最新二重積分的概念及計算

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二重積分的概念及計算二重積分的概念及計算1 1第第10章章 重積分重積分10.1 二重積分二重積分一、引例一、引例二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性三、二重積分的性質三、二重積分的性質四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算五、利用直角坐標計算二重積分五、利用直角坐標計算二重積分六、利用極坐標計算二重積分六、利用極坐標計算二重積分七、二重積分換元法七、二重積分換元法二重積分的概念及計算page 2解法解法: 類似定積分解決問題的思想類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲

2、頂柱體的體積 給定曲頂柱體給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 d頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜让妫阂砸?d 的邊界為準線的邊界為準線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱面軸的柱面求其體積求其體積.“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” d),(yxfz 二重積分的概念及計算page 3d),(yxfz 1)“大化小大化小”用用任意曲線網任意曲線網分分d為為 n 個區(qū)域個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個個2)“常代變常代變”在每個在每個k, ),(kk3)“近似和近似和”nkkvv1nkkk

3、kf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfvkkkk則則中中任取一點任取一點小曲頂柱體小曲頂柱體k),(kk二重積分的概念及計算page 44)“取極限取極限”k 定定義義的的直直徑徑為為 1212()maxkkp pp ,p 令令 1max()kk n 01lim(,)nkkkkvf ),(yxfz ),(kkfk),(kk二重積分的概念及計算page 52. 平面薄片的質量平面薄片的質量 有一個平面薄片有一個平面薄片, 在在 xoy 平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 d ,),(cyx計算該薄片的質量計算該薄片的質量 m .度為度為),(),(常數若yx設設d 的面積為的面積為 , 則

4、則m若若),(yx非常數非常數 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代變常代變,近似和近似和, 求求 極限極限” 解決解決.1)“大化小大化小”用用任意任意曲線網分曲線網分d 為為 n 個小區(qū)域個小區(qū)域,21n相應把薄片也分為小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域 .dyx二重積分的概念及計算page 62)“常代變常代變”中中任取任取一點一點k在每個),(kk3)“近似和近似和”nkkmm1nkkkk1),(4)“取極限取極限”)(max1knk令nkkkkm10),(limk),(kk),2, 1(),(nkmkkkk則第則第 k 小塊的質量小塊的質量yx二重積分的概念及計算page

5、7兩個問題的兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結構式相同所求量的結構式相同“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和,取極限取極限”nkkkkfv10),(limnkkkkm10),(lim曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質量平面薄片的質量: 二重積分的概念及計算page 8二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設將區(qū)域將區(qū)域 d 任意任意分成分成 n 個小區(qū)域個小區(qū)域),2,1(nkk任取任取一點一點,),(kkk若存在一個常數若存在一個常數 i , 使使nkkkkfi10),(lim可積可積 , )

6、,(yxf則稱dyxfd),(),(yxfi為稱在在d上的上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和積分和dyxfd),(積分域積分域被積函數被積函數積分表達式積分表達式面積元素面積元素記作記作是定義在是定義在有界區(qū)域有界區(qū)域 d上的上的有界函數有界函數 , 二重積分的概念及計算page 9dyxfvd),(引例引例1中曲頂柱體體積中曲頂柱體體積:dyxmd),(引例引例2中平面薄板的質量中平面薄板的質量:如果如果 在在d上可積上可積,),(yxf也常也常d,ddyx二重積分記作二重積分記作.dd),(dyxyxf,kkkyx 這時這時分區(qū)域分區(qū)域d , 因此面積元素因此面積元素可用平行坐

7、標軸的直線來劃可用平行坐標軸的直線來劃 記作記作dyxyxfdd),(dyxyxdd),(二重積分的概念及計算page 10二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數若函數),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在則dyxf),(證明略證明略)定理定理1.在在d上可積上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù)限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 d上連續(xù)上連續(xù), 則則若有界函數若有界函數在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 d 上除去有上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在在d :10 x10 y上二重積分存在上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在在d 上上

8、y1xo1d二重積分不存在二重積分不存在 . 二重積分的概念及計算page 11三、二重積分的性質三、二重積分的性質dyxfkd),(. 1( k 為常數為常數)dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3dddyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfd上若在dddd1 為為d 的面積的面積, 則則 ),(2121無公共內點ddddddyxfkd),(ddyxgyxfd),(d),(二重積分的概念及計算page 12特別特別, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxfdyxfd),(則則dyxfd),(dyxd),(5. 若在若在d上上),(yxf, ),(yxd

