段正敏主編線性代數(shù)習(xí)題解答

1、行列式1填空題： （1）3421的逆序數(shù)為 5 ；解：該排列的逆序數(shù)為. （2）517924的逆序數(shù)為 7 ；解：該排列的逆序數(shù)為. （3）設(shè)有行列式=，含因子的項為 -1440，0 ；解：所以含因子的項為-1440和0.（4）若階行列式；解：行列式中每一行可提出一個公因子，.（5）設(shè)，則的根為 1，2，-2 ；解：是一個vandermonde行列式，的根為1，2，-2.（6）設(shè)是方程的三個根，則行列式 0 ；解：根據(jù)條件有比較系數(shù)可得：，再根據(jù)條件得：原行列式. （7）設(shè)有行列式=0，則= 1，2 ；解：.（8）設(shè)，則多項式中的系數(shù)為 0 ；解：按第一列展開，中最多只含有項，含有的項只可能是

2、不含項，中的系數(shù)為0.（9）如果=0，則= 2 ；解：.（10）= -abcd ；解：將行列式按第一行展開：.（11）如果=1，則= 1 ；解：.（12）如=2，則= -16 ，= -4 ，= -4 ；解： .（13）設(shè)階行列式=，且中的每列的元素之和為，則行列式中的第二行的代數(shù)余子式之和為=；解：實際上，由上述證明過程可知任意行代數(shù)余子式之和. （14）如果=1，則= -1 ，=；解：令，則.（15）設(shè)有行列式，則元素的余子式=，元素2的代數(shù)余子式=；（16）設(shè)=，的代數(shù)余子式，則 0 ；解：方法一：可看成中第一列各元素與第四列對應(yīng)元素代數(shù)余子式乘積之和，故其值為0.方法二：. （17）設(shè)=

3、，的代數(shù)余子式，則 0 ；解：. （18）設(shè)，則的系數(shù)為 6 ；解：方法一： 方法二：只有一項非0綜上所述：的系數(shù)為6.（19）設(shè)， 且 ，則=；解：方法一：令，則,證明：根據(jù)行列式性質(zhì)2和5，將行列式變成下三角行列式，得到：行列式、的變換和行列式的變換完全相同，得到：分別將、第一次按第一行展開（變成第一行），第二次按第二行展開（變成第一行），總共進行m次第一行展開，得到：；證畢.方法二：設(shè)，其中：那么：中依次與對換，使得在下面；依次與對換，使得在下面，在上面；依次與對換，使得在下面，在上面；總共進行了次對換。得到：.（20）=.解：同理可得：，則. 2選擇題（1）設(shè)多項式=，則多項式的次數(shù)為

4、（）（）2 （）3 （）4 （）5解：方法一：多項式次數(shù)為3；方法二：多項式次數(shù)為3；注意：實際上方法一與方法二思想類似：利用行列式展開定理對行列式降階，最后求出行列式的值（多項式）.方法三：這四項的最高次項分別為：，多項式次數(shù)為3.（2）設(shè)為實數(shù)且=0，則（）（） （） （）（）解：. （3）設(shè)多項式=，則多項式的次數(shù)最多為（）（）1 （）2 （）3 （）4解：設(shè)，則的次數(shù)最多為1.（4），當(dāng)=（ ）時，0.（）3 （）4 （）5 （）7解：當(dāng)時，選. （5）為四階行列式的第列，（=1，2，3，4，），且=，則下列行列式中，等于的是（）.（） （） （）（）解：（）（）方法一：方法二：（）（

5、）3計算下列行列式（1）， （2），（3）， （4） ， （5） ， （6），（7）， （8）.解：（1）（2） （3）（4） （5） （6）方法一： 方法二：（7）（8）方法一：考慮新的行列式，則，即為 的系數(shù)，因為將按最后一列展開時，即為 的系數(shù)所在項，而由為范德蒙行列式知：因此有：方法二：注：此方法的因式分解有點難！4計算下列階行列式（1）；（2）， （即）；（3）；（4），其中未寫出元素為零；（5），其中未寫出元素為零.解：（1） （2）方法一： 方法二： （3） （4） （5）其中： 5證明（1）若行列式中每一個數(shù)，則所得行列式與相等；（2）；（3） 證明（1）（2）（3）6證明第三

6、節(jié)推論4.證明：設(shè)的兩行元素對應(yīng)成比例，則.7證明第三節(jié)性質(zhì)4.證明：證畢.8證明上三角行列式等于對角線上元素的乘積.證明：，由行列式的定義知，第一列只有為非零元，而第二列除第一行外，只有為非零元，同理依次進行.則，其中為逆序數(shù)，為0，. 證畢.第一章 矩陣1填空題（1）已知=，則= 0 ； -3 .解：. （2）設(shè)則=.解：，.（3）若均為3階方陣，且，則 -16 .解：. （4）為3階方陣，且=2，=，則= 6 .其中分別為的1、2、3行.解：. （5）已知=（1，1，1），則| |= 0 .解：. （6）設(shè)=滿足，則.解：兩邊取行列式得： ， .（7）設(shè)=，則=.解：，（8）設(shè)矩陣的秩為

