題9．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A．是單位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】．，由得，，是單位向量，該選項正確；．，，該選項正確；，由得，，即，，該選項錯誤；．，由上面得，，，該選項正確．故選ABD．10．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，角的角平分線交BC于點，，，以下結(jié)論正確的是A． B．C． D．的面積為【答案】ACD【解析】因為，由正弦定理可得，，所以，因為，所以即，，由角平分線定理可得，，設，，則，，中，由勾股定理可得，，解可得，即，，，所以．故選ACD．11．在正方體中，為底面ABCD的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段AP的中點，則A．與是異面直線B．存在點使得平面C．平面平面D．過，，三點的正方體的截面一定是等腰梯形【答案】BCD【解析】對于，因為，，共線，又，交于點，即，，，共面，因此與共面，故選項不正確；對于，當為的中點時，平面，故選項正確；對于，，，，，平面，平面，平面，平面平面，故選項正確；對于，過，，三點的正方體的截面與相交于點，則，且，因此一定是等腰梯形，故選項正確．故選BCD．12．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為【答案】BC【解析】對于，，是與所成角（或所成角）的補角，，，與不垂直，故錯誤；對于，取中點，連接，，則，，，，平面平面，平面，平面，故正確；對于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正確；對于，取中點，連接、，則，，，，平面平面，平面，平面，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面為矩形，，，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為，故錯誤．故選：BC．三．填空題13．已知虛數(shù)單位，若復數(shù)的虛部為，則．【答案】【解析】，復數(shù)的虛部為，，解得，，．故答案為：．14．已知向量，若向量與反向，且，則向量的坐標是．【答案】【解析】因為：向量，，向量與反向，且．故答案為：．15．已知向量，，且，則．【答案】1【解析】根據(jù)題意，向量，，則．因為，所以，解得，故答案為：1．16．直三棱柱的各頂點都在球的球面上，且，，若球的表面積為，則這個三棱柱的體積為．【答案】【解析】設和△的外心分別為、，連接，可得外接球的球心為的中點，連接、、、、、，中，，，，根據(jù)正弦定理，得外接圓半徑球的表面積為，，，△中，，可得，直三棱柱的底面積，直三棱柱的體積為．故答案為：．四．解答題17．已知復滿足為實數(shù)，為純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位．（1）求實數(shù)，的值；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得，，再由題意可得：，解得；（2）由（1）得，，則，則，即．實數(shù)的取值范圍是，．18．已知復數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）若復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復數(shù)．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）復數(shù)，，所以；由該復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，；（2）化簡，的共軛復數(shù)．19．（1）設，是正交單位向量，如果，，，若、、三點在一條直線上，且．求、的值．（2）已知，，點在線段的延長線上，且，求點坐標．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）以為原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立平面直角坐標系，則，，，，，又，，三點在一條直線上，，，與聯(lián)立，解得或；（2），，，，設，點在線段的延長線上，且，，即，，，解得，．．20．如圖，在四棱柱中，四邊形是邊長等于2的菱形，，平面，，分別是，的中點，交于點，點為的中點（1）求證：平面；（2）若與平面所成的角為，求三棱錐的表面積．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）連接，由于點為的中點，為的中點，所以，由于平面，平面，所以平面．（2）連接，由于四邊形為邊長為2的菱形，．所以為等邊三角形．所以，，且，由于與平面所成的角為，且，由于平面，則：，所以，由于平面，平面，所以．又，，，平面，所以平面，則：，所以三棱錐的表面積為：．21．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，其面積．（1）若，，求；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），可得，，可得，，，，，由正弦定理，可得，又，為銳角，．（2），令，則，原式，，，當時，，此時，原式的最大值為．22．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面．（Ⅰ）證明：直線平面；（Ⅱ）若，為線段的中點，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，為等邊三角形，，又平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，底面為正方形，，，，平面，平面；（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）得平面，點到平面的距離，底面為正方形，，又平面，平面，平面，，兩點到平面的距離相等，均為，又為線段的中點．