示范教案131柱體錐體臺(tái)體的表面積與體積MicrosoftW

1、1.3 空間幾何體的表面積與體積1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 本節(jié)一開始的“思考”從學(xué)生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個(gè)：其一，復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個(gè)面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積. 接著，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問題，并通過例1進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識(shí).教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺(tái)的展形圖是

2、由梯形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題. 教科書通過“思考”提出“如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問題.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開成為一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個(gè)扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺(tái)表面積問題的“探究”，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué).值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有統(tǒng)一的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，在分別學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式后，

3、可以引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺(tái)；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺(tái)，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺(tái)的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺(tái)的表面積公式之下. 關(guān)于體積的教學(xué).我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒有比較大小的含義，而是要用具體的“數(shù)”來定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就產(chǎn)生了度量體積的問題.度量體積時(shí)應(yīng)知道：完全相同的幾何體，它的體積相等；一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.相同的兩個(gè)幾何體一定是等積體，但兩個(gè)等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建

4、立在等體積概念之上的. 柱體和錐體的體積計(jì)算，是經(jīng)常要解決的問題.雖然有關(guān)公式學(xué)生已有所了解，但進(jìn)一步了解這些公式的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系來得出結(jié)論. 與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式后，安排了一個(gè)“思考”，目的是引導(dǎo)學(xué)生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實(shí)際上，這幾個(gè)公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺(tái)體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺(tái)體的體積公式中，令s=s，得柱體的體積公式；令s=0，得錐體的體積公式.

5、 值得注意的是在教學(xué)過程中，要重視發(fā)揮思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在公式的應(yīng)用上，防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學(xué)生自己去思考和解決問題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來展示幾何體的展開圖.對(duì)于空間想象能力較差的學(xué)生，可以通過制作實(shí)物模型，經(jīng)過操作確認(rèn)來增強(qiáng)空間想象能力.三維目標(biāo)1.了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式（不要求記憶），提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培

6、養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：表面積和體積計(jì)算公式的應(yīng)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.在過去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計(jì)算？思路2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、

7、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？推進(jìn)新課新知探究提出問題 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？ 正方體及其展開圖(1) 長方體及其展開圖(2)圖1棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺(tái)側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如

8、果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r,r，母線長為l，你能計(jì)算出它的表面積嗎？圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有什么關(guān)系？活動(dòng)：學(xué)生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個(gè)面的面積的和.讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀.學(xué)生思考圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀.提示學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問題.討論結(jié)果：正方體、長方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個(gè)三角形拼接

9、成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺(tái)的各個(gè)面的面積的和.它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形. 我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為l，那么圓柱的底面面積為r2,側(cè)面面積為2rl.因此，圓柱的表面積s=2r2+2rl=2r(r+l). 圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它的表面積s=r2+rl

10、=r(r+l).點(diǎn)評(píng)：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面的面積，即s=(r2+r2+rl+rl).圖4圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積的關(guān)系： 圓柱和圓錐都可以看作是圓臺(tái)退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺(tái)，圓錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺(tái)，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：s圓柱表=2r(r+l)s圓臺(tái)表=(r1l+r2l+r12+r22)s圓錐表=r(r+l).從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺(tái)側(cè)面積公式演變而來.提出問題 回顧長方體、正方體和圓柱

11、的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？ 比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：v柱體=sh(s為底面積，h為柱體的高)；v錐體=(s為底面積，h為錐體的高)；v臺(tái)體=h(s,s分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式？活動(dòng)：讓學(xué)生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式.讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積的關(guān)系？討論結(jié)果：棱長為a的正方體的體積v=a3=a2a=sh；長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為v=abc=(ab)c=sh；底面半徑為r高為h的

12、圓柱的體積是v=r2h=sh，可以類比，一般的柱體的體積也是v=sh，其中s是底面面積，h為柱體的高.圓錐的體積公式是v=(s為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積v= (s為底面面積，h為高).由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的. 由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式v=(s+s)h,其中s，s分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體

13、可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)s=0時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)s=s時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式. 柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5：圖5應(yīng)用示例思路1例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體sabc（圖6），求它的表面積.圖6活動(dòng)：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體sabc的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何

14、一個(gè)面面積的4倍.解：先求sbc的面積，過點(diǎn)s作sdbc，交bc于點(diǎn)d.因?yàn)閎c=a,sd=,所以ssbc=bc·sd=.因此，四面體sabc的表面積s=4×.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓(xùn)練1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為s，求圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長為l，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為s，圓柱的底面半徑為r，即s圓柱側(cè)=s，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線（高）長為，由題意得圓錐的高為，又圓錐的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長l=，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得s圓錐側(cè)=rl=·r·.2.

15、兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（ ）a.123 b.1719 c.345 d.1927分析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為123，于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為()·2h·3h=1827，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1（81）（278）=1719.答案：b3.三棱錐vabc的中截面是a1b1c1，則三棱錐va1b1c1與三棱錐aa1bc的體積之比是（ ）a.12 b.14 c.16 d.18分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為14，將三棱

16、錐aa1bc轉(zhuǎn)化為三棱錐a1abc，這樣三棱錐va1b1c1與三棱錐a1abc的高相等，底面積之比為14，于是其體積之比為14.答案：b例2 如圖7，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)算器）圖7活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.只要求出每個(gè)花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺(tái)的表面積公式得

17、一個(gè)花盆外壁的表面積s=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100個(gè)這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個(gè)這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練1.有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動(dòng)前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間是多少?（精確到0.01秒）解：圓柱形刷子滾動(dòng)一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積為s側(cè)=2rl=2·0.1·0.5=0.