7、2，則 3 .解：由的秩為2，則的所有3階子式為0.（9）設(shè)矩陣，且，則 -3 . 解：由知，即若，則，與已知矛盾，故；若，則，因為有一個三階子式，與已知相符，故.（10）為5階方陣，且，則 0 .解：關(guān)于原矩陣與伴隨矩陣秩的關(guān)系有如下結(jié)論： 此題中，故.證明：若，則，；若，則，有一個階子式不為0，于是有一個代數(shù)余子式不為0，. 因為，所以【見書p110：例9】，故；若，則的所有階子式全為0，于是所有代數(shù)余子式全為0，.（11）設(shè)為非零方陣，當(dāng)時，則= n .解：方法一：，由上題結(jié)論可知，由已知為非零方陣，則，故；方法二：為非零方陣，故的對角線元素不全為0，從而為非零方陣，則.（12）矩陣 的

8、逆矩陣為 .解：，則（13）設(shè)階可逆方陣滿足2，則 .解：由是可逆方陣知，由. （14）設(shè)階方陣滿足，則 4 ，=， .解：，（15）為階方陣，的伴隨陣，則.解：. （16）設(shè)的伴隨陣，則 .解：. （17）設(shè)的伴隨陣和逆陣，則 .解：. （18）設(shè)，為三階非零矩陣，且,則= -1 .解：首先證明：方法一：由，若，則可逆，兩邊左乘得，與矛盾，故；方法二：，設(shè)，故，即有非零解，故由定理4.2.1知.綜上有. （19）線性方程組，滿足條件時有惟一解.解：由克萊姆法則：時有唯一解.（20）當(dāng)=，線性方程組有非零解.解：有非零解.2選擇題（1）設(shè)、均為階方陣，則下面結(jié)論正確的是（）（）若或可逆，則必可

9、逆；（）若或不可逆，則必不可逆；（）若、均可逆，則+必可逆；（）若、均不可逆，則+必不可逆.解：可逆，不可逆（）若可逆，不可逆，故不可逆，故（）錯誤；（）或，故（）正確；（）設(shè)可逆，則也可逆，但不可逆，故（）錯誤；。（），均不可逆，但可逆，故（）錯誤.（2）設(shè)、均為階方陣，且()=，則（）（）； （）；（）； （）=.解：，兩邊取行列式，則，故或，故（）正確；（）反例：；（），故（）錯；（），故（）錯.（3）設(shè)、均為階非零矩陣，且，則和的秩（）（）必有一個為零； （）一個等于，一個小于；（）都等于； （）都小于.解：方法一：，由課本p110例9知：，又、均為非零矩陣，故，同理，故（）正確；方法

10、二：，、均為階非零矩陣，則、均不可逆，反證：若可逆，則，與矛盾；若可逆，則，與矛盾.（4）設(shè)階方陣經(jīng)過初等變換后得方陣，則（）（）； （）；（）； （）若,則.解：由題意知，故可逆陣、，使，故（）正確。（）（）（）均不正確，由，可構(gòu)造、，使（）（）（）不成立.（5）設(shè)、均為階方陣，可逆，則也可逆，且 （）.（）； （）；（）； （）.解：經(jīng)驗證知（）正確，即.（6）設(shè)階方陣滿足，則必有（）（）； （）；（）； （）.解：，則、均可逆，且，即，故（）正確.（7）設(shè)階方陣均是可逆方陣，則（）（）； （）；（）； （）.解：，故（）正確.（8）設(shè)，若可逆，則（）（）； （）；（）； （）.解：，則，

11、其中，對初等方陣有：故，故（）正確.（9）設(shè)是矩陣，是矩陣，則（）（）時必有=0； （）時必有=0； （）時必有0； （）時必有0.解：對（）（）有，故（）正確；對（）（）有，均有可能，故（）（）錯誤.（10）設(shè)=，的伴隨陣的秩為1，則（）.（）； （）且；（）； （）且.解：，此題有由若，與矛盾；若，此時，若，則，與矛盾，故. ，故.綜上所述，且，（）正確.3寫出下列矩陣（1）的3×2矩陣；（2）的的4階方陣.解：（1）（2）4設(shè)矩陣；，求 .解：，5計算下列矩陣的乘積（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）6設(shè)，求 (為正整數(shù)).解

12、：，猜測用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，成立，故由數(shù)學(xué)歸納法知7設(shè)，求 (為正整數(shù)).解：，且，可得：8設(shè)，求 (為正整數(shù)).解：方法一：，其中，假設(shè)，方法二：，假設(shè)，則，且9求下列矩陣的秩（1）； （2）（3） （4）解：（1） （2）（3）（4）10求下列矩陣的秩及行的最簡形（1）； （2）.解：（1）（2）11求下列方陣的逆（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）.解：（1） （2），（3） （4），（5） （6），12求解下列矩陣方程（1）；（2）；（3），；（4）設(shè)，求.解：（1），其中，（2），（3），其中，（4），其中，13用克萊姆法則求解下列方

