數(shù)學(xué)建模之回歸分析法

1、什么是回歸分析回歸分析（regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。運(yùn)用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析?；貧w分析之一多元線性回歸模型案例解析多元線性回歸，主要是研究一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間的相關(guān)關(guān)系，跟一元回歸

2、原理差不多，區(qū)別在于影響因素（自變量）更多些而已，例如：一元線性回歸方程 為： 毫無疑問，多元線性回歸方程應(yīng)該為：上圖中的 x1, x2, xp分別代表“自變量”Xp截止，代表有P個(gè)自變量，如果有“N組樣本，那么這個(gè)多元線性回歸，將會(huì)組成一個(gè)矩陣，如下圖所示：那么，多元線性回歸方程矩陣形式為： 其中： 代表隨機(jī)誤差， 其中隨機(jī)誤差分為：可解釋的誤差 和 不可解釋的誤差，隨機(jī)誤差必須滿足以下四個(gè)條件，多元線性方程才有意義（一元線性方程也一樣）1：服成正太分布，即指：隨機(jī)誤差必須是服成正太分別的隨機(jī)變量。2：無偏性假設(shè)，即指：期望值為03：同共方差性假設(shè)，即指，所有的 隨機(jī)誤差變量方差都相等4：獨(dú)

3、立性假設(shè)，即指：所有的隨機(jī)誤差變量都相互獨(dú)立，可以用協(xié)方差解釋。 今天跟大家一起討論一下，SPSS-多元線性回歸的具體操作過程，下面以教程教程數(shù)據(jù)為例，分析汽車特征與汽車銷售量之間的關(guān)系。通過分析汽車特征跟汽車銷售量的關(guān)系，建立擬合多元線性回歸模型。數(shù)據(jù)如下圖所示：（數(shù)據(jù)可以先用excel建立再通過spss打開）點(diǎn)擊“分析”回歸線性進(jìn)入如下圖所示的界面： 將“銷售量”作為“因變量”拖入因變量框內(nèi)， 將“車長(zhǎng)，車寬，耗油率，車凈重等10個(gè)自變量 拖入自變量框內(nèi)，如上圖所示，在“方法”旁邊，選擇“逐步”，當(dāng)然，你也可以選擇其它的方式，如果你選擇“進(jìn)入”默認(rèn)的方式，在分析結(jié)果中，將會(huì)得到如下圖所示的

4、結(jié)果：（所有的自變量，都會(huì)強(qiáng)行進(jìn)入）如果你選擇“逐步”這個(gè)方法，將會(huì)得到如下圖所示的結(jié)果：（將會(huì)根據(jù)預(yù)先設(shè)定的“F統(tǒng)計(jì)量的概率值進(jìn)行篩選，最先進(jìn)入回歸方程的“自變量”應(yīng)該是跟“因變量”關(guān)系最為密切，貢獻(xiàn)最大的，如下圖可以看出，車的價(jià)格和車軸 跟因變量關(guān)系最為密切，符合判斷條件的概率值必須小于0.05，當(dāng)概率值大于等于0.1時(shí)將會(huì)被剔除）“選擇變量(E)" 框內(nèi)，我并沒有輸入數(shù)據(jù)，如果你需要對(duì)某個(gè)“自變量”進(jìn)行條件篩選，可以將那個(gè)自變量，移入“選擇變量框”內(nèi)，有一個(gè)前提就是：該變量從未在另一個(gè)目標(biāo)列表中出現(xiàn)！，再點(diǎn)擊“規(guī)則”設(shè)定相應(yīng)的“篩選條件”即可，如下圖所示： 點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)量”彈出如

5、下所示的框，如下所示：在“回歸系數(shù)”下面勾選“估計(jì)，在右側(cè)勾選”模型擬合度“ 和”共線性診斷“ 兩個(gè)選項(xiàng)，再勾選“個(gè)案診斷”再點(diǎn)擊“離群值”一般默認(rèn)值為“3”，（設(shè)定異常值的依據(jù)，只有當(dāng)殘差超過3倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)才會(huì)被當(dāng)做異常值） 點(diǎn)擊繼續(xù)。提示：共線性檢驗(yàn)，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，就會(huì)產(chǎn)生多重共線性現(xiàn)象。這時(shí)候，用最小二乘法估計(jì)的模型參數(shù)就會(huì)不穩(wěn)定，回歸系數(shù)的估計(jì)值很容易引起誤導(dǎo)或者導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。所以，需要勾選“共線性診斷”來做判斷 通過容許度可以計(jì)算共線性的存在與否？ 容許度TOL=1-RI平方 或方差膨脹因子（VIF): VIF=1/1-RI平方，其中RI平方是

6、用其他自變量預(yù)測(cè)第I個(gè)變量的復(fù)相關(guān)系數(shù)，顯然，VIF為TOL的倒數(shù)，TOL的值越小，VIF的值越大，自變量XI與其他自變量之間存在共線性的可能性越大。提供三種處理方法：1：從有共線性問題的變量里刪除不重要的變量2：增加樣本量或重新抽取樣本。3：采用其他方法擬合模型，如領(lǐng)回歸法，逐步回歸法，主成分分析法。再點(diǎn)擊“繪制”選項(xiàng)，如下所示： 上圖中：DEPENDENT( 因變量） ZPRED(標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測(cè)值） ZRESID(標(biāo)準(zhǔn)化殘差） DRESID(剔除殘差） ADJPRED(修正后預(yù)測(cè)值） SRSID(學(xué)生化殘差） SDRESID(學(xué)生化剔除殘差） 一般我們大部分以“自變量”作為 X 軸，用“殘差”作為Y軸， 但是，也不要忽略特殊情況，這里我們以“ZPRED（標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測(cè)值）作為"x" 軸，分別用“SDRESID（血生化剔除殘差）”和“ZRESID(標(biāo)準(zhǔn)化殘差）作為Y軸，分別作為兩組繪圖變量。再點(diǎn)擊”保存“按鈕，進(jìn)入如下界面： 如上圖所示：勾選“距離”下面的“cook距離”選項(xiàng) （cook 距離，主要是指：把一個(gè)個(gè)案從計(jì)算回歸系數(shù)的樣本中剔除時(shí)所引