點到平面的距離，由（Ⅰ）知，平面，平面，，．故三棱錐的體積為．人教版高一下學期期中考試數(shù)學試卷（二）一．選擇題1．已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．已知，則復數(shù)A． B． C． D．4．已知，兩點，且，則點的坐標為A． B． C． D．5．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為A． B． C． D．6．已知是邊長為4的等邊三角形，為BC的中點，點在邊AC上，設AD與BE交于點，則A．4 B．6 C．8 D．107．已知，分別是正方體的棱，上的動點（不與頂點重合），則下列結(jié)論錯誤的是A． B．平面平面C．四面體的體積為定值 D．平面8．所有棱長都是3的直三棱柱的六個頂點都在同一球面上，則該球的表面積是A． B． C． D．二．多選題9．已知向量，，則A．B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為D．若，則10．在中，如下判斷正確的是A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若，則11．如圖，在正方體中，點，分別是棱，上異于端點的兩個動點，且，則下列說法正確的是A．三棱錐的體積為定值B．對于任意位置的點，平面與平面所成的交線均為平行關系C．的最小值為D．對于任意位置的點，均有平面平面12．在棱長為2的正方體中，，分別為AB，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為13．己知是虛數(shù)單位，復數(shù)，則的虛部為．14．已知向量，，若，則．15．設，，向量，若且，則的值是．16．如圖，在中，，，分別取三邊的中點，，，將，，分別沿三條中位線折起，使得，，重合于點，則當三棱錐的外接球的體積最小時，其外接球的半徑為，三棱錐的體積為．四．解答題17．已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．18．已知復數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）若復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復數(shù)．19．在中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）若，求的面積的最大值．20．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，點，，，．（1）若，，求的最小值；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域．21．如圖，在四邊形中，，，，，為上的點且，若平面，為的中點．（1）求證：平面；（2）求四棱錐的側(cè)面積．22．如圖，在三棱錐中，，，，為棱上一點，，棱的中點在平面上的射影在線段上．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．參考答案一．選擇題1．已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故選B．2．已知復數(shù)滿足，則A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故選D．3．已知，則復數(shù)A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，故選C．4．已知，兩點，且，則點的坐標為A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，，，，，即，，，故，解得，，所以．故選C．5．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設與的夾角為，若向量在向量上的投影向量為，則，則有，又，所以，故選B．6．已知是邊長為4的等邊三角形，為BC的中點，點在邊AC上，設AD與BE交于點，則A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】因為是邊長為4的等邊三角形，為的中點，所以，由數(shù)量積的幾何意義可知．故選C．7．已知，分別是正方體的棱，上的動點（不與頂點重合），則下列結(jié)論錯誤的是A． B．平面平面C．四面體的體積為定值 D．平面【答案】C【解析】，分別是正方體的棱，上的動點（不與頂點重合），對于，，，，、平面，平面，平面，，故正確；對于，平面平面，平面與平面重合，平面平面，故正確；對于，到平面的距離為定值，到的距離為定值，的長不是定值，四面體的體積不為定值，故錯誤；對于，平面平面，平面，平面，故正確．故選C．8．所有棱長都是3的直三棱柱的六個頂點都在同一球面上，則該球的表面積是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：；所以外接球的半徑為：．所以外接球的表面積為：．故選C．二．多選題9．已知向量，，則A．B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為D．若，則【答案】BCD【解析】對于，向量，，所以，且，所以與不平行，錯誤；對于，向量在向量上的投影向量為，所以正確；對于，因為，所以，，所以正確；對于，因為，所以，所以，選項正確．故選BCD．10．在中，如下判斷正確的是A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若，則【答案】BCD【解析】，，，或，或，則為等腰或直角三角形．故錯誤．，，，，故正確．為銳角三角形，為銳角，，，，，故正確．，，，，故正確．故選BCD．11．如圖，在正方體中，點，分別是棱，上異于端點的兩個動點，且，則下列說法正確的是A．三棱錐的體積為定值B．對于任意位置的點，平面與平面所成的交線均為平行關系C．的最小值為D．對于任意位置的點，均有平面平面【答案】BD【解析】對于，，面積不定，而到平面的距離為定值，不是定值，故錯誤；對于，由于平面，則經(jīng)過直線的平面與的所有交線均與平行，根據(jù)平行的傳遞性，可得所有的交線也平行，故正確；對于，設正方體棱長為1，，則，，則，，故錯誤；對于，由題意得直線與平面垂直，對于任意位置的點，均有平面平面，故正確．