立體幾何截圖和作圖

1、a1立體幾何專題立體幾何專題(1)多面體的截面多面體的截面多面體的截面多面體的截面在課本在課本P59例例3、P63B1處體現(xiàn)。處體現(xiàn)。a2一、定義及相關(guān)要素一、定義及相關(guān)要素用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)個(gè)幾何體的截面幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集此平面與幾何體表面的交集(交線交線)叫做叫做截線截線此平面與幾何體的棱的交集此平面與幾何體的棱的交集(交點(diǎn)交點(diǎn))叫做叫做截點(diǎn)截點(diǎn)二、作多面體截面二、作多面體截面1方法方法(交線法交線法)該作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多該作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)

2、截點(diǎn)即可連結(jié)成截線，從而求得截面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連結(jié)成截線，從而求得截面面2作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)有：有：(1)確定平面的條件確定平面的條件(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線過此點(diǎn)的一條直線(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(4)如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行這個(gè)平面

3、相交，那么這條直線就和交線平行(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行交線平行a3三、作圖題型三、作圖題型1截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)分別在多面體的棱上，且其中有截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)分別在多面體的棱上，且其中有兩點(diǎn)在同一個(gè)面的棱上兩點(diǎn)在同一個(gè)面的棱上作圖題作圖題1如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G分別分別在在AB、BC、DD1上，求作過上，求作過E、F、G三點(diǎn)的截面三點(diǎn)的截面作法：作法：(1)在底面在底面AC內(nèi)，過內(nèi)，過E、F作直線作直線EF分別與分別與DA、DC的的延長線交于延長線交于L、M(2)

4、在側(cè)面在側(cè)面A1D內(nèi)，連結(jié)內(nèi)，連結(jié)LG交交AA1于于K(3)在側(cè)面在側(cè)面D1C內(nèi)，連結(jié)內(nèi)，連結(jié)GM交交CC1于于H(4)連結(jié)連結(jié)KE、FH則五邊形則五邊形EFHFK即為所求的截面即為所求的截面a4作圖題作圖題2P、Q、R三點(diǎn)分別在直四棱柱三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱的棱BB1、CC1和和DD1上，試畫出過上，試畫出過P、Q、R三點(diǎn)的截面三點(diǎn)的截面作法：作法：(1)連接連接QP、QR并延長，分并延長，分別交別交CB、CD的延長線于的延長線于E、F.(2)連接連接EF交交AB于于，交，交AD于于S(3)連接連接RS、TP。則多邊形。則多邊形PQRST即為所求截面。即為所求截面。a5作圖題作圖題3已

5、知已知P、Q、R分別是四棱柱分別是四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱的棱CD、DD1和和AA1上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且QR與與AD不平行，求作過這三點(diǎn)的截面。不平行，求作過這三點(diǎn)的截面。作法：作法：(1)連接連接QP并延長交并延長交DA延長線于點(diǎn)延長線于點(diǎn)I。(2)在平面在平面ABCD內(nèi)連接內(nèi)連接PI交交AB于點(diǎn)于點(diǎn)M。(3)連接連接QP、RM。則四邊形。則四邊形PQRM即為所求。即為所求。a6作圖題作圖題4如圖，五棱錐如圖，五棱錐PABCDE中，三條側(cè)棱上各有一已知中，三條側(cè)棱上各有一已知點(diǎn)點(diǎn)F、G、H，求作過，求作過F、G、H的截面的截面作法：作法：(1)將側(cè)面將側(cè)面PAB、PBC、PDE伸展

6、得到三棱錐伸展得到三棱錐PBST(2)在側(cè)面在側(cè)面PBS內(nèi)，連結(jié)并延長內(nèi)，連結(jié)并延長GF，交，交PS于于K(3)在側(cè)面在側(cè)面PBT內(nèi)，連結(jié)并延長內(nèi)，連結(jié)并延長GH交交PT于于L(4)在側(cè)面在側(cè)面PST內(nèi)，連結(jié)內(nèi)，連結(jié)KL分別交分別交PD、PE于于M、N(5)連結(jié)連結(jié)FN、MH則五邊形則五邊形FGHMN即為所求的截面即為所求的截面a72截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)至少有一點(diǎn)在多面體的面上，其余截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)至少有一點(diǎn)在多面體的面上，其余點(diǎn)在棱上點(diǎn)在棱上作圖題作圖題5如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F在兩條棱上，在兩條棱上，G在底面在底面A1C1內(nèi)，求過內(nèi)，求過E、F、G