13、程組（1）（2）解：（1），可逆（2），并且，14已知線性方程組有非零解，求解下列方程中的參數(shù)（1）（2）解：齊次方程組有非零解；齊次方程組有唯一解（零解）（1），或（2）或15下列等式是否正確，說明理由或舉反例說明，其中均為階方陣.（1）=； （2）；（3）.解：對于（2）式，對于（3）式，但對于一般的階方陣，沒有（交換律），故（1）（2）（3）均錯誤。反例：，則，顯然。特殊情形下有： 為數(shù)字陣：，； 均為對角陣，。 16下列等式或結(jié)論是否正確，說明理由或舉反例說明，其中均為階方陣.（1）如果；（2）如果；（3）如果；（4）方陣和的乘積（其中為零矩陣），且，則；（5）設(shè)方陣均可逆，則可逆.解

14、：（1），但；（2），但或；（3），但；（4），；（5），均可逆，但不可逆.17（1）設(shè)是矩陣，是矩陣，是否一定有=？（2）設(shè)、都是矩陣，是否一定有，舉例說明.（3）若3階方陣的秩為2，3階方陣的秩為3，則的秩為2嗎？為什么？（4）設(shè)是階方陣，已知有非零解，對任意的自然數(shù)，方程 是否也有非零解？為什么？解：（1）不一定. 可以舉出例子說明，現(xiàn)舉例說明.取，則，；，顯然.（2）不一定.可以舉例說明，現(xiàn)舉例說明設(shè)，則，（3）的秩為2. 的秩為3，則為可逆陣，是一系列初等方陣的積，就相當(dāng)于給實施一系列初等變換，而初等變換不改變矩陣的秩.（4）方程有非零解. 實際上的非零解即為的非零解.方法一：方法二

15、：有非零解的非零解，為任意的自然數(shù)18設(shè)矩陣是階對稱陣，是階方陣，則都是對稱陣.證明：已知是階對稱陣，則，；得證都是對稱陣.19證明逆陣性質(zhì)2、3、5.證明：由知：性質(zhì)2：性質(zhì)3：性質(zhì)5：20證明同階正交陣相乘是正交陣.證明：設(shè)和均為階對稱陣，則，故為正交陣.21設(shè)，:.證明：由知22設(shè)，.證明：又，23設(shè)為階方陣，的伴隨陣，證明 . 證明：由方陣a和它的伴隨方陣的關(guān)系，方陣的行列式運算性質(zhì)，則=，當(dāng)時，；當(dāng)時，=0，如，則可逆，的所有的代數(shù)余子式，而，矛盾. 故，有.24設(shè).證明：，即. 25設(shè)均為階方陣，滿足，證明：可逆且.證明：，故可逆；故得證.26設(shè)方陣滿足，證明及可逆.證明:方法一：

16、由已知有，可逆.又由已知有，由知，可逆.方法二：由已知有，可逆，且又由已知有，可逆，且. 27設(shè)均為階方陣，且，證明可逆，并求其逆.證明：，由知，可逆，且. 28若對任意的均有，證明必是零矩陣.證明：成立，特別地，取，則：，且，的任一列均為零向量，即.29設(shè)為階方陣，證明=的充要條件是.證明：必要性：顯然；充分性：記，則，記，則，即.30證明的充要條件是存在可逆陣、，使.證明：初等方陣，使可逆陣，可逆陣，使. 31設(shè)均為階方陣，滿足=0，證明：=0.證明：，則已知，則或，即.32設(shè)為階方陣，且均可逆，證明：可逆，并求其逆.證明：，為可逆陣的乘積，故可逆，且.第二章 向量組的線性相關(guān)性1填空題（

17、1）設(shè)向量組線性相關(guān)，則 2 .解：方法一：線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)，使前三個方程解出，（不全為0）把代入第四個方程得，方法二：線性相關(guān)，則由，即方法三：，則的任意三階子式為0，取的一個三階子式（2）設(shè)向量組線性無關(guān)，則必滿足關(guān)系式.解：，則線性無關(guān)，即. （3）設(shè)向量組的秩為2，則 -3 .解：當(dāng)時，矛盾，故；當(dāng)時，故.（4）向量組線性無關(guān)，則向量組, 是線性 無關(guān) .解：為初等方陣的乘積，初等變換不改變矩陣秩，從而不改變向量組的秩，（線性無關(guān)）線性無關(guān).（5）向量組的秩為2，則的秩為 2 .解：為初等方陣的乘積，初等變換不改變矩陣秩，從而不改變向量組的秩，. （6）設(shè)三階矩陣，向量，且

18、滿足與線性相關(guān)，則 -1 .解：與線性相關(guān)與對應(yīng)分量成比例（7）設(shè)是的基，則滿足關(guān)系式.解：是的基線性無關(guān)（8）已知三維線性空間的一組基為，則向量在這組基下的坐標(biāo)是.解：，.2選擇題（1）設(shè)為一組維向量，則下列說法正確的是( a )（a）若不線性相關(guān)，則一定線性無關(guān)；（b）若存在個全為零的數(shù)，使得：，則線性無關(guān)；（c）若存在個不全為零的數(shù)，使得：，則線性無關(guān)；（d）若向量組線性相關(guān)，則可由線性表示.解：（b）可以線性相關(guān)；（c）對任意的個不全為零的數(shù)，使得：，則線性無關(guān)；（d）p64定理3.2.1指出：（）線性相關(guān)至少存在一個向量可由其余個向量線性表示，但并沒有指明是哪一個向量可由其余個向量線

