運動穩(wěn)定性_1b

1、14 運動及其穩(wěn)定性的定義一、運動及其穩(wěn)定性定義一、運動及其穩(wěn)定性定義系統(tǒng):(1)( , )txfx若 為系統(tǒng)的特解, 且 , 該特解對應著系統(tǒng)的一個具體運動. 平衡點可視為其特殊情況.( ) txu00( )txu設系統(tǒng)在 受到擾動, 初狀態(tài)變?yōu)?,由此得到的運動0tox ( )( ;, )ootttxxx 2定義定義6： 系統(tǒng)(1)的特解 是不穩(wěn)定的, 如果: 存在 , 不論 多么小, 也存在 , 使得:01t( ) tu00 xx 定義定義4： 系統(tǒng)(1)的特解 是(Lyapunov意義)穩(wěn)定的,如果:對任意的 , 存在 , 使得對任意滿足的 , 有: 對一切 , 成立 .00tt0(

2、, )0t( ) tu00 xx 0 x ( ;, )( )ootttxxu定義定義5： 系統(tǒng)(1)的特解 是漸近穩(wěn)定的, 如果: 是穩(wěn)定的, 并且:( ) tu( ) tulim( ;, )( )oottttxxu11( ;, )( )ootttxxu3二、運動的擾動方程二、運動的擾動方程引入(擾動)代入 (1):(3)系統(tǒng)(1)的特解(運動)的穩(wěn)定性 擾動方程(3)的零解的穩(wěn)定性( )( )( )tttyxu( )( )( ( )( ), )tttt tyuf yu( )( ( )( ), )( ( ), )ttt tt tyf yuf u( , ) tg y方程(3)稱為特解 的擾動方程

3、.( ) tu且( , ) t g 004定義：定義： 系統(tǒng)(1)的零解是 (Lyapunov意義)穩(wěn)定的, 如果:對任意的 和 , 存在 , 使得對所有的 , 只要 , 就有: .00 ,)trJ0tt0( , )0t0( , )otx( ;, )oot x tx系統(tǒng):(1)( , )txfx其中: ， 且: nx( , )tf005例: 剛體的自由轉動231232 3312313 1123121 2IImm mI IIImm mI IIImm mI I有平衡點:1000m擾動:11102233ymmymym擾動方程:231232 331231103 112311021 2()()IIyy

4、yI IIIyyymI IIIyymyI I65 Lyapunov 穩(wěn)定性概念的擴展穩(wěn)定性概念的擴展(1) 局部性質(2) 同步性質(3) 漸近性質(4) 初始擾動性質一、一、 Lyapunov 穩(wěn)定性概念的特點穩(wěn)定性概念的特點7(1) 關于局部性質關于局部性質例例: 系統(tǒng) 引入極坐標:221,tanyrxyx相圖: r a : 發(fā)散; r a : 收斂; r a : 發(fā)散; 原點: 不穩(wěn); r = a : 穩(wěn)定極限環(huán). 系統(tǒng)耗散.222222()()xyx xyayxy xya 22()1rr ar 12(2) 關于同步性質關于同步性質穩(wěn)定性定義中的同步性要求系統(tǒng)狀態(tài)在同一時刻充分接近.軌道

5、穩(wěn)定性軌道穩(wěn)定性(Poincar穩(wěn)定性穩(wěn)定性)例例: 單擺單擺單擺的零解穩(wěn)定. 其附近的周期解按Lyapunov意義不穩(wěn)定, 但 軌道穩(wěn)定(按Poincar意義穩(wěn)定).2sin013例例: 重物的自由落體運動或受初始擾動后, 其位置變量是不穩(wěn)定的, 但速度變量穩(wěn)定.關于部分變量穩(wěn)定或輸出穩(wěn)定.mzmg 122xxxg 通解:21201022012xgtxtxxgtx 14(2) (2) 關于不變流形的穩(wěn)定性關于不變流形的穩(wěn)定性( (輸出穩(wěn)定性輸出穩(wěn)定性) )(1) (1) 關于部分變元的穩(wěn)定性關于部分變元的穩(wěn)定性15(1) 關于部分變元的穩(wěn)定性關于部分變元的穩(wěn)定性系統(tǒng):(2)12(,)xx x

6、定義定義9: 系統(tǒng)(2)的零解關于部分變元 穩(wěn)定, 如果:對任意的 和 , 存在 , 使得對所有的 , 只要 , 就有: .00 ,)trJ0tt0( , )0t1x00( , )tx110200( ;, )ttxxx11122212( ,)( ,)ttxfx xxfx x其中: ,.k1xm2x16(2) 關于不變流形的穩(wěn)定性關于不變流形的穩(wěn)定性(輸出穩(wěn)定性輸出穩(wěn)定性)系統(tǒng):(3)問題問題: 輸出能否保持在某個特定的值輸出能否保持在某個特定的值 ？0y不失一般性, 設: .0ky0R( , )( )txfxyg x其中: , 是 的輸出.xmxky17記:定義定義10: 系統(tǒng)(3)的輸出 取