9、yxfd),(6. 設設),(min),(maxyxfmyxfmddd 的面積為的面積為 ,myxfmdd),(則有則有二重積分的概念及計算page 137.(二重積分的中值定理二重積分的中值定理),(yxf設函數,),(d),(),(fdyxfd證證: 由性質由性質6 可知可知,myxfmdd),(1由連續(xù)函數介值定理由連續(xù)函數介值定理, 至少有一點至少有一點d),(dyxffd),(1),(),(d),(fyxfd在閉區(qū)域在閉區(qū)域d上上 為為d 的面積的面積 ,則至少存在一點則至少存在一點使使使使連續(xù)連續(xù),因此因此二重積分的概念及計算page 14例例1. 比較下列積分的大小比較下列積分的

10、大小:d)(,d)(32ddyxyx其中其中2) 1()2( :22yxd解解: 積分域積分域 d 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與它與 x 軸交于點軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域而域 d 位位, 1 yx從而從而d)(d)(32ddyxyx于直線的上方于直線的上方, 故在故在 d 上上 1y2xo1d二重積分的概念及計算page 15例例2. 判斷積分判斷積分2222341ddxyxyxy 的正負號的正負號.解解: 分積分域為分積分域為,321ddd則則原式原式 =12231d ddxyxy 22231d ddxyxy 32

11、231dddxyxy 1dddxy 3331d ddxy 32 (43) 23d32d11dyxo3(12)0 猜想結果為負猜想結果為負但不好估計但不好估計 .舍去此項舍去此項二重積分的概念及計算page 16220yx 0)ln(22 yx例例3. 判斷判斷的正負的正負.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx當當時，時，故故0)ln(22 yx又當又當時，時，1 yx于是于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyod二重積分的概念及計算page 17例例4. 估計下列積分之值估計下列積分之值22ddi:10100coscosdxydxyxy 解解: d 的面積

12、為的面積為50()4200 三三角角形形面面積積由于由于221100coscosxy積分性質積分性質5200200i102100即即: 1.96 i 210101010d11001102xyo二重積分的概念及計算page 185 . 04 . 0i例例5. 估計估計 的值的值, 其中其中 d 為為dxyyxi162d22. 20, 10yx解解: 被積函數被積函數16)(1),(2yxyxf2d 的面積的面積41)0 , 0( fm的最大值的最大值),(yxfd上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值的最小值,4252 i故yox2d1二重積分的概念及計算page 19xyo

13、 d8. 設函數設函數),(yxfd 位于位于 x 軸上方的部分為軸上方的部分為d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf當區(qū)域關于當區(qū)域關于 y 軸對稱軸對稱, 函數關于變量函數關于變量 x 有奇偶性時有奇偶性時, 仍仍1d在在 d 上上d),(21dyxf在閉區(qū)域上連續(xù)在閉區(qū)域上連續(xù), 域域d 關于關于x 軸對稱軸對稱,則則則則有類似結果有類似結果.在第一象限部分在第一象限部分, 則有則有1:,221 yxdd 為圓域如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0二重積分的概念及計算page 20 x

14、bad 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為設曲頂柱的底為bxaxyxyxd)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為dyxfvd),(yyxfxaxxd),()()()(000201截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21baxxad )(截柱體的截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xd二重積分的概念及計算page 21ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxd),()(),(21同樣同樣, 曲頂柱的底為曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算則其體積可按如下兩次積分計算dyxfvd),

15、(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd二重積分的概念及計算page 22例例6. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為r 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.xyzrro解解: 設兩個直圓柱方程為設兩個直圓柱方程為,222ryx利用對稱性利用對稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxrvddd822220dxryxxrrd)(80223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd二重積分的概念及計算page 23內容小結內容小

16、結1. 二重積分的定義二重積分的定義dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質二重積分的性質 (與定積分性質相似與定積分性質相似)3. 曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算二次積分法二次積分法二重積分的概念及計算page 24被積函數被積函數相同相同, 且且非負非負, 思考與練習思考與練習yxyxiyxdd1122yxyxiyxdd12yxyxidd11113解解: 321,iii由它們的積分域范圍可知由它們的積分域范圍可知312iii11xyo1. 比較下列積分值的大小關系比較下列積分值的大小關系:二重積分的概念及計算page 252. 設設d 是第二象限

