第7章 灰色預(yù)測(cè)方法

1、第7章 灰色預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)就是借助于對(duì)過(guò)去的探討去推測(cè)、了解未來(lái)?；疑A(yù)測(cè)通過(guò)原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)、掌握系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律，對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)做出科學(xué)的定量預(yù)測(cè)。對(duì)于一個(gè)具體的問(wèn)題，究竟選擇什么樣的預(yù)測(cè)模型應(yīng)以充分的定性分析結(jié)論為依據(jù)。模型的選擇不是一成不變的。一個(gè)模型要經(jīng)過(guò)多種檢驗(yàn)才能判定其是否合適，是否合格。只有通過(guò)檢驗(yàn)的模型才能用來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。本章將簡(jiǎn)要介紹灰數(shù)、灰色預(yù)測(cè)的概念，灰色預(yù)測(cè)模型的構(gòu)造、檢驗(yàn)、應(yīng)用，最后對(duì)災(zāi)變預(yù)測(cè)的原理作了介紹。7.1 灰數(shù)簡(jiǎn)介7.1.1 灰數(shù)灰色系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要概念是灰數(shù)?；覕?shù)是指未明確指定的數(shù)，即處在某一范圍內(nèi)的數(shù)，灰數(shù)是區(qū)間數(shù)的一種推廣?；疑到y(tǒng)

2、用灰數(shù)、灰色方程、灰色矩陣等來(lái)描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本“單元”或“細(xì)胞”。我們把只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。在應(yīng)用中，灰數(shù)實(shí)際上指在某一個(gè)區(qū)間或某個(gè)一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)，通常用記號(hào)“”表示灰數(shù)?；覕?shù)有以下幾類：1 僅有下界的灰數(shù)有下界而無(wú)上界的灰數(shù)記為或，其中為灰數(shù)的下確界，它是一個(gè)確定的數(shù)，我們稱為的取數(shù)域，簡(jiǎn)稱的灰域。一棵生長(zhǎng)著的大樹(shù)，其重量便是有下界的灰數(shù)，因?yàn)榇髽?shù)的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其準(zhǔn)確的重量，若用表示大樹(shù)的重量，便有。2 僅有上界的灰數(shù)有上界而無(wú)下界的灰數(shù)記為或，其中為灰數(shù)的上確界，是一個(gè)確定的數(shù)。 一項(xiàng)投資工程，要有個(gè)最高投資限額，一件

3、電器設(shè)備要有個(gè)承受電壓或通過(guò)電流的最高臨界值。工程投資、電器設(shè)備的電壓、電流容許值都是有上界的灰數(shù)。3 區(qū)間灰數(shù)既有下界又有上界的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為。海豹的重量在2025公斤之間，某人的身高在1.81.9米之間，可分別記為，4 連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)取有限個(gè)值或可數(shù)個(gè)值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。某人的年齡在30到35之間，此人的年齡可能是30，31，32，33，34，35這幾個(gè)數(shù)，因此年齡是離散灰數(shù)。人的身高、體重等是連續(xù)灰數(shù)。5 黑數(shù)與白數(shù)當(dāng)或，即當(dāng)?shù)纳稀⑾陆缃詾闊o(wú)窮或上、下界都是灰數(shù)時(shí)，稱為黑數(shù)。當(dāng)且時(shí)，稱為白數(shù)。為討論方便，我們將黑數(shù)與白數(shù)

4、看成特殊的灰數(shù)。6 本征灰數(shù)與非本征灰數(shù)本征灰數(shù)是指不能或暫時(shí)還不能找到一個(gè)白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)，比如一般的事前預(yù)測(cè)值、宇宙的總能量、準(zhǔn)確到秒或微妙的“年齡”等都是本征灰數(shù)。非本征灰數(shù)是指憑先驗(yàn)信息或某種手段，可以找到一個(gè)白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)。我們稱此白數(shù)為相應(yīng)灰數(shù)的白化值，記為，并用表示以為白化值的灰數(shù)。如托人代買一件價(jià)格100元左右的衣服，可將100作為預(yù)購(gòu)衣服價(jià)格的白化數(shù)，記為。從本質(zhì)上來(lái)看，灰數(shù)又可分為信息型、概念型、層次型三類。1信息型灰數(shù)，指因暫時(shí)缺乏信息而不能肯定其取值的數(shù)，如：預(yù)計(jì)某地區(qū)今年夏糧產(chǎn)量在100萬(wàn)噸以上，；估計(jì)某儲(chǔ)蓄所年底居民存款總額將達(dá)7000萬(wàn)到9000