故選BD．12．在棱長為2的正方體中，，分別為AB，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為【答案】BC【解析】對于，，是與所成角（或所成角）的補角，，，與不垂直，故錯誤；對于，取中點，連接，，則，，，，平面平面，平面，平面，故正確；對于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正確；對于，取中點，連接、，則，，，，平面平面，平面，平面，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面為矩形，，，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為，故錯誤．故選BC．三．填空題13．己知是虛數(shù)單位，復數(shù)，則的虛部為．【答案】【解析】，則的虛部為，故答案為：．14．已知向量，，若，則．【答案】【解析】，，解得，則，，．故答案為：．15．設，，向量，若且，則的值是．【答案】3【解析】因為，所以．又因為，所以，．于是．故答案為：3．16．如圖，在中，，，分別取三邊的中點，，，將，，分別沿三條中位線折起，使得，，重合于點，則當三棱錐的外接球的體積最小時，其外接球的半徑為，三棱錐的體積為．【答案】；．【解析】由題意可知三棱錐的對棱分別相等，設，則，將三棱錐補成長方體，則面對角線長度分別為：，，4，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，長方體的長寬高分別為：，，，則，，．所以，所以外接球的半徑為：，當時，外接球半徑取得最小值，外接球的體積取得最小值，此時，解得，，所以三棱錐的體積為：．故答案為：；．四．解答題17．已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或4．【解析】（1），所以有，（2）即可，解得或4．18．已知復數(shù)，，為虛數(shù)單位．（1）若復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復數(shù)．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）復數(shù)，，所以；由該復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，；（2）化簡，的共軛復數(shù)．19．在中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）若，求的面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，所以．即，由正弦定理得，由余弦定理，由為三角形內(nèi)角得；（2），故，，，，，，，因為，所以，故，所以．故的面積的最大值．20．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，點，，，．（1）若，，求的最小值；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域．【答案】（1）；（2）當時的值域為；時的值域為，．【解析】（1），，時，取最小值為；（2），向量與向量共線，常數(shù)，，，①當即時，當時，取得最大值；時，取得最小值，此時函數(shù)的值域為．②當即時，當時，取得最大值；時，取得最小值，此時函數(shù)的值域為，．綜上所述，當時的值域為；時的值域為，．21．如圖，在四邊形中，，，，，為上的點且，若平面，為的中點．（1）求證：平面；（2）求四棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：取的中點為，連結(jié)，，因為為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面；（2）解：因為，所以，又因為平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，為直角三角形，因為，，，，所以，所以，所以四棱錐的側(cè)面積為．22．如圖，在三棱錐中，，，，為棱上一點，，棱的中點在平面上的射影在線段上．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖，取的中點，連接，，為的中點，則，，，則，又點在平面上的射影在線段上，平面，而平面，，，、平面，平面；（2）解：平面，平面，，點為棱的中點，，，又，、平面，平面，而平面，，，，，，，，在中，由，得，，即，，．三棱錐的體積為．人教版高一下學期期中考試數(shù)學試卷（三）一．選擇題1．已知復數(shù)，則復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，是線段AB的中點，則點的坐標是A． B． C． D．3．A． B． C． D．4．設復數(shù)，則的虛部是A． B． C． D．5．已知向量，滿足，，則向量，的夾角為A． B． C． D．6．已知是的重心，且，，則的值為A． B．1 C． D．7．已知、為兩條不同直線、為兩個不同的平面，給出以下四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則．其中真命題的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．38．四面體中，面ABC，，，，則四面體外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題9．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A．是單位向量 B． C． D．10．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，角的角平分線交BC于點，，，以下結(jié)論正確的是A． B．C． D．的面積為11．