19、性表示.（2）向量組線性相關(guān)的充要條件是( c )（a）中有一個零向量；（b）中任意兩個向量成比例；（c）中有一個向量是其余向量的線性組合；（d）中任意一個向量都是其余向量的線性組合.解：（c）正確： p64定理3.2.1；（a）（b）（d）是充分條件.（3）維向量組線性無關(guān)的充要條件是( d )（a）存在一組不全為零的數(shù)，使；（b）中任意兩個向量都線性無關(guān)；（c）存在一個向量不能由其余向量線性表示；（d）中任一個向量不能由其余向量線性表示.解：（a）線性相關(guān)任意一組不全為0的數(shù)；（b）取，則中任意兩個向量都線性無關(guān)，但是線性相關(guān)；p64定理3.2.1的逆否命題為：（）線性無關(guān)不存在一個向量可

20、由其余個向量線性表示任何一個向量都不能由其余個向量線性表示，故（c）錯誤，（d）正確.（4）設(shè)向量組(i)：；向量組(ii)：，則必有( a )（a）(i)線性相關(guān)(ii)線性相關(guān)； （b）(i)線性相關(guān)(ii)線性無關(guān)；（c）(ii)線性相關(guān)(i)線性相關(guān)； （d）(ii)線性相關(guān)(i)線性無關(guān).解：線性相關(guān)增加一個向量或者減少一維向量仍線性相關(guān)；線性無關(guān)減少一個向量或者增加一維向量仍線性無關(guān).（5）已知向量組線性無關(guān)，則向量組( c )（a）線性無關(guān)；（b）線性無關(guān)；（c）線性無關(guān)；（d）線性無關(guān).解：一般地，即，若，則可逆，為初等方陣的乘積，初等變換不改變矩陣的秩，從而不改變向量組的秩，

21、從而線性相關(guān)線性相關(guān)，線性無關(guān)線性無關(guān)；若，下面用兩種方法證明一定線性相關(guān)：方法一：，線性相關(guān)；方法二：，則一定有非零解，設(shè)此非零解為，即，則，線性相關(guān).，故（c）正確；同理，故其余三項錯誤.（6）設(shè)線性相關(guān)，線性無關(guān)，則( c )（a）線性相關(guān)； （b）線性無關(guān)；（c）能由線性表示； （d）能由線性表示.解：線性相關(guān)線性相關(guān)，又線性無關(guān)能由線性表示能由線性表示，故（c）正確.（7）設(shè)向量能由向量組線性表示但不能由向量組（i）：線性表示，記向量組（ii）：，則( b )（a）不能由（i）線性表示，也不能由（ii）線性表示；（b）不能由（i）線性表示，但能由（ii）線性表示；（c）能由（i）線性

22、表示，也能由（ii）線性表示；（d）能由（i）線性表示，但不能由（ii）線性表示.解：能由向量組線性表示，使又不能由向量組（i）：線性表示，于是，即能由（ii）線性表示；假設(shè)能由（i）線性表示，則，使，代入得到能由向量組（i）：線性表示，矛盾，故不能由（i）線性表示. 故選（b）.（8）設(shè)矩陣為階方陣，且，則在的個行向量中( b )（a）任意個行向量線性無關(guān)；（b）必有個行向量線性無關(guān)；（c）任意個行向量構(gòu)成極大無關(guān)組；（d）任意一個行向量都可以由其中任意個行向量線性表示.解：，為的行向量組，則，的最大無關(guān)組的個數(shù)為，必有個行向量線性無關(guān)，故（b）正確.例如：，則線性無關(guān).（9）設(shè)矩陣為階方陣

23、，且，則矩陣中( c )（a）必有一列元素全為0；（b）必有2列元素對應(yīng)成比例；（c）必有一列向量是其余列向量的線性組合；（d）任意一列向量都是其余列向量的線性組合.解：線性相關(guān)不全為零的數(shù)，使得：一個向量可由其余個向量線性表示，故（c）正確. （a）（b）是的充分條件.（10）設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示，則對于任意的常數(shù)，必有( a )（a）線性無關(guān)； （b）線性相關(guān)；（c）線性無關(guān)； （d）線性相關(guān).解：可由向量組線性表示一定線性無關(guān)若線性相關(guān)， 線性無關(guān)，則矛盾，故線性無關(guān)；當(dāng)時，線性無關(guān)；當(dāng)時，線性相關(guān)。當(dāng)時，若線性相關(guān)， 線性無關(guān)，則，矛盾，

