直線與橢圓的綜合問(wèn)題考點(diǎn)與題型歸納

1、直線與橢圓的綜合問(wèn)題考點(diǎn)與題型歸納考點(diǎn)一弦中點(diǎn)問(wèn)題典例（2018南寧摸底聯(lián)考）已知橢圓拿+ y= 1（a>b>0）的一條弦所在的直線方程是x y+ 5= 0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 M（ 4,1），則橢圓的離心率是（）1A.qbF解析設(shè)直線x x2y2y+ 5= 0 與橢圓 a + b = 1 相交于 A(xi, yi), B(x2,y2）兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn) M( 4,1)，所以 xi + X2= 8, yi + y2 = 2.易知直線 AB的斜率k= y2= 1.由X2 X1x2 y2尹 b2= 1，x2 y2尹 b2= 1，X1+ X2 X1 X2 y1 + y2 y1 y2y1 y

2、2兩式相減得，忑 +2= 0 ,所以X1 X2a2b2b2 X1 + X2當(dāng)，所以a y1 + y2102 =23，故選 c.b2 1c=1，于是橢圓的離心率e=-a4a答案C解題技法1.用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問(wèn)題的步驟2.解有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的注意點(diǎn)對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意前提條件 A> 0;在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交.題組訓(xùn)練x21 11 已知橢圓：9 + y2 = 1，過(guò)點(diǎn)P 2，2的直線與橢圓相交于 A, B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為（)A . 9x+ y 5= 0B . 9x y 4=

3、 0C. x + 9y 5 = 0D . x 9y+ 4= 0解析：選C設(shè)A(X1,+ (y2 yi)(y2+ yi) = 0,因?yàn)閄229 + y2= 1,丄9 JX2 X1 X2 + X1y1), B(X2, y2)，則有2兩式作差得9+ y2=1,y2 yi_1X2 + X1= 1, y2 + y1 = 1,= kAB,代入后求得 kAB=石，所以1弦所在的直線方程為 y- 2=1 19 X 2，即 x+ 9y 5 = 0.22焦點(diǎn)為F(0,5.2)，并截直線y= 2x 1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 7的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解析：設(shè)所求的橢圓方程為2 2*+ b2= 1(a > b>

4、0),直線被橢圓所截弦的端點(diǎn)為A(xi, yi)，B(X2, y2) X1 + X2 y1 + y2X1 + X2 2 y1 + y2由題意，可得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為丁，寸，且f737.y2 x2 a2 + b2 =1,將A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得2 2y2 x2 y2+b2=ja2y1 y2 y1+ y2兩式相減并化簡(jiǎn)，得a= 2xbX1 X2 X1+ X26 74 = 3，7所以 a2= 3b2，又 c2= a2 b2= 50,所以a2= 75,b2= 25,X2 X19故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為75+1=1.y2 X2 答案：75+ 25=1考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問(wèn)題X2 y2xT6 、典例(20

5、18北京高考節(jié)選)已知橢圓 M : 了+岸=1(a>b>0)的離心率為 ，焦距為2 2.斜率為k的直線I與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A, B.(1) 求橢圓M的方程；(2) 若k= 1，求|AB|的最大值.a2= b2 + c2,解 由題意得a=¥,解得a = . 3, b = 1.2c= 22,x2所以橢圓M的方程為3 + y2= 1.設(shè)直線 I 的方程為 y= x+ m, A(xi, yi), B(X2, y2).y= x + m,由 x2得 4+ 6mx+ 3m2 3= 0,i+ y2=1,所以 xi+ X2= 3m2，xix2 =3m2 3所以 |AB|=- X2

6、xi 2+ y2 yi2=_ 2x2 xi 2 xi + X22 4xiX2=I2 3m22當(dāng)m= 0，即直線I過(guò)原點(diǎn)時(shí)，|AB|最大，最大值為.6.解題技法弦長(zhǎng)的求解方法(I)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(xi, yi), B(X2, y2),則|AB|= i + k2 xi + X22 4xix2 =i + 書(shū)yi+ y22 4yiy2(k 為直線斜率).提醒利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.題組訓(xùn)練I .已知橢圓X2 +=I與直線y= x+ m交于A, B兩點(diǎn)，且|AB|=