5、萬(wàn)，；預(yù)計(jì)西安地區(qū)5月份最高氣溫不超過(guò)36，。這些都是信息型灰數(shù)。由于暫時(shí)缺乏信息，不能肯定某數(shù)的確切取值，而到一定的時(shí)間，通過(guò)信息補(bǔ)充，灰數(shù)可以完全變白。2概念型灰數(shù)，也稱意愿型灰數(shù)。指由人們的某種觀念、意愿形成的灰數(shù)。如某人希望至少獲得1萬(wàn)元科研經(jīng)費(fèi)，并且越多越好，；某工廠廢品率為1%，希望大幅度降低，當(dāng)然越小越好，。這些都是概念型灰數(shù)。3層次型灰數(shù)，由層次的改變形成的灰數(shù)。有的數(shù)，從系統(tǒng)的高層次，即宏觀層次、整體層次或認(rèn)識(shí)的概括層次上看是白的，可到低層次上，即到系統(tǒng)的微觀層次、分部層次或認(rèn)識(shí)的深化層次則可能是灰的。例如，一個(gè)人的身高，以厘米度量是白的，若精確到萬(wàn)分之一毫米就成灰的了。7.

6、1.2 灰數(shù)白化與灰度有一類灰數(shù)是在某個(gè)基本值附近變動(dòng)的，這類灰數(shù)白化比較容易，我們可以其基本值為主要白化值。以為基本值的灰數(shù)可記為或，其中為擾動(dòng)灰元，此灰數(shù)的白化值為。如今年的科研經(jīng)費(fèi)在5萬(wàn)元左右，可表示為，或，它的白化值為50000。對(duì)于一般的區(qū)間灰數(shù)，我們將白化值取為：，定義7.1 形如，的白化稱為等權(quán)白化。定義7.2 在等權(quán)白化中，取而得到的白化值稱為等權(quán)均值白化。當(dāng)區(qū)間灰數(shù)取值的分布信息缺乏時(shí)，常采用等權(quán)均值白化。定義7.3 設(shè)區(qū)間灰數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱與取數(shù)一致，當(dāng)時(shí)，稱與取數(shù)非一致。在灰數(shù)的分布信息已知時(shí)，往往采取非等權(quán)白化。例如某人2000年的年齡可能是40歲到60歲，是個(gè)灰數(shù)。根據(jù)了

7、解，此人受初、中級(jí)教育共12年，并且是在60年代中期考入大學(xué)的，故此人的年齡到2000年為58歲左右的可能性較大，或者說(shuō)在56歲到60歲的可能性較大。這樣的灰數(shù)，如果再作等權(quán)白化，顯然是不合理的。為此，我們用白化權(quán)函數(shù)來(lái)描述一個(gè)灰數(shù)對(duì)其取值范圍內(nèi)不同數(shù)值的“偏愛(ài)”程度。對(duì)概念型灰數(shù)中表示意愿的灰數(shù)，其白化權(quán)函數(shù)一般設(shè)計(jì)為單調(diào)增函數(shù)。 一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)是研究者根據(jù)已知信息設(shè)計(jì)的，沒(méi)有固定的程式。函數(shù)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)一般應(yīng)有其含義。如在外貿(mào)談判中，就有一個(gè)由灰變白的過(guò)程。開(kāi)始談判時(shí)，甲方說(shuō)我的出口額至少要5億元，乙方說(shuō)我的進(jìn)口額不大于3億。則成交額這一灰數(shù)將在3億與5億間取值，其白化