如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是A．、、、四點共面 B．直線與所成角的為C．平面 D．平面平面12．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為三．填空題13．已知向量，若向量與反向，且，則向量的坐標是．14．已知虛數(shù)單位，若復數(shù)的虛部為，則．15．已知單位向量、的夾角為，與垂直，則．16．已知三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐的體積為．四．解答題17．已知復數(shù)是虛數(shù)單位），．（Ⅰ）若是純虛數(shù)，求的值；（Ⅱ）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求的取值范圍．18．已知復數(shù)的共軛復數(shù)是，是虛數(shù)單位，且滿足．（1）求復數(shù)；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．19．平面內(nèi)給定三個向量（1）求（2）若，求實數(shù)的值．20．已知，，分別是中角，，的對邊，且．（1）求角的大小；（2）若，求的值．21．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若是上一點，且，求三棱錐的體積．22．如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．（1）求證：；（2）求證：平面．參考答案一．選擇題1．已知復數(shù)，則復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，復數(shù)對應的點的坐標為，在復平面內(nèi)位于第四象限．故選D．2．已知向量，，是線段AB的中點，則點的坐標是A． B． C． D．【答案】B【解析】由線段的中點公式可得，，故點的坐標是，故選B．3．A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選D．4．設復數(shù)，則的虛部是A． B． C． D．【答案】A【解析】復數(shù)，的虛部是．故選A．5．已知向量，滿足，，則向量，的夾角為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設向量，的夾角為，若，則，，若，則，解可得，又由，故，故選C．6．已知是的重心，且，，則的值為A． B．1 C． D．【答案】A【解析】設是的中點，因為是三角形的重心，所以，，所以，．故選A．7．已知、為兩條不同直線、為兩個不同的平面，給出以下四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則．其中真命題的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①若，，則；也可能，所以①不正確；②若，，則；也可能與是異面直線，所以②不正確；③若，，則；也可能，有可能是相交但不垂直，所以③不正確；④若，，，則．也可能是異面直線，所以④不正確；所以正確命題是0個．故選A．8．四面體中，面ABC，，，，則四面體外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】設外接圓的圓心為，四面體外接球的球心為，半徑為，連接，，，由正弦定理可得，即，，，即四面體外接球的表面積為，故選A．二．多選題9．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A．是單位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】．，由得，，是單位向量，該選項正確；．，，該選項正確；，由得，，即，，該選項錯誤；．，由上面得，，，該選項正確．故選ABD．10．在中，角，，所對的邊分別為，，．若，角的角平分線交BC于點，，，以下結(jié)論正確的是A． B．C． D．的面積為【答案】ACD【解析】因為，由正弦定理可得，，所以，因為，所以即，，由角平分線定理可得，，設，，則，，中，由勾股定理可得，，解可得，即，，，所以．故選ACD．11．如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是A．、、、四點共面 B．直線與所成角的為C．平面 D．平面平面【答案】BD【解析】對于，、、在平面內(nèi)，在平面外，故錯誤；對于，如圖，取中點，連接，，可得，為直線與所成角，由題意可得為邊長為的等邊三角形，則，故正確；對于，若平面，又平面，則平面平面，而平面平面，矛盾，故錯誤；對于，在長方體中，平面，平面，平面平面，故正確．故選BD．12．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為【答案】BC【解析】對于，，是與所成角（或所成角）的補角，，，與不垂直，故錯誤；對于，取中點，連接，，則，，，，平面平面，平面，平面，故正確；對于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正確；對于，取中點，連接、，則，，，，平面平面，平面，平面，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面為矩形，，，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為，故錯誤．故選：BC．三．填空題13．已知向量，若向量與反向，且，則向量的坐標是．【答案】【解析】因為：向量，，向量與反向，且．故答案為：．14．已知虛數(shù)單位，若復數(shù)的虛部為，則．【答案】【解析】，復數(shù)的虛部為，，解得，，．故答案為：．15．已知單位向量、的夾角為，與垂直，則．【答案】【解析】根據(jù)題意，單位向量、的夾角為，則，若與垂直，則，解可得：，故答案為：．16．已知三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐的體積為．