7、零是穩(wěn)定的, 如果:對任意的 和 , 存在 , 使得對所有的 , 只要 , 就有: .00 ,)trJ0tt0( , )0t( )yg x0( )Fx00( ;, )( )ttFxx或或: 系統(tǒng)(3)的輸出 取零是穩(wěn)定的, 如果:對任意的 和 , 存在 , 使得對任何滿足 的 , 在 時, 有: .00 ,)trJ0tt0( , )0t( )yg x0()g x0 x00( ( ;, )ttg xx1m( )( )Fx g xg00m( )( )Fxg x18(3) 關于漸近性質關于漸近性質 按解的存在惟一性定理, 擾動解只能趨近原點, 但無法到達原點. 漸近穩(wěn)定要求 , 但幾乎沒有系統(tǒng)能實際

8、維持到+.t 如果擾動解是在時間 t 相當大時才趨近原點, 則可能系統(tǒng)已經結束了, 實用意義不大. 按指數漸近穩(wěn)定按指數漸近穩(wěn)定的定義.19例例:通解:000200( ;, )12()zz t z tztt零解漸近穩(wěn)定但不按指數漸近穩(wěn)定.定義定義11: 系統(tǒng)(1)的零解是局部按指數漸近穩(wěn)定的, 如果:存在 和 , 使得對任何 , 和滿足 的 , 在 時, 有:0tt0,0M00 ,)trJ0 x0 x0000( ;, )exp()ttMttxxx3zz 20例例:通解:zz 0()000( ;, )t tz t z tz e零解漸近穩(wěn)定且按指數漸近穩(wěn)定.21(4) 關于初始擾動性質關于初始擾動

9、性質擾動是對初始狀態(tài)的擾動, 系統(tǒng)的微分方程不受擾動.考慮系統(tǒng):n( , ), , )ttxf xxI擾動系統(tǒng):n, , )tyI( , )( , )ttyf yg y定義定義12: 稱系統(tǒng) 的零解是持續(xù)(或經常)擾動下穩(wěn)定的，按現代說法叫Robust穩(wěn)定性穩(wěn)定性, 如果:對任意的 ，存在 和 ，當時，擾動系統(tǒng)的解 有估計式：( , ) txf x01( )0 2( )0102( , )( ),t g yy00( ;, )ttyy000( ;, ),ttttyy22 單擺的零解(垂直向下的平衡點)是Lyapunov穩(wěn)定的, 其附近的周期解是Lyapunov意義下不穩(wěn)定的。例：例：單擺單擺狀態(tài)變

10、量:12xx x12221sinxxxxx運動方程:能量積分:22212(1 cos)xxE2x1x1EE2EE23系統(tǒng)的運動微分方程或寫成:1( ,., )1,.,iinxf xx tin記: 為狀態(tài)變量, 系統(tǒng)的運動方程可以通過狀態(tài)變量表示成一階微分方程組:T1 ,.,nxxxn( , ), , )ttxf xxI設 關于所有的變量連續(xù), 且關于 x 滿足Lipschitz條件. ( , ) tf x二、其他的穩(wěn)定性定義二、其他的穩(wěn)定性定義241. 系統(tǒng)的有界性若對任意 , 存在 , 使得對滿足 的 ,有: , 則稱系統(tǒng)的解等度有界等度有界. 0( , )0ot 0 x0 x000( ;,

11、 )( , )ttt xx如果 與 無關: , 則稱系統(tǒng)的解一致有界一致有界.0( , )t 0t0( , )( )t 定義定義13: 若系統(tǒng)(1)的每一個解 有界, 即對任意 , 存在 , 使得:則稱系統(tǒng)的解是有界有界的, 也稱解是Lagrange穩(wěn)定穩(wěn)定的.( ;, )oottxx(, )0ootconstx( ;, )(, )ooootttxxxnox252. 系統(tǒng)的耗散性定義定義14: 若存在常數 , 使得對于系統(tǒng)的每一個解 ,都存在 , 使當 時, 有: , 則稱系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)耗散系統(tǒng), 也稱系統(tǒng)的解對界限對界限 B 畢竟有界畢竟有界.0B 00( ;, )ttxx00(, )0Tt