7、的截面的截面作法：作法：(1)過過E、F作輔助面。在面作輔助面。在面BC1內(nèi)，過內(nèi)，過F作作FF1BB1，交，交B1C1于點(diǎn)于點(diǎn)F1，則面，則面AFF1A1為所作的輔助面為所作的輔助面(2)在面在面AFF1A1內(nèi)，延長內(nèi)，延長F1A1交交FE的延長線于的延長線于P(3)在面在面A1B1C1D1內(nèi)，連接內(nèi)，連接PG交交A1B1于于M并延長交并延長交B1C1于于M。(4)連結(jié)連結(jié)ME并延長與并延長與BA延長線交于延長線交于Q，連接，連接QF交交AD于于H(5)連結(jié)連結(jié)EH，F(xiàn)N則五邊形則五邊形EHFNM為所求的截面為所求的截面a8作圖題作圖題6已知直四棱柱已知直四棱柱AC1，P在面在面D1DCC1

8、內(nèi)，內(nèi)，Q在面在面A1ADD1內(nèi)，內(nèi)，R在棱在棱BB1上，畫出過上，畫出過P、Q、R三點(diǎn)的截面。三點(diǎn)的截面。a9作法：作法：(1)過過P作作PP CD于點(diǎn)于點(diǎn)P ，過，過Q作作Q Q AD于于Q 。(2)在底面在底面ABCD內(nèi)連接內(nèi)連接AP 、BQ ，并交于，并交于H。(3)由平行線由平行線QQ 、RB作平面作平面QQ BR，連接，連接QR。(4)在平面在平面QQ BR內(nèi)過內(nèi)過H作作KH面面ABCD交交QR于于K。(5)由平行線由平行線PP 、AA1作平面作平面PP AA1，則，則K必落在面必落在面PP AA1內(nèi)。內(nèi)。(6)在面在面PP AA1內(nèi)，連接內(nèi)，連接PK，并延長交，并延長交AA1于于

9、M。(7)在面在面A1ADD1內(nèi)，連接內(nèi)，連接MQ，并延長交，并延長交DD1于于S。(8)在面在面D1DCC1內(nèi)，連接內(nèi)，連接SP，并延長交，并延長交CC1于于T。(9)連接連接RT、RM。則多邊形。則多邊形SMRT即為所求。即為所求。a103截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)中，有兩個(gè)點(diǎn)在同一棱上，第三點(diǎn)在截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)中，有兩個(gè)點(diǎn)在同一棱上，第三點(diǎn)在多面體內(nèi)多面體內(nèi)作圖題作圖題7試畫出過正三棱柱試畫出過正三棱柱ABCA1B1C1的底邊的底邊BC及兩底中心及兩底中心連線連線OO1中點(diǎn)的截面。中點(diǎn)的截面。作法：作法：(1)過過A1A和和OO1作平面作平面AOO1A1，交，交BC于于D，交，交B1C1于

10、于D1，則則D、D1分別為分別為BC、B1C1的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。(2)在平面在平面A1AM內(nèi)，作直線內(nèi)，作直線DM交上底面交上底面A1B1C1于點(diǎn)于點(diǎn)G。(3)在平面在平面A1B1C1內(nèi)，過內(nèi)，過G作作EFB1C1交交A1B1于于E，交，交A1C1于于F。(4)連接連接BE，CF。則多邊形。則多邊形BCFE為所求。為所求。a11作圖題作圖題8在側(cè)棱和高的夾角為在側(cè)棱和高的夾角為的正四棱錐中，求作一個(gè)過底面的正四棱錐中，求作一個(gè)過底面頂點(diǎn)且與這點(diǎn)所對(duì)側(cè)棱垂直的截面頂點(diǎn)且與這點(diǎn)所對(duì)側(cè)棱垂直的截面(45)。作法：作法：(1)在平面在平面SAC中，作中，作AESC于點(diǎn)于點(diǎn)E。(2)在底面在底面ABCD內(nèi)