17、的一個有界閉域是第二象限的一個有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則,d31dxyi,d322dxyidxyid3213的大小順序為的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321iiidiiiciiibiiia提示提示: 因因 0 y 1, 故故;212yyyd故在故在d上有上有, 03x又因323321xyxyxyyox1d二重積分的概念及計算page 263. 計算計算.dd)(sin2200yxyxi解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyid)(sind220002二重積分的概念及計算page 274. 證明證明:221

18、(sincos)d2,dxy 其中其中d 為為01, 01.xy解解: 利用題中利用題中 x , y 位置的對稱性位置的對稱性, 有有22(sincos)ddxy 222212(sincos)d(sincos)dddxyyx 212222(sin)d(sin)dcoscosddxxyy 22(sincos)ddxx 242sin()ddx 2214201,sin()1,xx 又又 d 的面積為的面積為 1 , 故結論成立故結論成立 .yox1d1二重積分的概念及計算page 28五、利用直角坐標計算二重積分五、利用直角坐標計算二重積分且在且在d上連續(xù)時上連續(xù)時, ( , )0f x y 當當被

19、被積積函函數數bxaxyxd)()(:21dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知由曲頂柱體體積的計算可知, 若若d為為 x 型區(qū)域型區(qū)域 則則)(1xy)(2xyxboydax若若d為為y 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyd)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyddyxyxfdd),(則則二重積分的概念及計算page 29當被積函數當被積函數),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負ddyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在d上

20、上變號變號時時,因此上面討論的累次積分法仍然有效因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于由于dyxyxfdd),(2二重積分的概念及計算page 30oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是x型區(qū)域又是型區(qū)域又是y 型區(qū)域型區(qū)域 , dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoydba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干1d2d3dx-型域

21、或型域或y-型域型域 , 321dddd則則 二重積分的概念及計算page 31xy211xy o221d y例例7. 計算計算,ddyxi其中其中d 是直線是直線 y1, x2, 及及yx 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將將d看作看作x型區(qū)域型區(qū)域, 則則:di21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將d看作看作y型區(qū)域型區(qū)域, 則則:dixyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y二重積分的概念及計算page 32例例8. 計算計算,ddyx其中其中d 是拋物線是拋物線xy

22、2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:dxyx ddyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則則 二重積分的概念及計算page 33例例9. 計算計算,ddsindyxxx其中其中d 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxydxxy 解解: 由被積函數可知由被積函數可知,因此取因此取d 為為x 型域型域 :xxyd00:dyxxxddsinxy0d0dsinxx0

23、cosx20dsinxxxx先對先對 x 積分不行積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.二重積分的概念及計算page 34例例10. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxi解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyd822 yx2d22yxo21d221xy 222280:22xxyd21ddd將:d視為視為y型區(qū)域型區(qū)域 , 則則282yxy20 ydyxyxfidd),(282d),(yyxyxf20dy二重積分的概念及計算pag

24、e 35例例11. 計算計算,dd)1ln(2yxyyxid其中其中d 由由,42xy1,3xxy所圍成所圍成.oyx124xyxy32d1d1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21ddd(如圖所示如圖所示)顯然顯然,1上在d),(),(yxfyxf,2上在d),(),(yxfyxfyxyyxiddd)1ln(120yxyyxddd)1ln(224二重積分的概念及計算page 36axy2解：解：原式原式ay0daay2d22xaxy22yaax例例12. 給定給定改變積分的次序改變積分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxiaaxxaxay0d2222d),(yaaayxy

25、xfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy二重積分的概念及計算page 37xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對應有對應有六、利用極坐標計算二重積分六、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下在極坐標系下, 用同心圓用同心圓 r =常數常數則除包含邊界點的小區(qū)域外則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在在k),(kkrkkkkrrkkkr221內取點內取點kkkrr221)(及射線及射線 =常數常數, 分劃區(qū)域分劃區(qū)域d 為為krkrkkkr二重積分的概念及計算page 38kkkk

26、kkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10dyxfd),(ddrr即即drrf)sin,cos(drrddrd二重積分的概念及計算page 39do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設設,)()(:21rd則則drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對對20)(0:rddrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(rod二重積分的概念及計算page 40若若 f 1 則可求得則可求得d 的面積的面積d)(21202dd思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 d 分別與分別與 x