7、生嚴(yán)，則實(shí)數(shù)m的值 為( )A. ±1C. 2B. ±2D. 土. 2x222 + y2= i,解析：選A 由2消去y并整理,y= x+ m得 3x2 + 4mx+ 2m2 2= 0.設(shè) A(x1, y1), B(X2, y2).4mxi + X2=,X1X2 =2m2 2由題意，得 |AB|= '2 xi + X2 2 8x1x2 = 3>. 3 m2解得m= 土 1.x2 y2i2橢圓E：學(xué)+古=1(a> b>0)的左焦點(diǎn)為Fi，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=寸，過(guò)Fi的直 線交橢圓于A, B兩點(diǎn)，且 ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程；若直線

8、AB的斜率為，3,求厶ABF2的面積.解：(1)由題意知，4a= 8，所以a= 2,1c 1又 e= 2，所以 a=1，c= 1,所以 b2= 22 1 = 3,X2 y2所以橢圓E的方程為x + Q = 1.43設(shè)直線AB的方程為y = .3(x+ 1),y= 3 x+ 1 ,由 x2 y2得 5X2 + 8x= 0,'+ 匚=14 十 31，8解得 X1= 0, X2= 5 ,所以 y1= 3, y2= 353.所以 SABF2= cy1 y2|= 1 x ,3+=色3考點(diǎn)三橢圓與向量的綜合問(wèn)題典例(2019長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知橢圓 C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1( 1,0), F2(1,0),且經(jīng)

9、過(guò)點(diǎn)E .3 ,子.(1)求橢圓C的方程;過(guò)Fi的直線I與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方),若H= 2RiB ,求直線 I的斜率k的值.X2 y2解(1)設(shè)橢圓C的方程為孑+詁=1(a>b>0),2a = |EFi|+ |EF2|= 4,由a2 = b2 + c2,解得c= 1,c= 1,所以橢圓c的方程為x4+3 = 1.由題意得直線I的方程為y= k(x + 1)(k> 0),y= k x+ 1 ,聯(lián)立x2 y2整理得4 + 3 = 1，君+ 4 y2 6y 9 = 0,則=晉+ 144> 0,設(shè) A(X1, y”，Bg y2).6k 9k2則 y1+ y

10、2=翫，y1y2=廝，> >又 AF1 = 2 F1B，所以 y1 = 2y2,所以 y1y2= 2(y1+ y2)2,則 3 + 4k2 = 8,解得k= ±25,又k > 0,所以k=于.解題技法解決橢圓中與向量有關(guān)問(wèn)題的方法(1)將向量條件用坐標(biāo)表示，再利用函數(shù)、方程知識(shí)建立數(shù)量關(guān)系.(2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系.(3) 利用向量運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系解題.題組訓(xùn)練x2 y2> >1.已知F1,F2為橢圓孑+ *= 1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，B為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，BF1 BF2B. 0, -2c.0,#>

11、 > 1> >解析：選 C 根據(jù)題意不妨設(shè) B(0, b), F1( c,0), F2(c,0),因?yàn)?BF1 BF2>-F1F22, BF1>=(c, b), BF2 = (c, b), |F1F2|2= 4c2,所以 b2>2c2,又因?yàn)?b2= a2 c2,所以 a23c2,所以°v/.2.已知橢圓x2 y2D ：02+ b2= 1(a > b > 0)的右焦點(diǎn)為F, A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且 |OA|= |OF|, AOF的面積為1(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)).求橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)橢圓D長(zhǎng)軸左端點(diǎn)C作直線I與直線x= a交于點(diǎn)M，

12、直線I與橢圓D的另一交點(diǎn)> >為P,求OMOP的值.解：因?yàn)閨OA|=|OF|，所以b= c,1又mOF的面積為1,所以bc = 1,解得b = c= 2,所以 a2= b2 + c2 = 4,所以橢圓d的標(biāo)準(zhǔn)方程為x4+= 1.(2)由題意可知直線 MC的斜率存在，設(shè)其方程為y = k(x+ 2),X2 y2代入 4 + 2 = 1,得(1 + 2k2)x2 + 8k2x+ 8k2 4= 0,4k2 2所以P 2k2 + 14k右.又 M(2k),>所以0M>OP = (2,4k)2k2+ 1，2k2+ 1課時(shí)跟蹤檢測(cè)1. (2019長(zhǎng)春二檢)橢圓4x2 + 9y2=