11、過內(nèi)過A作作aBD。(3)延長延長CB、CD分別交分別交a于點(diǎn)于點(diǎn)M、N。(4)連接連接EM、EN，分別交，分別交SB、SD于點(diǎn)于點(diǎn)G、H。(5)連接連接AG、AH。則多邊形。則多邊形AGEH即為所求。即為所求。a124截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)兩兩不在同一面內(nèi)的棱截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)兩兩不在同一面內(nèi)的棱上上作圖題作圖題9P、Q、R三點(diǎn)分別在直四棱柱三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱的棱CC1、A1D1和和AB上，試畫出過上，試畫出過P、Q、R三點(diǎn)的截面三點(diǎn)的截面a13作法：作法：(1)先過先過R、P兩點(diǎn)作輔助平面。過點(diǎn)兩點(diǎn)作輔助平面。過點(diǎn)R作作R1RBB1交交A1B1于于R1，則面，則面CRR1C1為所

12、作的輔助平面。為所作的輔助平面。(2)在面在面CRR1C1內(nèi)延長內(nèi)延長R1C1，交，交RP的延長線于的延長線于M。(3)在面在面A1B1C1D1內(nèi)，連接內(nèi)，連接MQ，交，交C1D1于點(diǎn)于點(diǎn)S，延長，延長MQ交交B1A1的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)T。(4)連接連接TR，交，交AA1于點(diǎn)于點(diǎn)N，延長，延長TR交交B1B于點(diǎn)于點(diǎn)K，再連接，再連接KP交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)L。(5)連接連接RL、PS、QN。則多邊形則多邊形QNRLPS為所求。為所求。a14注：若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得注：若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。到截面與多面體的一個(gè)

13、面的截線。若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn)。定的點(diǎn)。若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn)。與截面的交點(diǎn)。若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交線，另一個(gè)面上只有一若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交線，另一個(gè)面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互個(gè)已知點(diǎn)，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。相平行的性質(zhì)，可得截面與平面的交線。若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱若

14、有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題；若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化上的點(diǎn)的問題；若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題來解決。為面上的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題來解決。a15立體幾何專題立體幾何專題(2) 空間圖形的作圖空間圖形的作圖空間圖形的作圖空間圖形的作圖在課本在課本P51A1、P62A4、 P78A1&2處體現(xiàn)。處體現(xiàn)。a16一、空間幾何作圖的規(guī)則一、空間幾何作圖的規(guī)則：1通過不共線的三點(diǎn)作一平面通過不共線的三點(diǎn)作一平面2求兩個(gè)可作相交平面的交線求兩個(gè)可作相交平面的交線3在一個(gè)可作平面內(nèi)，支持用直尺和圓規(guī)

15、按照平面幾何解決一在一個(gè)可作平面內(nèi)，支持用直尺和圓規(guī)按照平面幾何解決一切作圖題切作圖題4任意取一點(diǎn)，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一點(diǎn)，在或不在已知直線上，在或不在已知平面上；任意取一直線，通過或不通過一已知點(diǎn)，在或不在已知平面內(nèi)；任意取一直線，通過或不通過一已知點(diǎn)，在或不在已知平面內(nèi)；任意取一平面，通過或不通過一已知點(diǎn)，通過或不通過一已知任意取一平面，通過或不通過一已知點(diǎn)，通過或不通過一已知直線直線5求已知球心及半徑的球面求已知球心及半徑的球面二、解作圖問題的步驟二、解作圖問題的步驟：1分析：假設(shè)求作的圖形已經(jīng)作出了研究已知條件和未知條分析：假設(shè)求作的圖形已經(jīng)作出了研究已知條

