(完整word版)橢圓常見題型與典型方法歸納,推薦文檔

1、橢圓常見題型與典型方法歸納考點(diǎn)一橢圓的定義橢圓的第一定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 , F2 的距離的和等于常數(shù)2a(2aF1. F2 ) 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩定點(diǎn) F1, F2 叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的第二定義：我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e= c (0<e<1) 的動點(diǎn) M的軌a跡叫做橢圓 . 這個定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，這條定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，這個常數(shù)e 是橢圓的離心率.注意：當(dāng)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 , F2 距離的和等于常數(shù)2a(2aF1. F2 ) 的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2 ;當(dāng)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 , F2

2、 距離的和等于常數(shù)2a(2aF1. F2 ) 的點(diǎn)的軌跡不存在.例動點(diǎn) P 到兩個定點(diǎn)F1 （ - 4 ， 0）、 F2 （ 4， 0）的距離之和為8，則 P 點(diǎn)的軌跡為（）A、橢圓B、線段 F1, F2C、直線 F1, F2D、不能確定考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一 標(biāo)準(zhǔn)方程1 焦點(diǎn)在 x 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2y21（其中 b2a2c2 , ab0). 焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為( c,0),( c,0)a2b22 焦點(diǎn)在 y 軸上標(biāo)準(zhǔn)方程是：y2x21（其中 b2a2c2 , ab0). 焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0, c),(0, c)a2b23 焦點(diǎn)位置判斷哪項(xiàng)分母大焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上如x2y2求1的焦點(diǎn)坐標(biāo)7

3、94橢圓過兩定點(diǎn)， 焦點(diǎn)位置不確定時可設(shè)橢圓方程為mx2ny 21（其中 m 0, n0 ）例 已知橢圓過兩點(diǎn) A( 15 , 1), B(3 ,2) ，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程425與 x 2y21（ a b 0）共焦點(diǎn)的橢圓為x2y 21a 2b2a2k b 2k二 重難點(diǎn)問題探析:1. 要有用定義的意識例 已知 F1, F2x2y2F1 的直線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)若 F2 A F2B12為橢圓1的兩個焦點(diǎn)，過259則 AB =_。 2. 標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的定位例橢圓 x2y21的離心率為1 ， m。4m21練習(xí) .1 如果方程 x2ky 2k 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為

4、2點(diǎn) P在橢圓x 2y2P 的橫坐標(biāo)25+=1 上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，求點(diǎn)9考點(diǎn)三橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)離心率焦點(diǎn)焦距長軸長短軸長準(zhǔn)線方程通徑二 典型練習(xí)x2y21( ab 0)y2x21 (ab 0)a2b2a2b2MMF 1F1F2F 2a x a, b y ba y a, b x b關(guān)于原點(diǎn)對稱x 軸和 y 軸是橢圓的對稱軸( a,0),( a,0),(0, b),(0,b)(b,0),(b,0),(0, a),(0,a)ec(0,1)a(c,0),(c,0)(0, c),(0,c)F1F22c （其中 c2a2b2）2a2bxa2a2cyc2

5、b2da1. 橢圓 x2y21的長軸位于軸，長軸長等于；短軸位于軸，短軸長等于；焦點(diǎn)在軸上 , 焦點(diǎn)坐標(biāo)43分別是和；離心率 e；左頂點(diǎn)坐標(biāo)是; 下頂點(diǎn)坐標(biāo)是；橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是，縱坐標(biāo)的范圍是； x0 y0 的取值范圍是。2.(1)若橢圓短軸一端點(diǎn)到橢圓一 焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到同側(cè)長軸一端點(diǎn)距離的3 倍 , 則橢圓的離心率（ 2）若橢圓的長軸長不大于短軸長的2 倍 , 則橢圓的離心率 e（ 3）若橢圓短軸長的兩個三等分點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成一個正方形, 則橢圓的離心率 e?？键c(diǎn)四點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系2x2y21( a b0) 的位置關(guān)系一 點(diǎn) p( x0 , y0 ) 和橢圓b2a2（ 1）