24、故線性相關(guān)；當(dāng)時，故線性相關(guān).3設(shè)，求.解： 4設(shè)，且，求.解：5討論下列向量組的線性相關(guān)性：（1）向量組1：；（2）向量組2：；（3）向量組3：；（4）向量組4：；（5）向量組5：.解：（1），向量組1線性無關(guān).（2），向量組2線性相關(guān).（3）對應(yīng)分量不成比例，向量組3線性無關(guān).（4）方法一： ，向量組4線性相關(guān).方法二：與線性相關(guān)（），線性相關(guān).（5）由定理3.2.5知任意4個3維向量必定線性相關(guān)，向量組5線性相關(guān).6分別求下列向量組的秩及其一個最大的線性無關(guān)組：（1）向量組1：；（2）向量組2：.解：（1），為一個極大無關(guān)組.（2），顯然矩陣的前兩個列向量線性無關(guān)，的前兩個列向量線性無關(guān)

25、為一個極大無關(guān)組.7設(shè)，則：（1）為何值時，向量組線性相關(guān)？線性無關(guān)？（2）為何值時，向量組線性相關(guān)？線性無關(guān)？解：（1）向量組線性相關(guān)的充要條件是對應(yīng)分量成比例，即當(dāng)時，對應(yīng)分量不成比例，此時向量組線性無關(guān).綜上所述：當(dāng)時，線性相關(guān)；當(dāng)時，線性無關(guān).（2）向量組線性無關(guān)且向量組線性相關(guān)或綜上所述：當(dāng)或時，線性相關(guān)；當(dāng)且時，線性無關(guān). 8設(shè)向量組的秩為2，求的值.解：方法一：，要使，則與必線性相關(guān)：方法二：，容易找到一個二階子式不為0，的所有三階子式為0，則9設(shè)向量組線性無關(guān)，問滿足什么條件時，線性無關(guān).解：即，故當(dāng)時，線性相關(guān)；當(dāng)時，可逆，此時等價，從而，線性無關(guān)；總結(jié)：線性相關(guān)線性無關(guān) 線

26、性無關(guān)線性相關(guān)從而線性相關(guān)，線性無關(guān) 故當(dāng)時，向量組線性無關(guān).10設(shè)向量組線性無關(guān)，向量能由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示，對任意的實數(shù)，問（1）向量組是否線性相關(guān)，為什么？（2）向量組是否線性相關(guān)，為什么？解：可由向量組線性表示（1）一定線性無關(guān).若線性相關(guān)， 線性無關(guān)，則矛盾，故線性無關(guān)；（2）當(dāng)時，線性無關(guān)；當(dāng)時，線性相關(guān).當(dāng)時，若線性相關(guān)， 線性無關(guān)，則，矛盾，故線性相關(guān)；當(dāng)時，故線性相關(guān).11驗證矩陣和矩陣是否為正交陣.解：方法一：直接根據(jù)正較陣定義進行驗證，即，過程略；方法二：根據(jù)定理3.4.2，為正交陣的行（列）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 對于矩陣，的列向量組不是標(biāo)準(zhǔn)正交

27、向量組，矩陣不是正交陣；對于矩陣， ，是單位列向量又，是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，矩陣是正交陣.12分別將以下向量組正交化（1）向量組1：；（2）向量組2：.解：（1）（2）13設(shè)，且線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān).證明：設(shè)，代入有：有： 線性無關(guān)， ，由定義知：線性無關(guān).14設(shè)向量能由向量組線性表示，且表示式惟一，證明線性無關(guān).證明：設(shè)，且，兩式相加有：的表達式唯一，即線性無關(guān)15設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：能由線性表示，而不能由線性表示.解：線性無關(guān)，線性無關(guān)，又線性相關(guān)，存在不全為0的數(shù)，必有，否則不全為0，且與線性無關(guān)矛盾，即能由線性表示.反證：若能由線性表示，由于可由線性表示，能由線

28、性表示，與線性無關(guān)矛盾，不能由線性表示.16設(shè)維單位坐標(biāo)向量組能由維向量組線性表示，證明向量組線性無關(guān).證明：由于可由維單位坐標(biāo)向量組線性表示，因此由題目知與可相互線性表示，即二者等價，由于的秩為n，所以的秩也為n，即線性無關(guān).17是維向量組，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量都能由它們線性表示.證明：必要性：任取向量，是線性無關(guān)的維向量組，必線性相關(guān)，因此可由線性表示；充分性：若任意一個維向量均可由線性表示，則維單位坐標(biāo)向量組可由線性表示，由16題知線性無關(guān).18設(shè)為階矩陣，為為列向量，若存在正整數(shù)，使得：，但是，證明向量組線性無關(guān).證明：當(dāng)時，則線性無關(guān)，結(jié)論正確；當(dāng)時，設(shè) （1

29、）（1）式兩端左乘，則，又，代入（1）得： （2）（2）式兩端左乘，則，代入（2）得 （3）（3）式兩端左乘，則以此類推，得到，從而線性無關(guān).19設(shè)向量組(i)：的秩為，向量組(ii)：，的秩為，向量組(iii)：的秩為，證明.證明：顯然（i）可由（iii）線性表示，即，同理（ii）可由（iii）線性表示，即，所以；同時記為的極大無關(guān)組，為的極大無關(guān)組，則（iii）可由，線性表示，綜上所述：.20設(shè)是矩陣，是矩陣，證明：.證明：將和列分塊，記，則，且，由19題知：.21設(shè)都是矩陣，證明：.證明：將和列分塊，記，則：，可由線性表示，由19題知：.22設(shè)是矩陣，是矩陣，證明：.證明：設(shè)，行分塊為，