13、 144內(nèi)有一點(diǎn)P(3,2),則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的 斜率為()00 - 2 9 - 4- - B D解析：選A 設(shè)以P為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓交于點(diǎn)A（xi, yi）, B（x2, y2）,斜率為k,貝U4x1 + 9y1=144,4x2 +9y2= 144，兩式相減得4(x1 +X2)(x1 X2)+ 9(y1 + y2)(y1 y2)=0,又y1 y22X1 + X2= 6, y1 + y2= 4,= k,代入解得 k= 3.X1 X232.已知直線x2y= x+ 1與橢圓a22= 1（a >b> 0）相交于A, B兩點(diǎn)，若橢圓的離心率 b為#,焦距為2,則線段AB的長(zhǎng)

14、是（=.2 bVC. 2解析：選B由條件知c= 1, e=a = 2，所以a= 2, b= 1,橢圓方程為寫(xiě)+ y2= 1,41W2聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）, 3, 3，所以AB|= 一3一.x23. 斜率為1的直線l與橢圓-+ y2= 1相交于A, B兩點(diǎn)，y |AB|的最大值為（）D. 5b¥C. 5解析：選C設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（X1,yi）,（X2,y2）,直線|的方程為y= x+ t,x2 + 4y2= 4,由消去 y,得 5x2 + 8tx+ 4(t2 1)= 0,y= x +1一84 t2 1則X1+X2= 51, X1X2= "V&

15、quot;一 1 + k2Xi X2|1 + k2 X1 + X2 2 4x1 X28 24 t2 15t 2-4X 5當(dāng) t= 0 時(shí)，|AB|x2 孑=1(a > b> 0)的右焦點(diǎn)F,與橢x2 y2a2+b=i,a b得(b2y= x- c,+ a2）y2+ 2b2cy b4 = 0,由于直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，故必與橢圓有交點(diǎn)，則> 0.設(shè) A(xi,2b2cyi+ y2=a2+ b2'y1) ,B(x2,y2)，則b4> >又 AF = 2 FB , /-(c xi , yi) = 2(x2 c , y2),yi = 2y2 ,可得yiy2 =a2

16、+ b2'2b2cy2= E,-2y2= a5i4c2''22=G , r ,故選 B.4 10max=5n4. （2019石家莊質(zhì)檢）傾斜角為4的直線經(jīng)過(guò)橢圓> >圓交于A, B兩點(diǎn)，且AF = 2FB，則該橢圓的離心率為（）A.J解析：選B 由題可知，直線的方程為 y= x c,與橢圓方程聯(lián)立5. 已知點(diǎn)P是橢圓x6 + y8 = i上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)i , F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，0是坐標(biāo)原> > >點(diǎn)，若M是/ FiPF2的平分線上一點(diǎn)，且 FiM -MP = 0,則|OM |的取值范圍是（A . 0,3)B . (0,2,； 2)C

17、. 2 .'2, 3)D . (0,4解析：選B 如圖，延長(zhǎng)FiM交PF2的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G.> >> >.FiM -MP = 0,/.FiM 丄 MP .又MP為ZFiPF2的平分線，|PFi|= |PG|,且 M 為 FiG 的中點(diǎn).1O 為 FiF2 中點(diǎn)， OM 綊2F2G.|F2G|=|PF2|PG|=|PF1|PF2|,>1|OM|= 2|2a 2|PF2|=|4|PF2|.4 2 . 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4 + 2 2, |OlM| (0,2 ,2).6. 已知Fi( 1,0), F2(1,0)是橢圓

18、C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓 C于A, B兩點(diǎn)，且AB|= 3,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .2 2解析：由題意知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且c= 1,可設(shè)橢圓C的方程為令+今=1(aaa2 13> 1),由|AB|= 3,知點(diǎn)1, 2在橢圓上，代入橢圓方程得 4a4 17a2+ 4 = 0，所以a2= 4或a2=4(舍去).故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y3=1.7. 已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C: -2 + y2 =1(a> 0),過(guò)右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線交橢圓a于A, B兩點(diǎn)，且|AB|= 1，則該橢圓的離心率為 .解析：因?yàn)闄E圓+ y2= 1(a> 0)的焦點(diǎn)在x軸上，所

19、以c=“ a2 1,又過(guò)右焦點(diǎn)且垂直 a于x軸的直線為x = c,將其代入橢圓方程中，得 p+ y2 =1,則y = ±" . 1 當(dāng)，又|AB| = 1,c23所以2. 1 * = 1,得2 = 4，所以該橢圓的離心率a2 4e=(=遲e a 2 .答案：于&已知p(1,1)為橢圓芋+2 = 1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)p引一條弦，使此弦被p點(diǎn)平分，則此 弦所在的直線方程為解析：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k,弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(X1, y1), (x2, y2), x2 y2x2 y2則 x1+專=1 ，x2+y2=1 ,x1 + X2 x1 X2y1 + y2 y