16、件和未知條件間有何可以溝通的關(guān)系或中間條件，從而發(fā)現(xiàn)如何從已知條件間有何可以溝通的關(guān)系或中間條件，從而發(fā)現(xiàn)如何從已知條件通過中間條件的媒介達(dá)到未知條件件通過中間條件的媒介達(dá)到未知條件2作法：從分析的結(jié)果，寫作法：從分析的結(jié)果，寫(說說)出每一個(gè)作圖過程出每一個(gè)作圖過程3證明：證明所作圖形確實(shí)滿足所設(shè)條件證明：證明所作圖形確實(shí)滿足所設(shè)條件4討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當(dāng)解討論：研究在怎樣的條件下，解答存在或不存在，以及當(dāng)解答存在時(shí)解的個(gè)數(shù)有多少答存在時(shí)解的個(gè)數(shù)有多少a17三、簡(jiǎn)單作圖題三、簡(jiǎn)單作圖題作圖題作圖題1求作一平面使其滿足下列條件之一：求作一平面使其滿足下列條件之一：

17、1通過一已知直線及其外一已知點(diǎn)；通過一已知直線及其外一已知點(diǎn)；2通過兩已知通過兩已知相交相交直線；直線；3通過兩已知平行直線通過兩已知平行直線作圖題作圖題2求已知直線和已知平面的交點(diǎn)求已知直線和已知平面的交點(diǎn)作圖題作圖題3求三已知平面的交點(diǎn)求三已知平面的交點(diǎn)作圖題作圖題4通過已知直線外一已知點(diǎn)，求作一直線使與該直線平行通過已知直線外一已知點(diǎn)，求作一直線使與該直線平行.a18a19作圖題作圖題5(P624)給定兩條異面直線，求作一平面通過其中一線給定兩條異面直線，求作一平面通過其中一線而平行于另一線而平行于另一線命題：過兩異面直線中一個(gè)有且只有一平面與另一直線平行。命題：過兩異面直線中一個(gè)有且只

18、有一平面與另一直線平行。證明：證明存在性。證明：證明存在性。設(shè)直線設(shè)直線a、b異面。在異面。在a上任選取一點(diǎn)上任選取一點(diǎn)A，過，過A作作b b。相交直線。相交直線a和和b 確定一平面確定一平面，則，則b。證明唯一性。證明唯一性。設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A和直線和直線b確定平面確定平面，則，則b ，Ab 。假設(shè)過。假設(shè)過a還存在平還存在平面面b，則必有，則必有與與相交。設(shè)相交。設(shè)b ，則，則b b，Ab 。b b 與與Ab 且且Ab 相矛盾。故相矛盾。故是唯一的。是唯一的。作圖題作圖題5解答唯一存在。解答唯一存在。作法：作法：在直線在直線a 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)A，過，過直線直線b與線外一點(diǎn)與線外一點(diǎn)A作平面作

19、平面M，在平，在平面面M內(nèi)作直線內(nèi)作直線cb，過相交直線，過相交直線a與與c作平面作平面N則平面則平面N即為所求即為所求a20作圖題作圖題6給定兩條異面直線，過其一直線各作一平面使兩平面給定兩條異面直線，過其一直線各作一平面使兩平面互相平行互相平行命題命題(P632)：a、b是異面直線，是異面直線，a ，a，b ，b存存在唯一一對(duì)在唯一一對(duì)、使使。證明：證明：a、b異面，異面，a ，b，由作圖題，由作圖題5的命題知，這樣的的命題知，這樣的面面有且只有一個(gè)。要確定它，只需在有且只有一個(gè)。要確定它，只需在a上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)A作直線作直線b b，則，則a和和b 就確定了就確定了。同理，滿足條件的