【答案】【解析】如圖，三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，射影在底面上的射影在的平分線上，可得棱錐的高為：，所以，與底面所成角也是，在底面的射影是底面三角形的外心，外接圓的半徑為2，所以射影點為，是的中點，則是等腰直角三角形，所以該三棱錐的體積為：．故答案為：．四．解答題17．已知復數(shù)是虛數(shù)單位），．（Ⅰ）若是純虛數(shù)，求的值；（Ⅱ）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）復數(shù)，是純虛數(shù)，，解得．的值為．（Ⅱ）復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，，解得，的取值范圍是．18．已知復數(shù)的共軛復數(shù)是，是虛數(shù)單位，且滿足．（1）求復數(shù)；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設復數(shù)，則，于是，即，，解得，故；（2）由（1）得，，由于復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，，解得．實數(shù)的取值范圍是．19．平面內(nèi)給定三個向量（1）求（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）5；（2）3.【解析】（1）;（2）由，而，，.20．已知，，分別是中角，，的對邊，且．（1）求角的大?。唬?）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，由正弦定理得：，由余弦定理得，又，所以．（2），由正弦定理，得，且，，，整理得：，有．21．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若是上一點，且，求三棱錐的體積．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）證明：四邊形為菱形，．平面平面，平面平面，平面，平面．平面，．又，，得．又，平面，，平面；（2）解：由（1）得平面，平面，，，可得為等腰三角形．在中，由余弦定理得．，，則．可得，又，．22．如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．（1）求證：；（2）求證：平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，．（2）取的中點，連接，，是的中點，，，又由（1）可得，且，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．人教版高一下學期期中考試數(shù)學試卷（四）一．選擇題1．已知，兩點，且，則點的坐標為A． B． C． D．2．設復數(shù)滿足，則等于A． B． C． D．3．若復數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．4．設復數(shù)，則的虛部是A． B． C． D．5．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為A． B． C． D．6．已知矩形ABCD中，，，為AB上的點，且，為BC的中點，則A． B． C． D．7．已知，是兩條直線，，，是三個平面，則下列命題正確的是A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則8．在四面體PABC中，，，，，則該四面體外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題9．已知向量，，則A．B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為D．若，則10．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，，則的面積為A．3 B． C． D．611．如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是A．、、、四點共面 B．直線與所成角的為C．平面 D．平面平面12．在棱長為2的正方體中，，分別為AB，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為三．填空題13．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則．14．已知向量，，若，則．15．已知單位向量、的夾角為，與垂直，則．16．直三棱柱的各頂點都在球的球面上，且，，若球的表面積為，則這個三棱柱的體積為．四．解答題17．已知復數(shù)為純虛數(shù)，且為實數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）設，若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求的取值范圍．18．已知，其中是虛數(shù)單位，為實數(shù)．（1）當為純虛數(shù)時，求的值；（2）當復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限時，求的取值范圍．19．平面內(nèi)給定兩個向量（1）求；（2）若，求實數(shù)的值．20．如圖，在四邊形中，，，，，為上的點且，若平面，為的中點．（1）求證：平面；（2）求四棱錐的側(cè)面積．21．在中，內(nèi)角、、對應的邊長分別為、、，且滿足．（1）求；（2）若，求的最大值．22．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若是上一點，且，求三棱錐的體積．參考答案一．選擇題1．已知，兩點，且，則點的坐標為A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，，，，，即，，，故，解得，，所以．故選C．2．設復數(shù)滿足，則等于A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故選B．3．若復數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，．