6、點(diǎn) p( x0 , y0 ) 在橢圓外x02y021（ 2）點(diǎn) p( x0x0 2y021a2b2, y0 ) 在橢圓上b2a2（ 3）點(diǎn) p( x0 , y0 ) 在橢圓內(nèi)x02y021a2b2二 . 直線與橢圓的位置關(guān)系：1 判斷 直線與橢圓相交0; 直線與橢圓相切0 ; 直線與橢圓相離02弦長問題（ 1）步驟：由橢圓方程與直線l 方程聯(lián)立方程組；消元得一元二次方程；用韋達(dá)定理寫成兩根和積（ 2）弦長公式直線 y kx b(k 0) 與橢圓相交于A( x1 ， y1 ) ，B( x2 ， y2 ) 兩點(diǎn)，則當(dāng)直線的斜率存在時，弦長公式：l1 k 2x1x2 =(1k 2 )(x1x2 )

7、24x1 x2當(dāng) k 存在且不為零時 l11y1 y211( y1y2 )24 y1 y2。k2k2三 常用方法1 設(shè)而不求法例 經(jīng)過橢圓 x2y 21 的右焦點(diǎn)作一條斜率為-1 的直線，與橢圓相交于A,B ；4 3（ I ）求線段 AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)； （ II ）求線段 AB 的長2 點(diǎn)差法例 求橢圓 x22 y 21中斜率為 2 的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【小結(jié)】設(shè) A( x1 , y2 ) ， B( x2 , y2 ) 是橢圓 x222y 21 上不同的兩點(diǎn)，且 x1 x2 ， x1 x2 0， M ( x0 , y0 ) 為 AB的中ab2點(diǎn)，則兩式相減可得y1y 2y1y 2b 2即

8、x1x 2x1x 2a3中點(diǎn)弦問題 ：例 若橢圓 x2y21的弦被點(diǎn)（ 4， 2）平分，則此弦所在直線的斜率為369練習(xí) ：設(shè) F1 、 F2 分別是橢圓x2+y2= 1的左、右焦點(diǎn) .54（ 1）若 P 是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求PF1PF2的最大值和最小值；（ 2）是否存在過點(diǎn) A（ 5， 0）的直線 l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、 D，使得 | F2C |=| F2 D | ？若存在，求直線l 的方程；若不存在，請說明理由 .3考點(diǎn)五焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用一 定義： 橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形設(shè) P( x0 , y0) 為橢圓上一點(diǎn)， |PF 1| r 1， |PF 2

9、| r 2，F(xiàn)1PF2 )1方法 (1)定義： r1 r22a(2)余弦定理： (2c)2r12 r22 2r1r2cos(3)面積 S pF F1 r1r2 sin1 2c y012222 性質(zhì) 已知橢圓方程為x 2y2F1 , F2 , 在焦點(diǎn) PF1 F2 中，則a 21(a b 0), 左右兩焦點(diǎn)分別為b2S FPF2b2 tan2若F1 PF2 最大，則點(diǎn) P 為橢圓短軸的端點(diǎn) cos1 2e2 .1例已知橢圓 x2y21(ab 0) 的兩焦點(diǎn)分別為 F1 , F2 , 若橢圓上存在一點(diǎn)P, 使得 F1PF21200 , 求橢圓a2b2的離心率 e 的取值范圍。練習(xí)已知橢圓的焦點(diǎn)是

10、F1( 1，0)、 F2 (1， 0)， P 為橢圓上一點(diǎn)，且 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中項(xiàng) 求橢圓的方程；(2)若點(diǎn) P 在第三象限，且 PF1 F2 120°求 tan F2 PF 考點(diǎn)六橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法一 常用方法 ：1 定義法，2 待定系數(shù)法 步驟 定位：確定橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)。3 當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為mx2ny 21(m 0， n 0) ，二 應(yīng)用示例1定義法例 1 已知 ABC 的頂點(diǎn) B， C 的坐標(biāo)分別為 (3，0)，(3，0) ， AB 邊上的中線 CE 與 A