8、權(quán)函數(shù)可將起點(diǎn)定為3億，終點(diǎn)定為5億?；叶燃礊榛覕?shù)的測(cè)度?；覕?shù)的灰度在一定程度上反映了人們對(duì)灰色系統(tǒng)之行為特征的未知程度。在實(shí)際應(yīng)用中，我們會(huì)遇到大量的白化權(quán)函數(shù)未知的灰數(shù)，例如由一般灰色系統(tǒng)之行為特征預(yù)測(cè)值構(gòu)成的灰數(shù)，就難以給出其白化權(quán)函數(shù)。我們認(rèn)為，灰數(shù)的灰度主要與相應(yīng)定義信息域的長(zhǎng)度及其基本值有關(guān)。如果考慮一個(gè)4000左右的灰數(shù)，給出其估計(jì)值的兩個(gè)灰數(shù)和，顯然比更有價(jià)值，亦即比灰度小，若再考慮一個(gè)基本值為4的灰數(shù)，給出灰數(shù)，雖然與的長(zhǎng)度都是4，但比的灰度小是顯而易見(jiàn)的。7.2 灰色預(yù)測(cè)的概念7.2.1 灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測(cè)的概念1 灰色系統(tǒng)基本概念灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論的研究中。若一個(gè)系統(tǒng)

9、的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱之為白色系統(tǒng)。若一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無(wú)所知，一團(tuán)漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來(lái)觀測(cè)研究，這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)。灰色系統(tǒng)介于二者之間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關(guān)系。在工程技術(shù)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)、生態(tài)、環(huán)境等各種系統(tǒng)中經(jīng)常會(huì)遇到信息不完全的情況。比如：農(nóng)業(yè)方面，農(nóng)田耕作面積往往因許多非農(nóng)業(yè)的因素而改變，因此很難準(zhǔn)確計(jì)算農(nóng)田產(chǎn)量、產(chǎn)值，這是缺乏耕地面積信息；生物防治方面，害蟲(chóng)與天敵間的關(guān)系即使是明確的，但天敵與餌料、害蟲(chóng)與害蟲(chóng)間的許多關(guān)系卻不明確，這是缺乏生物間的關(guān)聯(lián)信

10、息；一項(xiàng)土建工程，盡管材料、設(shè)備、施工計(jì)劃、圖紙是齊備的，可是還很難估計(jì)施工進(jìn)度與質(zhì)量，這是缺乏勞動(dòng)力及技術(shù)水平的信息；一般社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，除了輸出的時(shí)間數(shù)據(jù)列（比如產(chǎn)值、產(chǎn)量、總收入、總支出等）外，其輸入數(shù)據(jù)列不明確或者缺乏，因而難以建立確定的完整的模型，這是缺乏系統(tǒng)信息；工程系統(tǒng)是客觀實(shí)體，有明確的“內(nèi)”、“外”關(guān)系（即系統(tǒng)內(nèi)部與系統(tǒng)外部，或系統(tǒng)本體與系統(tǒng)環(huán)境），可以較清楚地明確輸入與輸出，因此可以較方便地分析輸入對(duì)輸出的影響，可是社會(huì)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是抽象的對(duì)象，沒(méi)有明確的“內(nèi)”、“外”關(guān)系，不是客觀實(shí)體，因此就難以分析輸入（投入）對(duì)輸出（產(chǎn)出）的影響，這是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么

11、量進(jìn)行觀測(cè)控制等信息）。信息不完全的情況歸納起來(lái)有：元素（參數(shù)）信息不完全；結(jié)構(gòu)信息不完全；關(guān)系信息（特指“內(nèi)”、“外”關(guān)系）不完全；運(yùn)行的行為信息不完全。一個(gè)商店可看作是一個(gè)系統(tǒng)，在人員、資金、損耗、銷售信息完全明確的情況下，可算出該店的盈利大小、庫(kù)存多少，可以判斷商店的銷售態(tài)勢(shì)、資金的周轉(zhuǎn)速度等，這樣的系統(tǒng)是白色系統(tǒng)。遙遠(yuǎn)的某個(gè)星球，也可以看作一個(gè)系統(tǒng)，雖然知道其存在，但體積多大，質(zhì)量多少，距離地球多遠(yuǎn)，這些信息完全不知道，這樣的系統(tǒng)是黑色系統(tǒng)。人體是一個(gè)系統(tǒng)，人體的一些外部參數(shù)（如身高、體溫、脈搏等）是已知的，而其他一些參數(shù)，如人體的穴位有多少，穴位的生物、化學(xué)、物理性能，生物的信息傳遞

