【中考沖刺】垂徑定理的應(yīng)用要點(diǎn)

1、優(yōu)網(wǎng)菁優(yōu)網(wǎng)【中考沖刺】垂徑定理的應(yīng)用一、選擇題（共5小題）1. （2011?大慶）如圖所示，某賓館大廳要鋪圓環(huán)形的地毯，工人師傅只測量了與小圓相切的大圓的弦AB的長,就計(jì)算出了圓環(huán)的面積，若測量得AB的長為20米，則圓環(huán)的面積為（）?2010-2013 菁優(yōu)網(wǎng)B. 10兀平方米C. 100平方米D. 100兀平方米2. （2011?南充）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油.截面如圖，油面寬升1分米，油面寬變?yōu)?8分米，圓柱形油槽直徑 MN為（AB為6分米，如果再注入一些油后，油面 AB上 ）B. 8分米C. 10分米D. 12分米3. （2008?黔南州）如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分

2、，如果水面AB寬為8cm,水面最深地方的高度為2cm,則該輸水管的半徑為（）A . 3cm4. （2011?防城港）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長為店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個(gè)鏡面的半徑是（）1）的一塊碎片到玻璃D. 35. （2011?紹興）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑OB=10,截面圓圓心 O到水面的距離 OC是6,則水面寬AB是（）A. 16B. 10C. 8D. 6二、填空題（共11小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）6. （2012?東營）某施工工地安放了一個(gè)圓柱形飲水桶的木制支架（如圖 1）,若不計(jì)木條的厚度，其俯視

3、圖如圖2所示，已知 AD垂直平分BC, AD=BC=48cm ,則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 cm.（圖1）（圖2）7.如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面AB寬為2m,凈高CD為5m,則圓拱形門所在圓的半徑為8. （2012?臺(tái)州）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16厘米，則球的9. （2011?梅州）如圖，在以 。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn) C,若AB的長為8cm,則圖中陰影部分的面積為 cm2.10. （2012?衢州）工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm

4、 ,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長度為 mm.X、O VJ12. （2006?大興安嶺）如圖，一塊破殘的輪片上，點(diǎn)O是這塊輪片的圓心，垂足為D, CD=20mm ,則原輪片的半徑是 mm.C a / % 0*AB=120mm , C 是 AB上的一點(diǎn)，OCAB ,11. （2010?陜西）如圖是一條水鋪設(shè)的直徑為2米的通水管道橫截面，其水面寬 1.6米，則這條管道中此時(shí)最深為13. （2006?黑龍江）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（圖中的D, CD=20m,則這段彎路的半徑為AB）,點(diǎn)。是這段弧的圓心，AB=120m , C是m.14. （2006?衡陽）如圖，水平放置的一個(gè)油管的截

5、面半徑為13cm,其中有油部分油面寬 AB為24cm,則截面上有油部分油面高CD為cm.0BD15. （2004?宜昌）如圖，CD所在的直線垂直平分線段AB,到圓形工件的圓心.利用這樣的工具，最少使用次就可以找D其中16. （2006?伊春）如圖是一單位擬建的大門示意圖，上部是一段直徑為10米的圓弧形，下部是矩形 ABCD ,AB=3.7米，BC=6米，則弧AD的中點(diǎn)到BC的距離是 米.【中考沖刺】垂徑定理的應(yīng)用參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題）1. （2011?大慶）如圖所示，某賓館大廳要鋪圓環(huán)形的地毯，工人師傅只測量了與小圓相切的大圓的弦AB的長,就計(jì)算出了圓環(huán)的面積，若測量得AB的

6、長為20米，則圓環(huán)的面積為（）A. 10平方米B. 10兀平方米C. 100平方米D. 100兀平方米考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理；切線的性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析： 過。作OCLAB于C,連OA,根據(jù)垂徑定理得到 AC=BC=10 ,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到 AB為小圓的切線, 于是有圓環(huán)的面積 =tiQA2-兀QC2/ （OA2-OC2） =tiKC2,即可圓環(huán)的面積.解答： 解：過。作OCLAB于C,連OA,如圖，AC=BC ,而 AB=20 ,AC=10 ,. AB與小圓相切， OC為小圓的半徑， 2_ _ 2.圓環(huán)的面積=ttOA ttQC=兀（OA2 OC2） 2=ttKC =100兀

7、（平萬米）.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了切線的性質(zhì)定理以及勾股定理.升1分米，油面竟艾為 8分米，圓柱形油槽直徑 MN o1JVVJA. 6分米B. 8分米4為（）C. 10分米D. 12分米2. （2011?南充）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油.截面如圖，油面寬 AB為6分米，如果再注入一些油后，油面 AB上考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用.分析:如圖，油面 AB上升1分米得到油面 CD,依題意得 AB=6 , CD=8,過。點(diǎn)作AB的垂線，垂足為""E,交CD于F點(diǎn)，連接OA , OC,由垂徑定理，得AE=AB=3 , CF=CD=