12、x000(, )ttTtx00( ;, )ttBxx若對任意 , 存在 , 使得對滿足 的 ,當 時, 有: , 則稱系統(tǒng)的解對界限對界限 B 畢竟等度有界畢竟等度有界. 00 x0 x0( , )0Tt00( , )ttTt00( ;, )ttBxx如果 與 無關: , 則稱系統(tǒng)為一致耗散系一致耗散系統(tǒng)統(tǒng), 也稱系統(tǒng)的解對界限對界限 B 畢竟一致有界畢竟一致有界.0t0( , )Tt0( , )( )TtT263. 系統(tǒng)的收斂性定義定義15: 稱系統(tǒng)(1)具有收斂性收斂性,如果:(1) 系統(tǒng)的所有解 在上有定義;(2) 存在唯一唯一的在上有定義的有界解 ;(3) 全局吸引, 即對每一個解 ,

13、 有:0tt (,) ( ) t( ) t00( ;, )ttxx00( ;, )ttxx00lim( ;, )( )0ttttxx274. 系統(tǒng)的魯棒系統(tǒng)的魯棒(Robust)穩(wěn)定性和有界性穩(wěn)定性和有界性考慮系統(tǒng):n( , ), , )ttxf xxI設 在有界區(qū)域內關于所有的變量連續(xù), 且關于 x 滿足Lipschitz條件. 另有 ( , ) tf x( , ) t f xxx0擾動系統(tǒng):n, , )tyI( , )( , )ttyf yg y其中 在有界區(qū)域內關于所有的變量連續(xù), 且關于 y 滿足Lipschitz條件. ( , ) tg y28定義定義12: 稱系統(tǒng) 的零解是持續(xù)(或

14、經常)擾動下穩(wěn)定的，按現代說法叫Robust穩(wěn)定性穩(wěn)定性, 如果:對任意的 ，存在 和 ，當時，擾動系統(tǒng)的解 有估計式：( , ) txf x01( )0 2( )0102( , )( ),t g yy00( ;, )ttyy000( ;, ),ttttyy同樣還可定義系統(tǒng)的解在持續(xù)擾動下的持續(xù)擾動下的Lagrange穩(wěn)定性穩(wěn)定性和持持續(xù)擾動下的耗散性續(xù)擾動下的耗散性。29持續(xù)擾動下的持續(xù)擾動下的Lagrange穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義定義16: 稱系統(tǒng) 的解是持續(xù)擾動下持續(xù)擾動下Lagrange穩(wěn)定穩(wěn)定的，或稱為解是完全有界的解是完全有界的, 如果:對任意的 ，存在 和 ，使當 時，有：且對滿足 的

15、 ，擾動系統(tǒng)的解 有估計式：( , ) txf x00( ;, )ttyy0( )0 ( )0ry( , )( )trg y000( ;, )( ),tttt yy0y0y306 穩(wěn)定性研究的定性方法穩(wěn)定性研究的定性方法 系統(tǒng)的分類系統(tǒng)的分類一、穩(wěn)定性研究的兩種方法一、穩(wěn)定性研究的兩種方法1. 對方程求解, 從運動微分方程的通解中 的趨勢, 判斷穩(wěn)定性;t 2. 不解微分方程, 直接由方程的形式判斷穩(wěn)定性.方法1僅對定常線性系統(tǒng)和少數可以積分的系統(tǒng)適用.方法2稱為Lyapunov直接方法, 適合于非線性系統(tǒng).例：單自由度系統(tǒng)的阻尼振動例：單自由度系統(tǒng)的阻尼振動st0 lxokmcc：粘阻系數v

16、Fcd0kxxcxm 運動微分方程設：mkmc20;20220 xxx 0考慮欠阻尼狀態(tài)：221,20i 特征值：方程的通解： -d-dddesin()esin()ecos()tttxAtxAtAt 22d0其中：A 和 由初條件確定， 1d000tanxxx22000dxxAx取初條件： 000:,ttxxxx則： 對應初條件的特解： -000d0-000d0dd0( ; ,)esin()( ; ,)esin()ecos()tttx t t x xAttx t t x xAttAtttxAetxAe 34-000d0-000d0dd0( ; ,)esin()( ; ,)esin()ecos()tttx t t x xAttx t t x xAttAtt解關于初值連續(xù)，且平衡點(漸近)穩(wěn)定。 1d000tanxxx22000dxxAx0220 xxx 對于方程如果0解的形式不變。 解關于初值連續(xù)，但平衡點不穩(wěn)定。 35二、系統(tǒng)的分類二、系統(tǒng)的分類分類法1: 非定常和定常(按方程的右端是否顯含時間 t ); 分類法2: 線性和非線性.定常線性系統(tǒng):定常非線性系統(tǒng):非定常線性系統(tǒng):非定常非線性系統(tǒng):ddtxAx( )ddtxf x( , )dtdtxfx( )( )dttdtxAxD36三、線性與非線性系統(tǒng)的基本特征三、線性與非線性系統(tǒng)的基本