12、等尚未知道透徹，這樣的系統(tǒng)是灰色系統(tǒng)。 顯然，黑色、灰色、白色都是一種相對(duì)的概念。世界上沒(méi)有絕對(duì)的白色系統(tǒng)，因?yàn)槿魏蜗到y(tǒng)總有未確知的部分，也沒(méi)有絕對(duì)的黑色系統(tǒng)，因?yàn)榧热灰粺o(wú)所知，也就無(wú)所謂該系統(tǒng)的存在了。2. 灰色系統(tǒng)的特點(diǎn) 灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對(duì)象。（1）用灰色數(shù)學(xué)來(lái)處理不確定量，使之量化。 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，最早研究的是確定型的微分方程，即在拉普拉斯決定論框架內(nèi)的數(shù)學(xué)。他認(rèn)為一旦有了描寫(xiě)事物的微分方程及初值，就能確知事物任何時(shí)候的運(yùn)動(dòng)。隨后發(fā)展了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，用隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程來(lái)研究事物的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)。模糊數(shù)學(xué)則研究沒(méi)有

13、清晰界限的事物，如兒童和少年之間沒(méi)有確定的年齡界限加以截然劃分等，它通過(guò)隸屬函數(shù)來(lái)使模糊概念量化，因此能用模糊數(shù)學(xué)來(lái)描述如語(yǔ)言、不精確推理以及若干人文科學(xué)。灰色系統(tǒng)理論則認(rèn)為不確定量是灰數(shù)，用灰色數(shù)學(xué)來(lái)處理不確定量，同樣能使不確定量予以量化。1，2，3 不確定量 量化（用確定量的方法研究） 1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)； 2、模糊數(shù)學(xué)； 3、灰色數(shù)學(xué)（灰色系統(tǒng)理論）（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 研究灰色系統(tǒng)的關(guān)鍵是如何使灰色系統(tǒng)白化、模型化、優(yōu)化。 灰色系統(tǒng)視不確定量為灰色量。提出了灰色系統(tǒng)建模的具體數(shù)學(xué)方法，它能利用時(shí)間序列來(lái)確定微分方程的參數(shù)?；疑A(yù)測(cè)不是把觀測(cè)到的數(shù)據(jù)序列視為一個(gè)隨

14、機(jī)過(guò)程，而是看作隨時(shí)間變化的灰色量或灰色過(guò)程，通過(guò)累加生成和累減生成逐步使灰色量白化，從而建立相應(yīng)于微分方程解的模型并做出預(yù)報(bào)。這樣，對(duì)某些大系統(tǒng)和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)問(wèn)題，就可以發(fā)揮作用。（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng)。 灰色預(yù)測(cè)模型只要求較短的觀測(cè)資料即可，這和時(shí)間序列分析，多元分析等概率統(tǒng)計(jì)模型要求較長(zhǎng)資料很不一樣。因此，對(duì)于某些只有少量觀測(cè)數(shù)據(jù)的項(xiàng)目來(lái)說(shuō)，灰色預(yù)測(cè)是一種有用的工具。3灰色預(yù)測(cè)灰色系統(tǒng)分析方法是通過(guò)鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相似或相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析，并通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成處理來(lái)尋求系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強(qiáng)的規(guī)律性，可以用它來(lái)建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未

15、來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)和未來(lái)狀態(tài)?；疑A(yù)測(cè)是用灰色模型GM(1,1)來(lái)進(jìn)行定量分析的，通常分為以下幾類：(1) 灰色時(shí)間序列預(yù)測(cè)。用等時(shí)距觀測(cè)到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的一系列數(shù)量（如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等）構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或者達(dá)到某特征量的時(shí)間。(2) 畸變預(yù)測(cè)（災(zāi)變預(yù)測(cè)）。通過(guò)模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。 (3) 波形預(yù)測(cè)，或稱為拓?fù)漕A(yù)測(cè)，它是通過(guò)灰色模型預(yù)測(cè)事物未來(lái)變動(dòng)的軌跡。 (4) 系統(tǒng)預(yù)測(cè)，是對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)理論模型，在預(yù)測(cè)系統(tǒng)整體變化的同時(shí)，預(yù)測(cè)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的變化。上述灰預(yù)測(cè)方法的共同特點(diǎn)是