8、4 ,設(shè)OE=x ,則OF=x T ,在RtAOAE22中，OA2=AE2+OE2,在RtOCF中，OC2=CF2+OF2,由OA=OC ,列方程求x即可求半徑 OA ,得出直徑MN .解答：解：如圖，依題意得 AB=6 , CD=8,過。點(diǎn)作AB的垂線，垂足為 E,交CD于F點(diǎn)，連接OA, OC,由垂徑定理，得 AE=1AB=3 , CF=1CD=4,22設(shè) OE=x ,則 OF=x - 1 ,在 RtAOAE 中，OA2=AE2+OE2,在 RtAOCF 中，OC2=cf2+of2,OA=OC ,32+x2=42+ （x - 1 ） 2,解得x=4 ,半徑0A=檸+產(chǎn),. .直徑 MN=2

9、OA=10 分米.點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理的運(yùn)用.關(guān)鍵是利用垂徑定理得出兩個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理表示半徑的平方, 根據(jù)半徑相等列方程求解.3. （2008?黔南州）如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，方的高度為2cm,則該輸水管的半徑為（）OA . 3cmB. 4cm陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm,水面最深地C. 5cmD . 6cm考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：探究型.分析： 過點(diǎn)O作ODLAB于點(diǎn)D,連接OA,由垂徑定理可知 AD=AB,設(shè)OA=r,則OD=r - 2,在RtAAOD2中，利用勾股定理即可求 r的值.解答： 解：如圖所示：過點(diǎn) O作ODLAB于點(diǎn)D,連接

10、OA, ODXAB ,AD= AB= >8=4cm2設(shè)OA=r ,則 在 RtAAOD 解得r=5cm .2OD=r 2中，OA2=OD2+AD2,即 r2= (r-2) 2+42,故選C.點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.4. （2011?防城港）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個(gè)鏡面的半徑是（）C. 2aD. 3考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：網(wǎng)格型.分析：在網(wǎng)格中找點(diǎn) A、B、D （如圖），作AB, BD的中垂線，交點(diǎn)

11、 。就是圓心，故 OA即為此圓的半徑，根據(jù) 勾股定理求出 OA的長即可.解答：解：如圖所示，作 AB , BD的中垂線，交點(diǎn)。就是圓心.連接OA、OB, OCXAB , OA=OBO即為此圓形鏡子的圓心，AC=1 , OC=2,OA= 7aC2 + OC2=V12 + 22=-故選B.1-11 i-A.j 1*<D0：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.5. （2011?紹興）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑OB=10,截面圓圓心 O到水面的距離 OC是6,則水面寬AB是（）cA. 16B. 10C. 8D. 6考點(diǎn)：垂

12、徑定理的應(yīng)用.分析： 先根據(jù)垂徑定理得出 AB=2BC ,再根據(jù)勾股定理求出 BC的長，進(jìn)而可得出答案.解答： 解：二.截面圓圓心 O到水面的距離 OC是6,o OCXABAB=2BC在 RHBOC 中，OB=10, OC=6,BC=7oB2 - OC VlO2 - 6=8?，AB=2BC=2 X8=16.故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，熟知垂徑定理及勾股定理是解答此題的關(guān)鍵.二、填空題（共11小題）（除非特別說明，請?zhí)顪?zhǔn)確值）1）,若不計(jì)木條的厚度，其俯視圖如圖 26. （2012?東營）某施工工地安放了一個(gè)圓柱形飲水桶的木制支架（如圖30 cm.所示，已知AD垂直平分BC, AD

13、=BC=48cm ,則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是D3C（圖）考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.分析：當(dāng)圓柱形飲水桶的底面半徑最大時(shí)，圓外接于4ABC ;連接外心與B點(diǎn)，可通過勾股定理即可求出圓的半徑.解答：解：連接OB,如圖，當(dāng)。O為4ABC的外接圓時(shí)圓柱形飲水桶的底面半徑的最大. AD 垂直平分 BC , AD=BC=48cm ,O 點(diǎn)在 AD 上，BD=24cm ;在 RtA0BD 中，設(shè)半徑為 r,貝U OB=r, OD=48 r,1- r2= （48r） 2+242,解得 r=30.即圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值為30cm .故答案為：30.7.如圖是某風(fēng)景區(qū)的一個(gè)圓拱形門，路面

14、AB寬為2m,凈高CD為5m,則圓拱形門所在圓的半徑為2.6 m.CA D B考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用.分析： 連接OA,由垂徑定理易得出 AD的長度，在RtAOAD中，可用半徑表示出 OD的長，根據(jù)勾股定理即可 求出半徑的長度.解答：解：連接OA；RtAOAD 中，AD=-AB=1 米；2設(shè)。O 的半徑為 R,則 OA=OC=R , OD=5 - R;由勾股定理，得：oa2=ad2+od2,即：R2= （5-R） 2+12,解得 R=2.6 （米）;故答案為：2.6. C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用.解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，

