2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊：9.2.4《總體離散程度的估計(jì)》導(dǎo)學(xué)案 (含答案)

1、9.2.4 總體離散程度的估計(jì)1.會用樣本的極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體。2. 通過用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的研究，滲透統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想和方法。3.培養(yǎng)學(xué)生收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、歸納和整理數(shù)據(jù)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。重點(diǎn)：方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。 難點(diǎn)：如何利用樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差對總體數(shù)據(jù)作出分析及判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。一、溫故知新(1)眾數(shù)定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

2、是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.(3)平均數(shù)定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)為xn=x1+x2+xnn.特征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率

3、分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50的個(gè)體大于或等于中位數(shù)， 因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以 估計(jì)中位數(shù)的值。3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點(diǎn).頻率直方圖中每個(gè)小長 方形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn);容易得到它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息;無法客觀地反映總體特征中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極

4、端數(shù)據(jù),即排序靠前或靠后的幾個(gè)數(shù)據(jù)的影響;容易得到,便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對極端值不敏感平均數(shù)能反映出更多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大一、情境與問題樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，很多時(shí)候還不能使我們做出有

5、效決策. 因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度. 方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會使我們作出對總體的片面判斷,因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).例如:有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下: 甲:78795491074 乙:9578768677如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?提示:經(jīng)計(jì)算得x甲=110(7+8

6、+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得x乙=7.他們的平均成績一樣.難道這兩個(gè)人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.(2)現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的. 如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(3)考慮一個(gè)容量為2的樣本:x

7、1<x2,其樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為x2-x12,如果記a=x2-x12,那么在數(shù)軸上,x和a有什么幾何意義?由此說明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響?提示x和a的幾何意義如圖所示.顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)據(jù)較分散;標(biāo)準(zhǔn)差越小,則a越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)x的周圍.2.填空(1)假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,xn,用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”,即|xi-x|(i=1,2,n)作為xi到x的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)x1,x2,xn到x的“平均距離”為1ni=1n|xi-x|.為了避免式中含有絕對值,通常改用平

8、方來代替,即1ni=1n(xi-x)2,我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的方便,我們還把方差寫成1ni=1nxi2x2.由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致,我們對方差開平方,取它的算術(shù)平方根,即1ni=1n(xi-x)2,我們稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,YN,總體平均數(shù)為Y,則稱S2=1Ni=1N(Yi-Y)2為總體方差,S=S2為總體標(biāo)準(zhǔn)差.與總體均值類似,總體方差也可以寫成加權(quán)的形式.如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(kN)個(gè),不妨記為Y1,Y2,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,k

9、),則總體方差為S2=1Ni=1kfi(Yi-Y)2.(3)如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,yn,樣本平均數(shù)為y,則稱s2=1ni=1n(yi-y)2為樣本方差,s=s2為樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 對標(biāo)準(zhǔn)差和方差的理解(1)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時(shí),就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計(jì)總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標(biāo)準(zhǔn)差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述.

10、極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差的算術(shù)平方根來描述.(5)標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會越過極差.(6)方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的取值范圍為0,+).當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí),樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般采用標(biāo)準(zhǔn)差.(8)在實(shí)際問題中,總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣,通常我們

11、也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中,樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機(jī)性.做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“×”.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù) 的離散程度越小.()若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.()2.對劃艇運(yùn)動員甲、乙在相同的條件下進(jìn)行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下: 甲:27,38,30,37,35,31 乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀. 有關(guān)平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,xn的方差是s2,則ax1,a

12、x2,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,xn的平均數(shù)是 ,則mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均數(shù)是mx+a(2)數(shù)據(jù)x1,x2,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,xn的方差為s2,則ax1,ax2,axn的方差為a2s2.(4)方差的簡化公式:s2=1n(x12+x22+xn2)-nx2,或?qū)懗蓅2=1n(x12+x22+xn2)-x2,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.跟蹤訓(xùn)練2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)x=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1

13、,2xn+1的平均數(shù)為,方差為. 例1 在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為1，2，方差分別為s，s，則這個(gè)樣本的方差為s2s(1)2s(2)21在一個(gè)文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評判小組，給參賽選手打分在給

14、某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算這名選手得分的平均數(shù)和方差所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟(1)確定1，2，s，s，(2)確定；(3)應(yīng)用公式s2s(1)2s(2)2計(jì)算s2.9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 1

15、0.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6計(jì)算出樣本平均數(shù)

16、 = 8.79,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s6.20如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間 外的只有7個(gè).也就是說，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在 內(nèi).樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1,x2,xn的平均值 B.x1,x2,xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1,x2,xn的最大值 D.x1,x2,xn的中位數(shù)2.樣本中共有五個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為

17、()A.65B.65C.2D.23.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則以下選項(xiàng)判斷不正確的有()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差4.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動會射擊項(xiàng)目選拔賽,四人的平均成績和方差如下表所示:若要從這四人中選擇一人去參加該運(yùn)動會射擊項(xiàng)目比賽,最佳人選是.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個(gè)) 甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)x8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.45.計(jì)算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57

18、,58的方差.6.在一次科技知識競賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成績?nèi)缦卤恚赫埜鶕?jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識，判斷這兩個(gè)組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由1.極差的定義及特征：2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及特征 總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義 樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義3.會求方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并做出決策4.方差的運(yùn)算性質(zhì)：5.會求分層抽樣的方差參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程做一做1.答案:×2.解: x甲=16×(27+38+30+37+35+31)=33,s甲2=16×(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2=16

19、15;9415.7,x乙=16×(33+29+38+34+28+36)=33,s乙2=16×(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2=16×7612.7.所以x甲=x乙,s甲2>s乙2.這說明甲、乙兩運(yùn)動員的最大速度的平均值相同,但乙比甲更穩(wěn)定,故乙比甲更優(yōu)秀.跟蹤訓(xùn)練2.答案:118解析:因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)x=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的平均數(shù)為2x +1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.例1 解：把男生

20、樣本記為x1,x2,，x23,其平均數(shù)記為 ，方差記為 ;把女生樣本記為y1,y2,.y27,其平均數(shù)記為 ,方差記為 ;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，方差記為 .根據(jù)方差的定義，總樣本方差為男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59, 女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得1 所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6達(dá)標(biāo)檢測1. 答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo),故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,

21、故B可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.2解析:由平均值為1可得a+0+1+2+35=1,解得a=-1,所以樣本方差s2=(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)25=2,故選D.答案:D3.(多選)解析:由題意可知,甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6,A錯(cuò);甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯(cuò);甲、乙的成績的方差分別為15×(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2=2,15×(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2=125,C對;甲、乙的成績的極差均為4,D錯(cuò).答案:ABD4. 答案:丙解析:分析表格數(shù)據(jù)可知,乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多,又丙的方差比乙小,說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.5.分析可以根據(jù)簡化公式進(jìn)行計(jì)算,也可以把每個(gè)數(shù)據(jù)減去一個(gè)數(shù),用找齊法計(jì)算.解:(解法一)x2=542+552+532+562+572+58263 083.17,x=55.5