30、行分塊為，可由線性表示，同理可證，即，證畢.23設(shè)是維單位列向量，令，證明：是對稱的正交陣.證明：，是對稱陣；又，注意到是維單位列向量，即，即是正交陣；綜上所述，是對稱的正交陣.24設(shè)都是階正交陣，證明也是正交陣.證明：已知均為正交陣，則，故也是正交陣.25設(shè)，驗證是否是向量空間.解：是向量空間.易驗證對加法和數(shù)乘封閉：，則，故；，故.不是向量空間.，故不是向量空間.26證明由向量組所生成的向量空間就是.證明：，線性無關(guān)，是的一組基，.27證明為的一組基，并求向量在這組基下的坐標(biāo).解：，線性無關(guān)，是的一組基.設(shè)，則，.第三章 線性方程組1填空題（1）若齊次方程組只有零解，則參數(shù)應(yīng)滿足.解：只有

31、零解；有非零解；且.（2）若方程組有解，則常數(shù)滿足.解：有解；則.（3）若方程組無解，則.解：則無解；，則當(dāng)時，此時無解.（4）若方程組有無窮多解，則 -2 .解：，則 有一解；有0，解；當(dāng)時，故無解；當(dāng)時，故有無窮解；綜上所述：.（5）若方程組有惟一解，則滿足.解：，對無要求，即. （6）若階矩陣的每一行元素之和為零，且，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為.解：，即為的非零解向量；記為的解空間，則，則的任何一個線性無關(guān)的解向量均是的基礎(chǔ)解系，從而的基礎(chǔ)解系是.（7）設(shè)為非齊次線性方程組的兩個不同解，其中為矩陣，且，則的通解為.解：記為的解空間，則，則的任何一個線性無關(guān)的解向量均是的基礎(chǔ)解系，為非齊

32、次線性方程組的兩個不同解，則是的一個非零解，從而線性無關(guān)，那么是的基礎(chǔ)解系，則的通解為： 或者. （8）設(shè)為矩陣，則非齊次線性方程組有惟一解的充要條件是.解：有唯一解；無解；有無窮解.（9）設(shè)為階方陣，若齊次線性方程組的解都是齊次線性方程組的解，則.解：記為的解空間，為的解空間，由已知，則.（10）若，且三條不同直線相交于一點，則矩陣的秩滿足.解：三條不同直線相交于一點有唯一解，令則，則與等價，從而，則.2選擇題（1）齊次線性方程組僅有零解的充要條件是( a )（a）矩陣的列向量組線性無關(guān)；（b）矩陣的列向量組線性相關(guān)；（c）矩陣的行向量組線性無關(guān)；（d）矩陣的行向量組線性相關(guān).解：只有零解線

33、性無關(guān)，故選（a）.（2）設(shè)是矩陣，是與非齊次線性方程組相對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是( d )（a）若僅有零解，則有惟一解；（b）若有非零解，則有無窮多解；（c）若有無窮多解，則僅有零解；（d）若有無窮多解，則有非零解.解： 只有零解；有非零解；對，若，則有解，且有唯一解，有無窮解；對，有：有零解或唯一解（可能無解，當(dāng)），有無窮解或零解（可能無解，當(dāng)）.（a）僅有零解有零解或唯一解，故（a）錯誤；（b）有非零解有無窮解或零解，故（b）錯誤；（d）有無窮解有非零解，故（d）正確.(3) 設(shè)是矩陣，且，則( a )(a) 時，非齊次線性方程組有解；(b) 時，非齊次線性方程組有惟一解

34、；(c) 時，非齊次線性方程組有解；(d) 時，非齊次線性方程組有無窮解.解：（a）且有解，故（a）正確；（b）有零解或唯一解；（c）當(dāng)時，無解；（d）有無窮解或零解.(4) 設(shè)為非齊次線性方程組的兩個不同解，則( b )是的解.(a) ； (b) ； (c) ； (d) .解：，（a）；（b），故選（b）；（c）；（d）.(5) 當(dāng)矩陣等于( a )時，都是齊次線性方程組的解.(a) ； (b) ； (c) ； (d) .解：顯然，線性無關(guān)，記為的解空間，則，故（a）正確.可簡單驗證：，.(6) 設(shè)矩陣的秩為，為階單位矩陣，則下列結(jié)論正確的是( c )(a) 矩陣的任意個列向量必線性無關(guān)；(

35、b) 矩陣的任意階子式必不等于0；(c) 若矩陣滿足，則必有；(d) 矩陣通過初等行變換，必可化成的形式.解：，則線性無關(guān)，線性相關(guān).（a）（b）存在階子式不等于0，設(shè)此子式對應(yīng)矩陣為，則線性無關(guān)；（d）行最簡形標(biāo)準(zhǔn)形；（c）方法一：由，不妨設(shè)，且可逆，；方法二：，則線性無關(guān)；方法三：由書16題知，記，則，即可逆，（兩邊右乘）（兩邊右乘）.綜上：（c）正確.(7) 設(shè)為階方陣，且，而為非齊次線性方程組的兩個不同解，為任意實數(shù)，則齊次線性方程組的通解為( c )(a) ； (b) ； (c) ； (d) .解：，則的任何一個非零解向量均為的基礎(chǔ)解系，由是的兩個不同解是的非零解，則是的基礎(chǔ)解系，的