故選C．4．設復數(shù)，則的虛部是A． B． C． D．【答案】A【解析】復數(shù)，的虛部是．故選A．5．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設向量，夾角為，若單位向量，滿足，則有，則有，故選A．6．已知矩形ABCD中，，，為AB上的點，且，為BC的中點，則A． B． C． D．【答案】B【解析】以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，距離如圖所示的直角坐標系，則，，，，，，，則．故選B．7．已知，是兩條直線，，，是三個平面，則下列命題正確的是A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】C【解析】．若，，，則，不正確，可能相交；．若，，則或，因此不正確；．若，，，則，正確；證明：設，，取，過點分別作，，則，，，，又，．．若，，則或．故選C．8．在四面體PABC中，，，，，則該四面體外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可知．因為，，所以，即．設的中點為，則，即四面體的外接球半徑為，外接球表面積為．故選D．二．多選題9．已知向量，，則A．B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為D．若，則【答案】BCD【解析】對于，向量，，所以，且，所以與不平行，錯誤；對于，向量在向量上的投影向量為，所以正確；對于，因為，所以，，所以正確；對于，因為，所以，所以，選項正確．故選BCD．10．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，，則的面積為A．3 B． C． D．6【答案】AC【解析】由，利用正弦定理可得，即，，，或，又，，當為銳角時，，，，由，，中邊上的高為3，；當為鈍角時，，，，由，，中邊上的高為，．故選AC．11．如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是A．、、、四點共面 B．直線與所成角的為C．平面 D．平面平面【答案】【解析】對于，、、在平面內(nèi)，在平面外，故錯誤；對于，如圖，取中點，連接，，可得，為直線與所成角，由題意可得為邊長為的等邊三角形，則，故正確；對于，若平面，又平面，則平面平面，而平面平面，矛盾，故錯誤；對于，在長方體中，平面，平面，平面平面，故正確．故選：BD．12．在棱長為2的正方體中，，分別為AB，的中點，則A．B．平面C．平面D．過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為【答案】BC【解析】對于，，是與所成角（或所成角）的補角，，，與不垂直，故錯誤；對于，取中點，連接，，則，，，，平面平面，平面，平面，故正確；對于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正確；對于，取中點，連接、，則，，，，平面平面，平面，平面，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面為矩形，，，過直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為，故錯誤．故選BC．三．填空題13．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則．【答案】【解析】．因為為純虛數(shù)，所以，得．故答案為：．14．已知向量，，若，則．【答案】【解析】，，解得，則，，．故答案為：．15．已知單位向量、的夾角為，與垂直，則．【答案】【解析】根據(jù)題意，單位向量、的夾角為，則，若與垂直，則，解可得：，故答案為：．16．直三棱柱的各頂點都在球的球面上，且，，若球的表面積為，則這個三棱柱的體積為．【答案】【解析】設和△的外心分別為、，連接，可得外接球的球心為的中點，連接、、、、、，中，，，，根據(jù)正弦定理，得外接圓半徑球的表面積為，，，△中，，可得，直三棱柱的底面積，直三棱柱的體積為．故答案為：．四．解答題17．已知復數(shù)為純虛數(shù)，且為實數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）設，若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設，，則，為實數(shù)，，即．（2），由題知且，解得．的取值范圍是．18．已知，其中是虛數(shù)單位，為實數(shù)．（1）當為純虛數(shù)時，求的值；（2）當復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2），，.【解析】（1）為純虛數(shù)，，解得；（2）在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，，解得或．的取值范圍是，，．19．平面內(nèi)給定兩個向量（1）求；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由條件知：，故．（2），．，，解得．20．如圖，在四邊形中，，，，，為上的點且，若平面，為的中點．（1）求證：平面；（2）求四棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：取的中點為，連結(jié)，，因為為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面；（2）解：因為，所以，又因為平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，為直角三角形，因為，，，，所以，所以，所以四棱錐的側(cè)面積為．21．在中，內(nèi)角、、對應的邊長分別為、、，且滿足．（1）求；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，所以由正弦定理，可得，整理得，又，所以，即，因為，，所以．（2）因為，由余弦定理，得，所以，整理可得，即，所以，當且僅當時取等號，，因此可以取到最大值，故的最大值．