20、同理，滿足條件的也有且只有一個(gè)。要確定它，只需在也有且只有一個(gè)。要確定它，只需在b上任上任取一點(diǎn)取一點(diǎn)B作直線作直線a a，則，則b和和a 就確定了就確定了。綜上知綜上知、存在且唯一。存在且唯一。又又a a，b b，a、b，b、a，。作圖題作圖題6解答唯一存在。解答唯一存在。a21作圖題作圖題7過給定平面外一點(diǎn)求作一平面，使平行于該平面過給定平面外一點(diǎn)求作一平面，使平行于該平面命題：過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與該平面平行。命題：過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與該平面平行。證明：設(shè)證明：設(shè)A是面是面外一點(diǎn)。在外一點(diǎn)。在內(nèi)任取兩相交直線內(nèi)任取兩相交直線a、b，過，過A作作a a，b b，兩相交

21、直線，兩相交直線a 、b 確定面確定面 。 。存在性證。存在性證明了。明了。假設(shè)過假設(shè)過A還存在還存在，則，則a，b。設(shè)過。設(shè)過A和和a的平面為的平面為，則，則與與必相交。設(shè)必相交。設(shè)a ，則，則aa ，a a ，這與，這與Aa 且且Aa 矛盾。故矛盾。故 是唯一的。唯一性也證明了。是唯一的。唯一性也證明了。作圖題作圖題7解答唯一存在。解答唯一存在。a22作圖題作圖題8給定兩直線給定兩直線a、b及一點(diǎn)及一點(diǎn)A，求作一平面使通過，求作一平面使通過A并平行并平行于于a和和b解：解：1若若a、b異面，且異面，且A不在通過其中過一線而平行于另一線不在通過其中過一線而平行于另一線的平面內(nèi)，則問題有唯一解

22、答。的平面內(nèi)，則問題有唯一解答。2若若a、b相交，且相交，且A不在不在a、b所確定的平面內(nèi)，則問題有唯一所確定的平面內(nèi)，則問題有唯一解答。解答。3若若a、b平行，且平行，且A既不在既不在a上又不在上又不在b上，則問題不定，即有上，則問題不定，即有無窮多個(gè)解答。無窮多個(gè)解答。4其它情形下，問題無解。其它情形下，問題無解。作法：在作法：在a和和A確定的平面內(nèi)過確定的平面內(nèi)過A作作a a，在，在b和和A確定的平面內(nèi)確定的平面內(nèi)過過A作作b b。由。由a 和和b 確定的平面確定的平面即為所求。即為所求。a23作圖題作圖題9求作一直線求作一直線l使與兩直線使與兩直線a、b相交，并通過此兩直線以相交，并通

23、過此兩直線以外的一已知點(diǎn)外的一已知點(diǎn)M解：解：若若a、b共面于共面于1當(dāng)當(dāng)M時(shí)，有無窮多個(gè)解答時(shí)，有無窮多個(gè)解答2當(dāng)當(dāng)M 且且a、b相交時(shí)，有唯一解答。相交時(shí)，有唯一解答。3當(dāng)當(dāng)M 且且ab時(shí)，沒有解答。時(shí)，沒有解答。若若a、b異面異面1當(dāng)當(dāng)M在過在過a而平行于而平行于b的平面的平面內(nèi)或在過內(nèi)或在過b而平行于而平行于a的平面的平面內(nèi)內(nèi)時(shí)，沒有解答。時(shí)，沒有解答。2當(dāng)當(dāng)M既不在過既不在過a而平行于而平行于b的平面的平面內(nèi)又不在過內(nèi)又不在過b而平行于而平行于a的平的平面面內(nèi)時(shí)，有唯一解答。內(nèi)時(shí)，有唯一解答。a24作圖題作圖題10給定兩條異面直線給定兩條異面直線a和和b，求作一直線，求作一直線l使與