36、通解為：，選（c）.(8) 設(shè)為非齊次線性方程組的兩個不同解，而為對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，為任意實數(shù)，則的通解為( ab )(a) ； (b) ；(c) ； (d) .解：非齊次方程組通解=非齊次方程組特解+齊次方程組通解非齊次方程組特解可選：（）齊次方程組通解可選擇：注意：不一定是的通解，因為可能與相關(guān)綜上：選（a）（b）.(9) 設(shè)為矩陣，為矩陣，對于齊次線性方程組，以下結(jié)論正確的是( d )(a) 當(dāng)時僅有零解；(b) 當(dāng)時必有非零解；(c) 當(dāng)時僅有零解；(d) 當(dāng)時必有非零解.解：（a）（b），則有非零解，只有零解，故有非零解或者只有零解均有可能，故（a）（b）錯誤；（c）（

37、d）有非零解，故（d）正確.3求解以下方程組(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 解：（1），方程組有無窮多解同解方程組為，即得通解； （2） ，方程組無解；（3），方程組有唯一解； （4），同解方程組為即得通解； （5）同解方程組為，通解為；（6）同解方程組為，通解為；（7），方程組無解；（8），方程組有唯一解；（9），同解方程組為，通解為； （10）同解方程組為，通解為.4求參數(shù)取何值時，下列方程組有惟一解、無解或有無窮多個解. 當(dāng)有無窮多個解時，求其一般解.(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）當(dāng)且時，由克萊姆法則知方程組有

38、唯一解：；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，若，即時，無解；若時，有無窮多解，此時，通解為：.（2）當(dāng)，即且時，無解.當(dāng)，即或時，有無窮多解，且：時，通解為：；時，通解為：；（3）當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有無窮多解，同解方程組為，通解為：； （4）當(dāng)時，無解；當(dāng)時，方程組有無窮多解，此時，通解為：； 當(dāng)且時，有唯一解，此時：方程組解為：；（5）當(dāng)或時，無解；當(dāng)且時，有無窮多解，通解為：；（6）當(dāng)且時，有唯一解；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有無窮多解，通解為：.5對于向量組；試討論參數(shù)滿足什么條件時，(1) 可由線性表出，且表示方式惟一；(2) 可由線性表出，但表示方式不惟一；(3) 不能由線性表出.解：有唯一解可

39、由線性表出，且表達式唯一；有無窮解或無解；有無窮解可由線性表出，且表達式不唯一；無解不能由線性表出；且（1）可由線性表出，且表達式唯一且；（2）當(dāng)時，此時有無窮解，可由線性表出，且表達式不唯一；（3）當(dāng)時，此時無解，不能由線性表出.6設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是2，并已知該方程組的三個解向量是求該方程組的通解.解：，則的任何兩個線性無關(guān)的解向量均是它的一組基礎(chǔ)解系；由為非齊次方程組的三個解向量知：， 為的兩個線性無關(guān)的解向量，故為的一組基礎(chǔ)解系；故的通解為.7設(shè)三元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為1，且已知它的三個解滿足： 求該方程組的通解.解：，故的任何兩個線性無關(guān)的解向量均是它的一

40、組基礎(chǔ)解系；，則，又，為非齊次方程組特解；， 為的兩個線性無關(guān)的解向量，故為的一組基礎(chǔ)解系；故為的通解.注意：此題中非齊次方程組的特解、齊次方程組的基礎(chǔ)解系找法不唯一.8設(shè)矩陣，矩陣為3階非零矩陣，且，求的值.解：，由p110例9知：，又是非零矩陣，則；.9設(shè)矩陣，為三階非零矩陣，且滿足，求及.解：，由p110例9知：，又是非零矩陣，即不滿秩，則；或；當(dāng)時，與不能同時為0，此時，；當(dāng)時，此時，.10設(shè)是非齊次線性方程組的個解，為實數(shù)，滿足，證明也是方程組的解.證明：由已知： 故也是方程組的解.11試證方程組 有解的充要條件是，并在有解的情況下，求出它的全部解.證明：有解；當(dāng)時，同解方程組為，通

41、解為.12設(shè)為元非齊次線性方程組的一個解，是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，證明：(1) 向量組線性無關(guān)；(2) 向量組線性無關(guān).證明：（1）設(shè)，則，為的基礎(chǔ)解系，有，是非齊次方程組，即，代入有，線性無關(guān)，即，線性無關(guān)；（2）設(shè)，則，由（1）知：線性無關(guān)，線性無關(guān).13設(shè)元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，且是它的個解，證明：(1) 是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系；(2) 的通解為，其中.證明：（1）首先我們證明是的解.，為解；其次我們證明線性無關(guān).設(shè)，則，線性無關(guān)，線性無關(guān)，為的一個基礎(chǔ)解系；（2）由（1）知：的解為：，取，則. 證畢.14設(shè)a為n階矩陣()，證明.證明： 若，則，；若，不可