27、, y 軸相切于原點軸相切于原點,試試答答: ;0) 1 ()(rdoyx)(rdoyx問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(二重積分的概念及計算page 41例例13. 計算計算,dd22dyxyxe其中其中.:222ayxd解解: 在極坐標系下在極坐標系下,200:ard原式原式drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數不是初等函數的原函數不是初等函數 , 故本題無法用直角故本題無法用直角2reddrr20d由于由于故故坐標計算坐標計算.二重積分的概念及計算page 42注注: 利用例利用例13可得到一個在概率論與數理統(tǒng)計及工程上可得到一個在概率論

28、與數理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式非常有用的反常積分公式2d02xex事實上事實上, 當當d 為為 r2 時時,dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例7的結果的結果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .二重積分的概念及計算page 43例例14. 求球體求球體22224azyx被圓柱面被圓柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面內的含在柱面內的)立體的體積立體的體積. 解解: 設設由對稱性可知由對稱性可知20,cos20:arddd4422rrravd20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033

29、a)322(3323aoxyza2二重積分的概念及計算page 443261sin4 ryxyxddd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例15. 計計算算其中其中d 為由圓為由圓所圍成的所圍成的,dd)(22yxyxd,222yyxyyx42203 xy及直線及直線30,xy解：解：平面閉區(qū)域平面閉區(qū)域.03 xysin2 roxy2436d二重積分的概念及計算page 45baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法定積分換元法七、二重積分換元法七、二重積分換元法 ( , ):( , )xx u vtyy u v ddvu),(滿

30、足滿足(1)( , ),( , )x u vy u vd 在在上上一階偏導數連續(xù)一階偏導數連續(xù);雅可比行列式雅可比行列式(2)d 在在上上( , )( , )0;( , )x yj u vu v (3) 變換變換:tdd 則則( , )dddf x yxy ( ( , ), ( , )df x u vy u v 定理定理:( , ),f x yd設設在在閉閉域域 上上連連續(xù)續(xù)變換變換:是一一對應的是一一對應的 ,( , ) d dj u vu vovudoyxdt二重積分的概念及計算page 46oyxdovud證證: 根據定理條件根據定理條件(2)(3)可知變換可知變換 t 可逆可逆. 用平

31、行于坐標軸的用平行于坐標軸的 ,uo v 在在坐坐標標面面上上直線分割區(qū)域直線分割區(qū)域 ,d任取其中一個小矩任取其中一個小矩t形形, 其頂點為其頂點為),(, ),(21vhumvum1mu4m3m2mhu vkv通過變換通過變換t, 在在 xoy 面上得到一個四邊面上得到一個四邊形形, 其對應頂點為其對應頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxmiii1m4m3m2m22,hk 令令則則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvumkvhum)(),(ohvuux二重積分的概念及計算page 4714xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )()

32、,(ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy當當h, k 充分小時充分小時,曲邊四邊形曲邊四邊形 m1m2m3m4 近似于平行四近似于平行四 邊形邊形, 故其面積近似為故其面積近似為4121mmmm2121414100ijkxxyyxxyy khkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuj),(二重積分的概念及計算page 48vuvujdd),(d因此面積元素的關系為因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式從而得二重積分的換元公式: dyxyxfdd),(dvuyvuxf),(),(vuvujdd),(例如例如, 直角坐標轉化為極坐標時直角坐標轉化為極坐標時, si

33、n,cosryrx),(),(ryxjcossinrsincosrrdyxyxfdd),(drrrrfdd)sin,cos(二重積分的概念及計算page 49例例16. 計算計算其中其中d 是是 x 軸軸 y 軸和直線軸和直線2 yx所圍成的閉域所圍成的閉域. 解解: 令令,xyvxyu則則2,2uvyuvx),(),(vuyxjyxedxyxyddvuevuddd2120d21vvveed)(211201ee2 yxdxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(dd dd2vvu vuuov二重積分的概念及計算page 50ybx 2yax 2doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例17. 計算由計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 d 的面積的面積 s .解解: 令令duvopqab則則bvaqupd :d),(),(vuyxj31dyxsddbaqpvudd31vujddd)(31abpq二重積分的概念及計算page 51例例18. 試計算橢球體試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzvddd2yxcdbyaxdd122222由對稱性由對稱性, 1:2222byaxd取令令,sin,cosrbyrax則則d 的原象