24、使與a、b相交，相交，并與第三直線并與第三直線c平行平行解：解：若若c、a相交且確定平面相交且確定平面1當(dāng)當(dāng)b時(shí)，無解。時(shí)，無解。2當(dāng)當(dāng)與與b相交時(shí)，有一解。解為過相交時(shí)，有一解。解為過b與與的交點(diǎn)的交點(diǎn)A作作c的平行線。的平行線。若若c、a異面。設(shè)過異面。設(shè)過a且平行于且平行于c的平面為的平面為。1當(dāng)當(dāng)b時(shí)，無解。時(shí)，無解。2當(dāng)當(dāng)與與b相交時(shí)，有一解。解為過相交時(shí)，有一解。解為過b與與的交點(diǎn)的交點(diǎn)B作作c的平行線。的平行線。綜上知，當(dāng)綜上知，當(dāng)a、b、c平行于同一平面時(shí)，無解；其它情況下，只平行于同一平面時(shí)，無解；其它情況下，只有一解。有一解。a25作圖題作圖題11給定一平面及一斜線，求作在

25、平面上通過斜足作一直給定一平面及一斜線，求作在平面上通過斜足作一直線，使與斜線成已知銳角線，使與斜線成已知銳角a26作圖題作圖題12通過一定直線求作一平面，使與平面成定角通過一定直線求作一平面，使與平面成定角a27a28作圖題作圖題13給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。給定兩條異面直線，求作一直線和它們垂直相交。解：過解：過b任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)M作作a a，作過，作過b和和a 的平的平面面。過過a作面作面交交于于a0，則則a0與與b必相交必相交(反證法反證法)。設(shè)設(shè)a0bB。在。在內(nèi)過內(nèi)過B作作BAa0交交a于于A。故直線故直線AB即為所求。即為所求。a29立體幾何專題立體幾何專題求求

26、空間空間角的基本方法角的基本方法a301異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式已知夾角為已知夾角為的兩異面直線的兩異面直線a、b的公垂線段為的公垂線段為AA ( A a，Ab)，E、F分別為分別為a、b上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且|AA |d，|A E|m，|AF|n，則，則_ 幾個(gè)常用公式幾個(gè)常用公式解：設(shè)經(jīng)過解：設(shè)經(jīng)過b與與a平行的平面為平行的平面為，經(jīng)過經(jīng)過a和和AA 的平面為的平面為，c，則則ca因而因而b、c所成角等于所成角等于，且且AA c又又AA b，AA 又又AA，在在內(nèi)作內(nèi)作EGc于于G，則，則EGAA ，EG連接連接FG，則，則EGFGa31注：還可用向量法注：還可用

27、向量法a32應(yīng)用示例應(yīng)用示例a33選選A變式：將題中變式：將題中“正方形沿對(duì)角線正方形沿對(duì)角線BD折成直二面角折成直二面角ABDC”改為改為“正方形沿對(duì)角線正方形沿對(duì)角線BD折成折成60二面角二面角ABDC”，其它不變，又如何？其它不變，又如何？a342三余弦三余弦公式公式已知已知AO是平面是平面的斜線，的斜線，為斜足，為斜足，OB于于B，則，則AB是是AO在在內(nèi)的射影設(shè)內(nèi)的射影設(shè)AC是是內(nèi)的任一條直線，且內(nèi)的任一條直線，且BCAC于于C設(shè)設(shè)AO與與AB所成所成角為角為1，AB與與AC所成所成角為角為2，AO與與AC所成所成角為角為 則則_ coscos1cos2a35應(yīng)用示例應(yīng)用示例a36選

28、選Ca373射影面積射影面積公式公式已知二面角已知二面角 l 的面的面 內(nèi)的平面圖形內(nèi)的平面圖形的面積為的面積為S，在面在面 內(nèi)的內(nèi)的射影圖形射影圖形 的面積為的面積為S ，二面角，二面角 l 的大小為的大小為 ，則，則_。下面以下面以進(jìn)行說明。進(jìn)行說明。a38一、基本方法一、基本方法1直接法：直接法：先作出平面角，再求其大小先作出平面角，再求其大小2間接法間接法(公式法公式法)：異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式已知夾角為已知夾角為的兩異面直線的兩異面直線a、b的公垂線段為的公垂線段為AA ( Aa，A b)，E、F分別為分別為a、b上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且|AA |d，|AE