16、：（1）允許少數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)；（2）允許對(duì)灰因果律事件進(jìn)行預(yù)測(cè)，比如l 灰因白果律事件 在糧食生產(chǎn)預(yù)測(cè)中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無(wú)法枚舉，故為灰因，然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預(yù)測(cè)即為灰因白果律事件預(yù)測(cè)。l 白因灰果律事件 在開(kāi)發(fā)項(xiàng)目前景預(yù)測(cè)時(shí)，開(kāi)發(fā)項(xiàng)目的投入是具體的，為白因，而項(xiàng)目的效益暫時(shí)不很清楚，為灰果。項(xiàng)目前景預(yù)測(cè)即為灰因白果律事件預(yù)測(cè)。（3）具有可檢驗(yàn)性，包括：建?？尚行缘募?jí)比檢驗(yàn)（事前檢驗(yàn)），建模精度檢驗(yàn)（模型檢驗(yàn)），預(yù)測(cè)的滾動(dòng)檢驗(yàn)（預(yù)測(cè)檢驗(yàn)）。7.2.2 預(yù)備知識(shí)生成數(shù)分為累加生成數(shù)（AGO）與累減生成數(shù)（IAGO）(1) 累加生成數(shù) 1-AGO指一次累加生成。記原始序

17、列為生成序列為上標(biāo)“”表示原始序列，上標(biāo)“”表示一次累加生成序列。其中，(2) 累減生成數(shù)(IAGO) 是累加生成的逆運(yùn)算。記原始序列為，對(duì)做一次累減生成，則得生成序列，其中，規(guī)定。累加生成與累減生成之間的關(guān)系如下圖所示： 1-AGO IAGO 關(guān)聯(lián)度為了定量地研究?jī)蓚€(gè)事物間的關(guān)聯(lián)程度，人們提出了各種形式的指數(shù)，如相關(guān)系數(shù)和相似系數(shù)等等。這些指數(shù)大多以數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理為基礎(chǔ)，需要足夠的樣本個(gè)數(shù)或者要求數(shù)據(jù)服從一定的概率分布。在客觀世界中，有許多因素之間的關(guān)系是灰色的，分不清哪些因素之間關(guān)系密切，哪些不密切，這樣就難以找到主要矛盾和主要特性?；乙蛩仃P(guān)聯(lián)分析，目的是定量地表征諸因素之間的關(guān)聯(lián)程度，從而

18、揭示灰色系統(tǒng)的主要特性。關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)分析和預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。關(guān)聯(lián)分析是一種相對(duì)性的排序分析。從思路上來(lái)看，源于幾何直觀。如圖7.1所示的A、B、C、D四個(gè)時(shí)間序列，曲線A與B比較平行，我們就認(rèn)為A與B的關(guān)聯(lián)程度大。曲線C與A隨時(shí)間變化的方向很不一致，認(rèn)為A與C的關(guān)聯(lián)程度較小。曲線A與D相差最大，則認(rèn)為兩者的關(guān)聯(lián)程度最小。將曲線A與B、C、D的關(guān)聯(lián)程度分別記為rAB，rAC，rAD，則它們之間有如下排序關(guān)系：rAB，rAC，rAD，相應(yīng)的序列rAB，rAC，rAD稱為關(guān)聯(lián)序。 x A B C D t 圖7.1 時(shí)間序列的幾何關(guān)聯(lián)性由此可見(jiàn)，關(guān)聯(lián)分析實(shí)質(zhì)上是一種曲線間幾何形狀的分析比較，即幾何形狀

19、越接近，則發(fā)展變化趨勢(shì)越接近，關(guān)聯(lián)程度越大；反之亦然。關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法。計(jì)算關(guān)聯(lián)度需先計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)。（1） 關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算設(shè)參考序列為比較序列為 關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為： (7.2.1)式中，為第k點(diǎn)與的絕對(duì)差； 為兩級(jí)最小差，其中是第一級(jí)最小差，表示在序列上找各點(diǎn)與的最小差；為第二級(jí)最小差，表示在各序列中找出的最小差基礎(chǔ)上尋求所有序列中的最小差；是兩級(jí)最大差，其含義與最小差相似。 P稱為分辨率，一般采用。對(duì)單位不一，初值不同的序列，在計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)之前應(yīng)首先進(jìn)行初值化，即將該序列的所有數(shù)據(jù)分別除以第一數(shù)據(jù)，將變量化為無(wú)單位的相對(duì)數(shù)值。（2） 關(guān)聯(lián)度的計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)只表示了各個(gè)時(shí)

