高等數(shù)學第四章第三節(jié)

1、問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部積分公式分部積分公式4.3 分部積分法分部積分法udvvduuvd )()(xvvdd ,ddxuu 例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 2coscos2xxdxdxx xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令

2、令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossincxxx .dduvuvvu .2 dxxex求求例例 .dxdueveddxedvxuxxx ，則則，取取解解 .1cxecexedxexedxxexxxxxx 由公式由公式 (2)，得，得 從以上兩例可見：當被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角從以上兩例可見：當被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積或冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積時，可用分部函數(shù)乘積或冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積時，可用分部積分法，并取積分法，并取 u 為冪函數(shù)為冪函數(shù).?2 dxexx問問：.dduvuvvu 例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解,

3、2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexdexxxx222.22)(2 222222cexeexcexeexdxexeexxdeexxxxxxxxxxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函就考慮設(shè)冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u.dduvuvvu .ln4 xdx求求例例.1 lndxxduxvdxdvxu ，于于是是，取取解解 .1lnln1lnlncxx

4、cxxxdxxxxxxdx 則則用同樣的方法可以求：用同樣的方法可以求：.arcsinarctan等等， xdxxdx 當分部積分公式運用比較熟練之后，當分部積分公式運用比較熟練之后，u ,dv 可以可以不必寫出，以便簡化計算不必寫出，以便簡化計算.dduvuvvu 例例3 3 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 2arctanarctan2xxdxdxx)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx .ddu

5、vuvvu 例例4 4 求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx 4lnln43xxdxdxx dxxxx3441ln41.161ln4144cxxx 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u.dduvuvvu 例例6 6 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexe

6、xxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式.dduvuvvu 例例5 5 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx .dduvuvvu .sectan82 xdxx求求例例 xxdxdxxsectansectan2解解移項解得移項解得

7、.tanseclnsectan21sectan2cxxxxxdxx ,sectantanseclnsectan2 xdxxxxxx xdxxxdxxxsectansecsectan2 dxxxxx2tan1secsectan xdxxxx2secsecsectan xxdxxtansecsectan.sec83 xdx求求例例 xxxxxxxtandsecdsecsecdsec23解解移項解得移項解得 .tanseclnsectan21dsec3cxxxxxx ,dsectanseclnsectan3 xxxxxx xxxxxxdsecdsecsectan3 xxxxxdsectantanse

8、c2 xxxxsecdtantansec xxxxxdsec)1(sectansec2例例7 7 求積分求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecctt )tanln(seccxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2cxx 例例 8 8 已知已知)(xf的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是 2xe

9、, 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2cex .dduvuvvu _)(,ln)()2002(92dxxfxxxf則則的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)已已知知例例 dxxfxxfxxdfdxxfx)()()()(解：解：xxxxf1ln2)(ln)(2 cxdxxf 2ln)(cxxdxxfx 2lnln2)(是是正正整整數(shù)數(shù)。求求積積分分例例naxdxinn,)(1022 122222

10、)( nnninaniaxx xaxinnd)(122解：解：dxaxaaxnaxxnn 12222222)(2)( 12222222)(2)(2)(nnnaxdxnaaxdxnaxxdxaxxnaxxnn 122222)(2)( nnaxxaxx)(1d)(2222 xaxxnxaxxnnd)(2)()(12222.arctan1212222，等等，如如于于是是由由公公式式可可得得出出caxaaxxaiin caxaaxdxi arctan1221,)12()(212221nnninaxxnai ,)32()()1(2111222 nnninaxxani,)12()(22212nnninax

11、xina .1d:22 xx求不定積分求不定積分例例 xxxxxxxxxxd111d111d:2222222222解解 2222221d121arctand1221d11xxxxxxxxxx 2221d121arctan11d21arctanxxxxxxxx.arctan121arctan121arctan22cxxxcxxxx . 1,211xdxexexx求求例例解解 首先設(shè)法去掉被積函數(shù)中的根式，為此首先設(shè)法去掉被積函數(shù)中的根式，為此 ，則，則令令2ln2222 txtetexx dxexexx2于是于是 dtt2ln22 dtttttt2222ln222dtttdx222 .12arc

12、tan282422ceexexxx dtttttt2222ln222 dttttt22242ln2222 ctttt 2arctan2842ln22ceexexxx 22arctan282422 dxxxex22arctan)1()18( tdtetdttedttttetxtxttt2sin21costan)tan1(sectan,tan,arctan:2222原式原式令令解解合理選擇合理選擇 ，正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 小小 結(jié)結(jié).dduvuvvu ,cos,sin ,arctan ,arcsin, ,cos ,sin ,ln:xexebxxbx

13、xexbxxbxxxxxxkkxkkkk 積積函函數(shù)數(shù)為為適適合合使使用用分分部部積積分分的的被被思考題思考題 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時， 應(yīng)注意什么？應(yīng)注意什么？思考題解答思考題解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù)應(yīng)為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時若選第一次時若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時仍應(yīng)選第二次時仍應(yīng)選xusin2 一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計算、計算 xdxx ln2， u可設(shè)可設(shè)_ _ , , dv_；4 4

14、、計算、計算 xdxexcos， u可設(shè)可設(shè)_ _ _ , , dv_；5 5、計算、計算 xdxx arctan2， u可設(shè)可設(shè)_ _ , , dv_； 6 6、 計計算算 dxxex， u可可設(shè)設(shè)_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習習 題題3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設(shè)設(shè) cxfdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在，則則 cxffxxfdxxf )()()(111. .一、一、1 1、cxxx sincos； 2 2、cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5