29、|m，|A F|n，則，則_ 射影面積法射影面積法已知二面角已知二面角 l 的面的面 內(nèi)的平面圖形內(nèi)的平面圖形的面積為的面積為S，在面在面 內(nèi)的內(nèi)的射影圖形射影圖形 的面積為的面積為S ，二面角，二面角 l 的大小為的大小為 ，則，則_。向量法向量法求二面角的基本方法求二面角的基本方法a39示例示例如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐ABCD中，中，AB面面BCD，BDCD。(1)求證：面求證：面ABD面面ACD；(2)若若ABBC2BD，求二面角，求二面角BACD的正切值。的正切值。(1)證明：證明：AB面面BCD，ABCD。又又BDCD，ABBDD，CD面面ABD。又又CD 面面ACD，面面ABD

30、面面ACD。a40a41二面角的平面角作二面角的平面角作法法二二：作作DEBC于于E，DFAC于于F，連接連接EFAB面面BCD，面面ABC面面BCD，DE面面ABCDEACAC面面EFACEF則則DFE是二面角是二面角BACD的平面角。的平面角。說明說明：若在討論二面角大小時(shí)，存在若在討論二面角大小時(shí)，存在與二面角的一個(gè)面垂直而與與二面角的一個(gè)面垂直而與二面角的另一個(gè)面相交的二面角的另一個(gè)面相交的平面平面，常先該平面內(nèi)作出兩垂面交線的常先該平面內(nèi)作出兩垂面交線的垂線，然后構(gòu)造出二面角的平面角垂線，然后構(gòu)造出二面角的平面角。a42a43a44射影作射影作法法二二：作作DEBC于于E，連接連接A

31、EAB面面BCD，面面ABC面面BCD，DE面面ABCADC在在面面ABC內(nèi)的射影為內(nèi)的射影為AEC二、作二、作(找找)二面角的平面角的基本方法二面角的平面角的基本方法1定義法定義法2三垂線法三垂線法3垂面法垂面法4轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法a451定義法定義法示例示例1 在在60的二面角的二面角a的兩個(gè)面內(nèi)，分別有的兩個(gè)面內(nèi)，分別有A和和B兩兩點(diǎn)已知點(diǎn)已知A和和B到棱的距離分別為到棱的距離分別為2和和4，且線段，且線段AB10，試求：，試求：(1)直線直線AB與棱與棱a所構(gòu)成的角的正弦值；所構(gòu)成的角的正弦值；(2)直線直線AB與平面與平面所構(gòu)成的角的正弦值所構(gòu)成的角的正弦值解析：在平面解析：在平面內(nèi)作內(nèi)作

32、ADa；在平面在平面內(nèi)作內(nèi)作BEa，CD EB，連結(jié)連結(jié)BC、AC則則BC DE，CDa，ABC是是AB與與a所成角，則由二面角所成角，則由二面角的平面角的定義，可知的平面角的定義，可知ADC為二面角為二面角a的平面角，即的平面角，即ADC60a46a47a48示例示例2如圖，四棱錐如圖，四棱錐ABCED中，中，DB和和EC與面與面ABC垂直，垂直，ABC為正三角形為正三角形(1)若若BCECBD時(shí)，求面時(shí)，求面ADE與面與面ABC的夾角；的夾角；(2)若若BCEC2BD時(shí)，求面時(shí)，求面ADE 與面與面ABC的夾角的夾角分析：如圖，面分析：如圖，面ADE與面與面ABC的交線蛻化的交線蛻化成一點(diǎn)

33、，但面成一點(diǎn)，但面ADE與面與面ABC與面與面DC相相交如果三個(gè)平面兩兩相交，它們可能有三交如果三個(gè)平面兩兩相交，它們可能有三種情況：種情況：(1)交線為一點(diǎn)；交線為一點(diǎn)；(2)一條交線；一條交線；(3)三條交線互相平行在圖三條交線互相平行在圖1中，兩條交線中，兩條交線BC與與DE互相平行，所以肯定有過互相平行，所以肯定有過A且平行于且平行于DE的一條交線如圖的一條交線如圖2，DE與與BC不平行且不平行且相交根據(jù)三個(gè)平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三相交根據(jù)三個(gè)平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這三個(gè)面的交線為一點(diǎn)種情況，這三個(gè)面的交線為一點(diǎn)a49解：解：CE面面ABC，BD面面ABC，CEBD。(1)C