18、1 m2，又圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動(dòng)，圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5 m2，因此油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t=6.37秒.點(diǎn)評(píng)：本題雖然是實(shí)際問題，但是通過仔細(xì)分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問題.解決此題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動(dòng)一周所經(jīng)過的面積就相當(dāng)于把圓柱的側(cè)面展開的面積，即滾動(dòng)一周所經(jīng)過的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐oabc中，oa、ob、oc兩兩垂直，oc=1,oa=x，ob=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是_.分析：由題意得三棱錐的體積是(x-2)2+，由于x0，則當(dāng)x=2時(shí)，三棱錐的體積取最大值.答案：例3 有

19、一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)?（取3.14）圖8活動(dòng)：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.六角帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即v=×122×6×10-3.14×()2×102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.8×1 000÷(7.

20、8×2.956)252(個(gè)).答：這堆螺帽大約有252個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練 如圖9，有個(gè)水平放置圓臺(tái)形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，求所用的時(shí)間.（精確到0.01秒）圖9解：如圖10，設(shè)水面的半徑為r，則eh=r-2分米，bg=2分米，圖10在abg中，ehbg，.ah=2分米,.r=分米.當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，容器中水的體積為v水=·3()2+×4+42=立方分米,所用的時(shí)間為36.69秒.答：所用的時(shí)間為36.69秒.思路2例1 （20

21、07山東煙臺(tái)高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ）圖11a.1 b. c. d.活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱paab，paac，abac.則該三棱錐的高是pa，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為v=.圖12答案：d點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類

22、題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.變式訓(xùn)練1.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為（ ）圖13a. b. c. d.分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為，正三棱柱的高為2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為3×4×2+2××4×=24+.圖14答案：c2.（2007山東濰坊高三期末統(tǒng)考，文3）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ）a. b. c. d.分析：由

23、三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為，所以這個(gè)幾何體的體積為v=.答案：a3.（2007廣東高考，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積v；（2）求該幾何體的側(cè)面積s.解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設(shè)底面矩形為abcd.如圖16所示，ab=8，bc=6，高vo=4.圖16（1）v=×(8×6)×4=64

24、.(2)設(shè)四棱錐側(cè)面vad、vbc是全等的等腰三角形，側(cè)面vab、vcd也是全等的等腰三角形，在vbc中，bc邊上的高為h1=,在vab中，ab邊上的高為h2=5.所以此幾何體的側(cè)面積s=40+.點(diǎn)評(píng)：高考試題中對(duì)面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關(guān)的面積和體積的計(jì)算；三是在解答題中，作為最后一問.例2 圖17所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（取3.14）圖17活動(dòng)：因?yàn)檎襟w的棱長為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒有被打透.這

25、樣一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個(gè)圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.解：正方體的表面積為16×6=96（cm2），一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2×1×1=6.28（cm2），則打孔后幾何體的表面積為966.28×6=133.68（cm2）.答：幾何體的表面積為133.68 cm2.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺(tái)，再通過這些基本柱、錐、臺(tái)的表面積，進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達(dá)為正方體的表面積

26、與六個(gè)圓柱側(cè)面積的和是非常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點(diǎn)，思考就會(huì)變得復(fù)雜，當(dāng)然結(jié)果也會(huì)是錯(cuò)誤的.變式訓(xùn)練 圖18所示是由18個(gè)邊長為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18分析：從圖18中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的.解：因?yàn)樾≌襟w的棱長是1 cm，所以上面的表面積為12×9=9（ cm2），前面的表面積為12×8=8（ cm2），左面的表面積為12×7=7（ cm2），

27、則此幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=48( cm2).答：此幾何體的表面積為48 cm2.知能訓(xùn)練1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（ ）a. b.64 c.16 d.96分析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a2=96，解得a=4，則正方體的體積是a3=64.答案：b2.（2007山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（ ）a. b.2 c.3 d.4分析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l=2，所以圓錐的表面積為s=×1×(1+2)=3.答案：c3.正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，則這個(gè)正三棱錐

28、的體積是（ ）a. b. c. d.分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=3，于是v=.答案：d4.若圓柱的高擴(kuò)大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的_倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的_倍.分析：圓柱的體積公式為v圓柱=r2h，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來的4倍，其體積也變?yōu)樵瓉淼?倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉淼?2=16倍.答案：4 165.圖20是一個(gè)正方體，h、g、f分別是棱ab、ad、aa1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿gfh所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一

29、個(gè)角，所以ha與ag、af都垂直，即ha垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形agf為底面，h為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3. 三棱錐的底面是rtagf，即fag為90°，g、f又分別為ad、aa1的中點(diǎn)，所以af=ag=.所以agf的面積為.又因ah是三棱錐的高，h又是ab的中點(diǎn)，所以ah=.所以鋸掉的部分的體積為.又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為s，則圓錐的底面面積是_.分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得解得r=，所以圓錐的底面積為r2=.圖21答案：7.如圖22，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖23，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖22中容器內(nèi)水面的高度是_. 圖22 圖23分析：圖22中容器