42、逆，則，有一個階子式不為0，于是有一個代數(shù)余子式不為0，. 因為，所以【見書p110：例9】，故；若，則的所有階子式全為0，于是所有代數(shù)余子式全為0，. 證畢.15設(shè)為階矩陣，且，證明.證明：，可逆，設(shè)，則，設(shè)，易知可由線性表示，故，綜上：.16設(shè)為矩陣，證明.證明：由方程解與秩的關(guān)系知：只須證明與同解即可. 事實上，若，則，的解必為的解；反之，若，則，即 ，為列向量，的解必為的解；與同解，證畢.17設(shè)為維列向量，證明齊次線性方程組與有公共非零解的充要條件是：.證明：與有公共非零解，使，使，即有非零解.18若階方陣，其中為矩陣，為矩陣，且，證明齊次線性方程組只有零解.證明：只有零解.，故能由線

43、性表示，則，得，又，. 證畢.第四章 矩陣的相似對角化1填空題（1）設(shè)為階奇異矩陣，則一定有特征值 0 .解：方法一：0是的特征值；方法二：，即0是的特征值.（2）階矩陣的元素全為1，則的特征值為 n-1個0和 n .解：方法一：（重）或，即的特征值為個0和n；方法二：0是的特征值，易知， 0是的重特征根，設(shè)的另一特征值為x，由p122性質(zhì)1（2）有，的特征值為個0和n.（3）已知3階矩陣滿足則的相特征值為 0，1，1 .解：設(shè)，即是的特征值，是的對應(yīng)于的特征向量，由p110例9有：，的特征向量為的非零解，的特征向量為的非零解， .（4），已知的特征值為2，3，3，則為 .解：由p122性質(zhì)1

44、有，故此題有問題.（5）已知3階矩陣的特征值為1，2，3，則的特征值為. 解：的特征值為1，2，3，則行列式；，由p123性質(zhì)2的推廣知：是的特征值，即的特征值為.（6）已知3階矩陣的特征值為1，2，-2，則值為 -6 .解：設(shè)，則矩陣對應(yīng)的特征值為，則行列式.（7）已知矩陣與相似，則為，為 1 .解：與相似，則與特征值相同，得且，即，得，.（8）為n階矩陣，有特征值2，則一定有特征值 5 .解：有特征值2，則使，（否則，矛盾），兩邊左乘得：，2是的特征值，是的2對應(yīng)的特征向量，由是的特征值知：2+3=5是的特征值.（9）已知相似于，且，則.解：相似于，則存在可逆陣使，.（10）可相似對角化，

45、則與的關(guān)系為. 解：因為相似于對角陣，所以必有3個線性無關(guān)的特征向量，其中對應(yīng)于一個特征向量，對應(yīng)于必有2個線性無關(guān)的特征向量，的特征向量是的非零解，只有當(dāng)時，故與之間的關(guān)系是.2選擇題（1）與可逆陣必有相同特征值的矩陣是（ c ）.（a） （b） （c） （d）解：是的特征值是的特征值，故（a）（b）（d）均錯誤；（c）：，故與有相同特征值，正確.（2） 設(shè)為2階實矩陣，則矩陣 （ a ）.（a）可對角化 （b）不可對角化 （c）與反對稱陣相似 （d）以上都不對解：方法一：，有兩個不同的特征值，由p128推論2知與對角陣相似，故（a）正確；方法二：或有兩個不同的特征值.（3）已知是3階方陣，

46、是的互不相等的特征值，對應(yīng)特征向量分別為，則向量組（ b ）（a）線性相關(guān) （b）線性無關(guān) （c）可能線性相關(guān)，可能線性無關(guān) （d）以上都不對解：互不相同，由互不相同特征向量線性無關(guān)，向量組線性無關(guān)，故（b）正確.（4）設(shè)是的特征值，分別是的特征向量，則（ c ）（a）時，一定成比例 （b）時，若是特征值，則對應(yīng)的特征向量是（c）時，不可能是特征向量 （d）有解：（a）：時，是的二重根，對應(yīng)于的特征向量可能是二維的，即對應(yīng)于可能有兩個線性無關(guān)的特征向量，故（a）錯誤；（c）：，設(shè)是對應(yīng)于的特征向量，即，線性無關(guān)，則與已知矛盾，故不是的特征向量，（c）正確.（5）設(shè)為階方陣，且與相似，則（ d ）（a） （b）與有相同的特征值與特征向量 （c）與都相似于同一對角陣 （d）對任意常數(shù)，有與相似解：與相似，則存在可逆陣使：（a）：，但一般，故（a）錯誤；（b）：與有相同特征值，但一般特征向量不同，的特征向量是的非零解，的特征向量是的非零解，故（b）錯誤；（c）：與相似，但它們可能都不能相似于對角矩陣，故（c）錯誤；（d）：，故相似于，故（d）正確.（6）設(shè)為階實對稱矩陣，是階可逆陣，已知維列向量是的屬于特征值的特征向量。則屬于特征值的