11、C 邊上的中線 BF交于點(diǎn) G ，且 GFGE 5 ，求點(diǎn) G 的軌跡方程例 2 求到兩定點(diǎn)F1 ( 3,0), F2 (3,0) 的距離和等于 10的點(diǎn)的軌跡方程練習(xí) 1 已知 B,C 是兩個定點(diǎn)BC長等于 8，且 ABC的周長等于20，求頂點(diǎn)A 的軌跡方程2 已知 ABC三邊 AB,BC,CA 的長成等差數(shù)列，且 AB長大于 CA長，點(diǎn) B,C 的坐標(biāo)為（ -2 ， 0），（ 2， 0），求頂點(diǎn) A 的軌跡方程，并說明它是什么曲線43已知橢圓 x2y 21(a 5) 的兩個焦點(diǎn)為 F1 , F2 , 且 F1F28 ，弦 AB過點(diǎn) F1 ，則 ABF 2的周長a2254橢圓的兩個焦點(diǎn)是 (

12、6,0), ( 6,0) ，過點(diǎn) ( 6,1 ），求橢圓的方程。2 待定系數(shù)法例 已知橢圓的焦距離為2 6 且過點(diǎn) (3， 2) ，求焦點(diǎn)在x 軸上時的標(biāo)準(zhǔn)方程3軌跡法例 ABC的頂點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)分別為（-4,0 ），（ 4,0 ）邊 AC,BC所在直線的斜率之積等于9 ，求頂點(diǎn) C 的軌跡方程，16并說明其軌跡是什么曲線；三 典型練習(xí)練習(xí) 1. 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（ 1）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4， 0），（ 4， 0），橢圓上一點(diǎn)P 到兩焦點(diǎn)距離之和等于10；（ 2）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0， 2）、（ 0， 2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) (3,5 ) ；22（ 3）長軸長是短軸長

13、的3 倍，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) A（ -3 ， 3 ）22練習(xí) 2. 已知點(diǎn) P(3, 4)是橢圓 x2y 2 1 (a>b>0) 上的一點(diǎn)， F1, F2 是它的兩焦點(diǎn)，若PF1 PF2 ，求ab(1)橢圓的方程 (2) F2 PF1 的面積3 根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)和橢圓 x2y 21 共準(zhǔn)線，且離心率為1 (2) 已知 P 點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱24202軸的橢圓上，點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為45 和 25，過 P 作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)33考點(diǎn)七橢圓定義與性質(zhì)的應(yīng)用一 定義的運(yùn)用二 橢圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用1、基礎(chǔ)知識例 對橢圓 x2y21 ，求（ 1）畫出草圖（

14、2）焦點(diǎn)，焦距（3）頂點(diǎn)，長軸的長，短軸的長，（ 4）259離心率，（ 5）左右準(zhǔn)線方程， （ 6） P 是橢圓上動點(diǎn)，則P 到左焦點(diǎn)的距離最值.練習(xí)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長軸是短軸的2 倍，經(jīng)過點(diǎn)（ 4， 0）（ 2）一個焦點(diǎn)為（2， 0），經(jīng)過點(diǎn)（ -3 ， 0）（ 3）一個焦點(diǎn)為 (2,0)，一條準(zhǔn)線方程為 x4 （4）長軸在 x 軸上，一條準(zhǔn)線方程是x 35，離心率為352 離心率方法 ：求橢圓離心率e 時，只要求出 a,b, c 的一個齊次方程，再結(jié)合a2b2c2 就可求得 e(0<e<1)例 若橢圓 x2+ y2=1 的離心率是1 ，則 m等于 _2m22 若 A、 B 是橢圓 x2y 21(ab 0) 上的兩個頂點(diǎn)， F 是右焦點(diǎn)，若ABBF ，求橢圓的離心率。a2b 2練習(xí) 1 設(shè)已知橢圓 x2y222 =1(a b 0) 的右焦點(diǎn)為 F, 右準(zhǔn)線為 l .