20、刻參考序列和比較序列之間的關(guān)聯(lián)程度，為了從總體上了解序列之間的關(guān)聯(lián)程度，必須求出它們的時(shí)間平均值，即關(guān)聯(lián)度。因此，計(jì)算關(guān)聯(lián)度的公式為： (7.2.2)另外，定量地表征灰色系統(tǒng)諸因子之間關(guān)聯(lián)程度的指數(shù)有兩種，按其計(jì)算方法的差異，分別稱為絕對(duì)值關(guān)聯(lián)度和速率關(guān)聯(lián)度。以上我們所介紹的是絕對(duì)值關(guān)聯(lián)度的概念和計(jì)算，有關(guān)速率關(guān)聯(lián)度的問(wèn)題，在此不作詳述。7.3 灰色預(yù)測(cè)模型7.3.1 GM（1,1）模型1GM(1,1)模型令為GM(1,1)建模序列，為的1-AGO序列，,令為的緊鄰均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5則GM(1,1)的定義型，即GM(1,1)的灰微分方程模型為 (7.3.2)模型符號(hào)含義為

21、 G M （1， 1） Grey Model 1階方程 1個(gè)變量 式中稱為發(fā)展系數(shù)，為灰色作用量。設(shè)為待估參數(shù)向量，即，則灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足 =其中=， =稱 (7.3.3)為灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，則有1） 白化方程的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為2） GM(1,1)灰色微分方程的時(shí)間響應(yīng)序列為+，3） 取，則+，4） 還原值上式即為預(yù)測(cè)方程。有關(guān)建模的問(wèn)題說(shuō)明如下：1 定原始序列中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來(lái)建模，對(duì)原始數(shù)據(jù)的取舍不同，可得模型不同，即和不同。2 模的數(shù)據(jù)取舍應(yīng)保證建模序列等時(shí)距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。3 一般建模數(shù)據(jù)序列應(yīng)當(dāng)由最新的數(shù)

22、據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)成，當(dāng)再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時(shí)，可采用兩種方法處理：一是將新信息加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個(gè)數(shù)據(jù)，再加上最新的數(shù)據(jù)，所形成的序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。7.3.2 GM（1,1）模型檢驗(yàn)GM(1,1)模型的檢驗(yàn)分為三個(gè)方面：殘差檢驗(yàn)；關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)；后驗(yàn)差檢驗(yàn)。1 殘差檢驗(yàn)殘差大小檢驗(yàn)，即對(duì)模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn)。首先按模型計(jì)算，將累減生成，最后計(jì)算原始序列與的絕對(duì)殘差序列，及相對(duì)殘差序列，%并計(jì)算平均相對(duì)殘差給定，當(dāng)，且成立時(shí)，稱模型為殘差合格模型。2 關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)，即通過(guò)考察模型值曲線和建模序列曲線的相似程度進(jìn)行檢驗(yàn)。按前面所述的關(guān)聯(lián)度計(jì)

23、算方法，計(jì)算出與原始序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便是滿意的。3 后驗(yàn)差檢驗(yàn)后驗(yàn)差檢驗(yàn)，即對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)。（1） 計(jì)算出原始序列的平均值：= （2） 計(jì)算原始序列的均方差：=（3） 計(jì)算殘差的均值：=（4） 計(jì)算殘差的均方差：=（5） 計(jì)算方差比C：（6） 計(jì)算小殘差概率：P令=0.6745，即P。若對(duì)于給定的，當(dāng)時(shí)，稱模型為均方差比合格模型；如對(duì)給定的，當(dāng)時(shí)，稱模型為小殘差概率合格模型。表7.1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表模型精度>0.95<0.35優(yōu)>0.80<0.5合格>0.70<0.65勉強(qiáng)合格<0.70&g

24、t;0.65不合格若相對(duì)殘差、關(guān)聯(lián)度、后驗(yàn)差檢驗(yàn)在允許的范圍內(nèi)，則可以用所建的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正。7.3.3 GM（1,1）模型應(yīng)用實(shí)例例7.1 某大型企業(yè)1999年至2004年的產(chǎn)品銷售額如下表，試建立GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)2005年的產(chǎn)品銷售額。年份199920002001200220032004銷售額(億元)2.673.133.253.363.563.72解：設(shè)=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步 構(gòu)造累加生成序列=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第2步 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣和數(shù)據(jù)向量，第3步 計(jì)算=第4步 得出