22．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若是上一點，且，求三棱錐的體積．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）證明：四邊形為菱形，．平面平面，平面平面，平面，平面．平面，．又，，得．又，平面，，平面；（2）解：由（1）得平面，平面，，，可得為等腰三角形．在中，由余弦定理得．，，則．可得，又，．人教版高一下學期期中考試數(shù)學試卷（五）一．選擇題1．若復數(shù)滿足為成數(shù)單位）則A． B． C． D．2．已知向量，，是線段AB的中點，則點的坐標是A． B． C． D．3．是虛數(shù)單位，則復數(shù)等于A． B． C．1 D．4．已知復數(shù)滿足，則復數(shù)A． B． C． D．5．已知是兩個夾角為的單位向量，則的最小值為A． B． C． D．6．已知是的重心，且，，則的值為A． B．1 C． D．7．已知，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，現(xiàn)有如下命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則，則正確命題的個數(shù)為A．4 B．3 C．2 D．18．四面體中，面ABC，，，，則四面體外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題9．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A．是單位向量 B． C． D．10．在中，滿足，，為的內(nèi)心，，下列判斷正確的是A． B．C． D．的最大值為411．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，是棱PC的中點，作交PB于點，則有A．異面直線與所成角大小為B．平面平面C．平面D．12．正方體中，，分別為棱BC和的中點，則下列說法正確的是A．平面B．平面C．異面直線與所成角為D．平面截正方體所得截面為等腰梯形三．填空題13．已知向量，，若，則．14．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則．15．已知向量，若，則實數(shù)．16．如圖，正方體中，點是直線的動點，則下列四個命題：①三棱錐的體積不變；②直線與平面所成角的大小不變；③二面角的大小不變：其中正確的命題有．（把所有正確命題的編號填在橫線上）四．解答題17．已知復數(shù)為純虛數(shù)，且為實數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）設，若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，求的取值范圍．18．已知，其中是虛數(shù)單位，為實數(shù)．（1）當為純虛數(shù)時，求的值；（2）當復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限時，求的取值范圍．19．已知向量，．（1）求；（2）當為何實數(shù)時，與平行，平行時它們是同向還是反向？20．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，其面積．（1）若，，求；（2）求的最大值．21．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，平面平面，，分別為，的中點，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．22．在如圖所示的幾何體中，是的中點，．（1）已知，，求證：平面；（2）已知，分別是和的中點，求證：平面．參考答案一．選擇題1．若復數(shù)滿足為成數(shù)單位）則A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得．故選B．2．已知向量，，是線段AB的中點，則點的坐標是A． B． C． D．【答案】B【解析】由線段的中點公式可得，，故點的坐標是，故選B．3．是虛數(shù)單位，則復數(shù)等于A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，故選A．4．已知復數(shù)滿足，則復數(shù)A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，故選D．5．已知是兩個夾角為的單位向量，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，是兩個夾角為的單位向量，則，則，則有，即的最小值為．故選D．6．已知是的重心，且，，則的值為A． B．1 C． D．【答案】A【解析】設是的中點，因為是三角形的重心，所以，，所以，．故選A．7．已知，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，現(xiàn)有如下命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則，則正確命題的個數(shù)為A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】①中，若，，，則或與相交，故①錯誤；②中，若，，則，又，則，故②正確；③中，若，，，則或與異面，故③錯誤；④中，若，，則或，又，則，故④正確．正確命題的個數(shù)為2個．故選C．8．四面體中，面ABC，，，，則四面體外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】設外接圓的圓心為，四面體外接球的球心為，半徑為，連接，，，由正弦定理可得，即，，，即四面體外接球的表面積為，故選A．二．多選題9．是邊長為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論正確的是A．是單位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】．，由得，，是單位向量，該