15、若設(shè)圓的半徑為r,弦長為a,這條弦的弦心距為 d,則有等式r2=d2+ （3）22成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè).EF=CD=16厘米，則球的8. （2012?臺(tái)州）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知 半徑為 10 厘米.考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.分析： 首先找到EF的中點(diǎn)M,作MN XAD于點(diǎn)M ,取MN上的一點(diǎn)O,連接OF,設(shè)OF=x ,則OM是16-x,MF=8 ,然后在直角三角形 MOF中利用勾股定理求得 OF的長即可.解答： 解：EF的中點(diǎn)M,作MNLAD于點(diǎn)M,取MN上的一點(diǎn) O,連接OF,設(shè) OF=x,則 OM=16 x, M

16、F=8,在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（16x） 2+82=x2解得：x=10故答案為：10.菁優(yōu)網(wǎng)R N C點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形.?2010-2013 菁優(yōu)網(wǎng)9. （2011?梅州）如圖，在以 。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn) C,若AB的長為8cm,則圖中陰影部分的面積為16兀cm2.考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；切線的性質(zhì).分析： 設(shè)AB于小圓切于點(diǎn)C,連接OC, OB,利用垂徑定理即可求得 BC的長，根據(jù)圓環(huán)（陰影）的面積=ttQB2 兀QC2=7t （OB2- OC2）,以及勾股定理即可求解

17、.解答： 解：設(shè)AB于小圓切于點(diǎn) C,連接OC, OB.AB于小圓切于點(diǎn)C, OCXAB ,BC=AC= -AB= ->8=4cm .22 圓環(huán)（陰影）的面積 =TTOB2-兀 QC2=Tt （OB2-OC2）又.直角 OBC 中，OB2=OC2+BC2 圓環(huán)（陰影）的面積 =TTOB2-兀 QC2=7t （OB2-OC2） = TtBC2=l6 7icm2.點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，注意到圓環(huán)（陰影） 的面積=兀OB2 -兀OC2=兀（OB2- OC2）,利用勾股定理把圓的半徑之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的關(guān) 系.10mm ,測得

18、鋼珠頂端離零件表10. （2012?衢州）工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是 面的距離為8mm ,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口 AB的長度為 8 mm.考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：探究型.菁優(yōu)網(wǎng)分析:""先求出鋼珠的半徑及ODOA,O# ODXABD, AB=2AD , RtAAOD勾股定理即可求出 AD的長，進(jìn)而得出 AB的長.解答： 解：連接 OA,過點(diǎn)。作ODLAB于點(diǎn)D,則AB=2AD ,鋼珠的直徑是 10mm ,，鋼珠的半徑是 5mm,;鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,OD=3mm , 在 RtAAOD 中，AD= 70A2-0D

19、N52-32=4mm,AB=2AD=2 M=8mm.故答案為：8.點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.11. （2010?陜西）如圖是一條水鋪設(shè)的直徑為2米的通水管道橫截面，其水面寬1.6米，則這條管道中此時(shí)最深為0.4 米.考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：應(yīng)用題.分析：利用垂徑定理，以及勾股定理即可求解.解答：解：作出弧AB的中點(diǎn)D,連接OD,交AB于點(diǎn)C.則 OD ± AB . AC= -AB=0.8m .2在直角 ZOAC 中，OC= - c*=-J12 - 0""，Z=0.6m .則水深

20、 CD=OD OC=1 0.6=0.4m .D點(diǎn)評(píng)： 此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計(jì)算的問題，常把半弦長，圓心角， 圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解，常見輔助線是過圓心作弦的垂線.?2010-2013 菁優(yōu)網(wǎng)12. （2006?大興安嶺）如圖，一塊破殘的輪片上， 點(diǎn)O是這塊輪片的圓心， AB=120mm , C是AB上的一點(diǎn)，OCLAB ,垂足為D, CD=20mm ,則原輪片的半徑是100 mm.O考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：應(yīng)用題.分析： 連接OA、OB,又知OCLAB,故可以設(shè)出半徑，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解答.解：

21、在直角 4OAD中，設(shè)半徑是 x,則OA=x, OD=x - 20, AD=AB=60mm .2根據(jù)三角和內(nèi)角和定理得到：x2= （x- 20） 2+602,解得 x=100mm .所以原輪片的半徑是 100mm.點(diǎn)評(píng)： 此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計(jì)算的問題，常把半弦長，半圓心角, 圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解.13. （2006?黑龍江）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（圖中的 AB）,點(diǎn)。是這段弧的圓心，AB=120m , C是100 m.AB上一點(diǎn)，OCLAB,垂足為D, CD=20m,則這段彎路的半徑為考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：應(yīng)用題.分析：先求出弦的一半的長，再利用勾股定理即可求解.解答：解：AB=120m ,BD=60m ,根據(jù)勾股定理可得： OB2=BD 2+od 2, 即 OB2=602+ （OB - 20） 2,解得 OB=100.點(diǎn)評(píng)： 本題的關(guān)鍵是利用垂徑定理和勾股定理求線段的長.14. （2006?衡陽）如圖，水平放置的一個(gè)油管的截面半徑為 油部分油面高CD為 8 cm.13cm ,其中有油部分油面寬 AB為24cm,則截面上有考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理.專題：應(yīng)用題.分析： 先求出AC的長再利用勾股定理求出油面到圓心的距離，油