25、預(yù)測(cè)模型0.043879=2.925663=69.345766.6757（=2.67；=66.6757）第5步 殘差檢驗(yàn)(1)根據(jù)預(yù)測(cè)公式，計(jì)算，得2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69(=0,1, ,6)(2)累減生成序列，=1,2, ,62.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71原始序列：2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72(3)計(jì)算絕對(duì)殘差和相對(duì)殘差序列絕對(duì)殘差序列：0，0.02，0，0.04，0.02，0.01相對(duì)殘差序列：0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%相對(duì)殘差不超過(guò)1.19%，模型精確

26、度高。第6步 進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)(1) 計(jì)算序列與的絕對(duì)殘差序列(k)0,0.02,0,0.04,0.02,0.01min(k) = min0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0max(k) = max0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0.04(2) 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)由于只有兩個(gè)序列（即一個(gè)參考序列，一個(gè)被比較序列）故不再尋求第二級(jí)最小差和最大差。求得1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67(3) 計(jì)算關(guān)聯(lián)度0.67r=0.67是滿足P=0.5時(shí)的檢驗(yàn)準(zhǔn)則r>0.6的。第7步 后驗(yàn)差檢驗(yàn)(1) 計(jì)算：=2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3

27、.72=3.28(2) 計(jì)算 序列的均方差：=0.3671(3) 計(jì)算殘差的均值：=0.015(4) 計(jì)算殘差的均方差：=0.0152(5) 計(jì)算C：=0.0152/0.3671=0.0414(6) 計(jì)算小殘差概率：=0.67450.3671=0.27460.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005所有都小于，故小殘差概率=1，而同時(shí)C=0.0414<0.35，故模型=69.345766.6757合格。第8步 預(yù)測(cè)：k=7，(8)=(8)(7)=4.23即2005年的產(chǎn)品銷售額預(yù)測(cè)值為4.23億元。7.3.4 GM（1,1）殘差模型當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列建立的GM(1,1

28、)模型檢驗(yàn)不合格時(shí)，可以用GM(1,1)殘差模型來(lái)修正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不夠精確，也可以用GM(1,1)殘差模型來(lái)提高精度。若用原始序列建立的GM(1,1)模型=+可獲得生成序列的預(yù)測(cè)值，定義殘差序列=。若取j=i, i+1, , n，則對(duì)應(yīng)的殘差序列為：=，計(jì)算其生成序列，并據(jù)此建立相應(yīng)的GM(1,1)模型：得修正模型 (7.3.4)其中為修正參數(shù)。應(yīng)用此模型時(shí)要考慮：1 一般不是使用全部殘差數(shù)據(jù)來(lái)建立模型，而只是利用了部分殘差。2 修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用與中的i的取值有關(guān)。7.3.5 GM（1,N）模型如果考慮的系統(tǒng)由若干個(gè)相互影響的因素組成，設(shè)=(

29、1)，(2)，(n)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而=(1)，(2)，(n) =(1)，(2)，(n)為相關(guān)因素序列。為的1-AGO序列（），為的緊鄰生成序列，則稱 （7.3.5）為GM(1,N)灰色微分方程。定義為GM(1,N)灰色微分方程的參數(shù)列，根據(jù)最小二乘法可以得出：式中稱 (7.3.6)為GM(1,N)灰色微分方程（7.3.5）的白化方程，也稱影子方程。于是，我們有1） 白化方程（7.3.6）的解為2）當(dāng)變化幅度很小時(shí)，可視為灰常量，這樣，GM(1,N)灰色微分方程（7.3.5）的近似時(shí)間響應(yīng)式為 (7.3.7)其中取為。3） 累減還原式為 (7.3.8)灰色系統(tǒng)建模的基本思路可以概括為以下幾點(diǎn)：（1）建立模型常用的數(shù)據(jù)有以下幾種：科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；生產(chǎn)數(shù)據(jù)；決策數(shù)據(jù)。（2）序列生成數(shù)據(jù)是建立灰色模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。（3）一般非負(fù)序列累加生成后，得到準(zhǔn)光滑序列，對(duì)于滿足光滑條件的序列，即可建立GM微分