34、EBD，BC DE。過。過A作作AMDE，平面平面ADE與平面與平面ABC的交線即為的交線即為AM過過A作作ANDE于于N，過，過A作作AFBC于于FANAM，AFAM，則則NAF為面為面ADE與面與面ABC的夾角的平面角的夾角的平面角a50(2)EC2BD，延長，延長ED、CB相交于相交于G點(diǎn)，連結(jié)點(diǎn)，連結(jié)AGAG即為平面即為平面ADE與平面與平面ABC的交線，的交線，點(diǎn)點(diǎn)B為為GC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。在在AGC中，中，ABACBCBG，ACAG。又又CE面面ABC，CEAC，CEAG，即證即證CAE為平面為平面ADE與平面與平面ABC的的夾角的平面角夾角的平面角在在RtANF中，中，ACCE，

35、CAE45。a51示例示例3如圖，空間四邊形如圖，空間四邊形ABCD中，中，ABAD3，BCCD4，BD2，AC5試求試求ABDC二面角的余弦值二面角的余弦值說明：利用正說明：利用正和等腰和等腰中的三線合一中的三線合一找垂直關(guān)系找垂直關(guān)系。a52示例示例4.如圖，已知空間四邊形如圖，已知空間四邊形ABCD，ABBC6， ADCD4，BD8，AC5試求試求ABDC的余弦值的余弦值說明：利用說明：利用全等全等找垂直關(guān)系找垂直關(guān)系。a532三垂線法作三垂線法作(找找)出二面角的平面角出二面角的平面角示例示例1如圖，在平面如圖，在平面內(nèi)有一條直線內(nèi)有一條直線AC與平面與平面成成30，AC與棱與棱BD成

36、成45，求平面求平面與平面與平面的二面角的大小的二面角的大小解：過解：過A作作AFBD于于F，AE平面平面于于E，連結(jié)連結(jié)CE、EF，則，則ACE是是AC與與所成角，所成角，AEBD，BD面面AEF，BDEF，則則AFE為二面角的平面角為二面角的平面角a54說明：說明：(1)如果兩個(gè)平面相交，有過一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個(gè)平面如果兩個(gè)平面相交，有過一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的垂線，可過這一點(diǎn)向棱作垂線，連結(jié)兩個(gè)垂足應(yīng)用垂直的垂線，可過這一點(diǎn)向棱作垂線，連結(jié)兩個(gè)垂足應(yīng)用三垂線定理可證明兩個(gè)垂足的連線與棱垂直，那么就可以找三垂線定理可證明兩個(gè)垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角到二

37、面角的平面角(2)在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時(shí)，注意在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時(shí)，注意“作作”、“連連”、“證證”a55示例示例2如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M為棱為棱AD的中點(diǎn)，求平面的中點(diǎn)，求平面B1C1CB和平面和平面BC1M所構(gòu)成的銳二面角的正切所構(gòu)成的銳二面角的正切解析：平面解析：平面AC與二面角與二面角MBC1C的的一個(gè)面一個(gè)面B1C垂直，與另一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面 MBC1相交，相交，過過M點(diǎn)作點(diǎn)作MPBC于于P，面面AC面面B1C，MP面面B1C，MPBC1，過過P作作PNBC1于于N，連結(jié)，連結(jié)MN，BC1面面MNP，MNBC1，則則MNP為二面角為二面角MBC1C 的平面角的平面角a56說明：當(dāng)一個(gè)平面與二面角的一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)說明：當(dāng)一個(gè)平面與二面角的一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面相交時(shí)，往往過這個(gè)面上的一點(diǎn)作這兩個(gè)垂直平面平面相交時(shí)，往往過這個(gè)面上的一點(diǎn)作這兩個(gè)垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角定理即可證明，并找出二面角的平面角a573垂面法