20、1 y2得+'= 0,Xi + X2= 2, yi+ y2= 2,X1 X2-2 + y1- y2= 0,y1- y21°k= 2.X1 X22此弦所在的直線方程為y 1 = -1),即 x + 2y-3= 0.答案：x+ 2y- 3 = 0x29. (2019湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C: / + y2= 1(a> 1,aa R)上，過(guò)O的直線交橢圓 C于A, B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn).(1)若厶FAB的面積的最大值為 1，求a的值;1若直線MA, MB的斜率乘積等于 3求橢圓C的離心率.解：(1)因?yàn)?S:AB= 1|OF| yA yB|w

21、 |OF = pa2-1 = 1，所以 a = !由題意可設(shè) A(xo, yo), B( xo,- yo), M(x, y),則鄉(xiāng)+ y2= 1, a2+ y0= 1,aax2xo 丄 22y y0 y+y。y2 y21-了-1 7ax -x2kMA kMB = 22 =22=22X X0 x+ X0 X x2x xoX x21 1a2= 3,所以 a2= 3，所以 a= .3,所以 c= _ a2 b2= 2,所以橢圓c的離心率e=a=w 10. (2019成都一診)已知橢圓C:X2+ b2= 1(a> b> 0)的右焦點(diǎn)為F(,3, 0),長(zhǎng)半軸與短半軸的比值為2.(1)求橢圓

22、C的方程;設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線I與橢圓 為直徑的圓上，求直線I的方程.C相交于不同的兩點(diǎn) M , N.若點(diǎn)B(0,1)在以線段MN解：(1)由題可知 c= 3, b = 2, a2= b2 + c2,'a = 2, b= 1.X22橢圓C的方程為4 + y2= 1.(2)易知當(dāng)直線I的斜率為0或直線I的斜率不存在時(shí)，不合題意.當(dāng)直線I的斜率存在且不為 0時(shí)，設(shè)直線I的方程為x= my+ 1, M(xi, yi), N(X2, y2).x= my + 1,聯(lián)立消去 x,可得(4 + m2)y2 + 2my 3= 0.x2+ 4y2= 42 2m 3= 16m + 48>0,

23、y1 + y2=2, y1y2=-4 + m24+ m2點(diǎn)B在以MN為直徑的圓上,> > BM -BN = 0.TBM -BN = (my1+ 1, y1 1) n(2 + 1, y2 1)= (m2+ 1)y1y2 + (m 1)(y1 + y2)+ 2 = 0,2 3 2m(m2+ 1) :+ (m 1) :+ 2 = 0,4 + m24 + m2亠25整理，得 3m2 2m 5 = 0,解得 m= 1 或 m = 3.直線I的方程為x+ y 1 = 0或3x 5y 3 = 0.B級(jí)x2 y211. 已知橢圓 C: /+存=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,

24、 F2,離心率為2，點(diǎn)A在 橢圓C 上, AF1|= 2,Z F1AF2= 60°過(guò)F2與坐標(biāo)軸不垂直的直線 I與橢圓C交于P, Q兩 點(diǎn)，N為線段PQ的中點(diǎn).(1) 求橢圓C的方程；1(2) 已知點(diǎn)M 0, 8，且MN丄PQ,求線段MN所在的直線方程.1解：(1)由 e= 2 得 a= 2c,易知 |AF1|= 2, |AF2|= 2a 2,由余弦定理，得 AF1|(2019唐山五校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為 2 + 1的線段的兩端點(diǎn) C, D分別+ |AF2|2 2|AF1| AF2|cos A =|FiF2|2,1即 4 + (2a 2)2 2X 2X (2a 2) x=a>L >,解得a= 2,則c= 1,b(1) 求曲線E的方程；> > >= a2 c2= 3,橢圓c的方程為手+ £ = 1.設(shè)直線 I 的方程為 y= k(x 1), P(xi, yi), Q(x2, y2),y= k x 1 ,聯(lián)立 x2 y2整理得(3 + 4k在x軸，y軸上滑動(dòng)，CP = 2 PD .記點(diǎn)P的軌跡為曲線 E.)x2 8k2x+ 4k2 12= 0,+ = 1 4十