二元一次方程組

1、8.18.1二元一次方程組二元一次方程組 籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得勝一場(chǎng)得2 2分，負(fù)一場(chǎng)得分，負(fù)一場(chǎng)得1 1分分. .如果某隊(duì)為了爭(zhēng)取如果某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好名次，想在全部較好名次，想在全部2222場(chǎng)比賽中得場(chǎng)比賽中得4040分，那么這分，那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)應(yīng)分別是多少個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)應(yīng)分別是多少? ?引引 言言用學(xué)過的一元一次方用學(xué)過的一元一次方程能解決此問題嗎？程能解決此問題嗎？這可是兩個(gè)這可是兩個(gè)未知數(shù)呀？未知數(shù)呀？ 籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得勝一場(chǎng)得2 2分，負(fù)一場(chǎng)得分，負(fù)一

2、場(chǎng)得1 1分分. .如果某隊(duì)為了爭(zhēng)取較如果某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好名次，想在全部好名次，想在全部2222場(chǎng)比賽中得場(chǎng)比賽中得4040分，那么這個(gè)分，那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)應(yīng)分別是多少隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)應(yīng)分別是多少? ? 那么，能設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？比如設(shè)勝那么，能設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？比如設(shè)勝x場(chǎng)，場(chǎng)，負(fù)負(fù)y y場(chǎng)；你能根據(jù)題意列出方程嗎？場(chǎng)；你能根據(jù)題意列出方程嗎？勝負(fù)合計(jì)場(chǎng)數(shù)xy22積分2xy40用方程表示為：用方程表示為：22 yx402 yx依題意有：依題意有：兩個(gè)未兩個(gè)未知數(shù)耶！知數(shù)耶！議一議議一議雞兔同籠雞兔同籠今有雞兔同籠，今有雞兔同籠，上有三十五頭，上有三十五頭，下有九十四足，下有九十四足，問雞兔各幾何？問

3、雞兔各幾何？-孫子算經(jīng)孫子算經(jīng) 是我國(guó)古代較為普是我國(guó)古代較為普及的算書及的算書, ,許多問題淺顯有趣許多問題淺顯有趣. .其中下其中下卷第卷第3131題題“雞兔同籠雞兔同籠”問題流傳尤為問題流傳尤為廣泛廣泛, ,飄洋過海傳到了日本等國(guó)飄洋過海傳到了日本等國(guó). .雞兔同籠雞兔同籠設(shè)雞有設(shè)雞有x只，兔只，兔y只，根據(jù)題意，得只，根據(jù)題意，得 著名的著名的“雞兔同籠雞兔同籠”問題：?jiǎn)栴}：“今有雞兔同今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？幾何？”雞兔合計(jì)頭xy35足2x4y94則有：則有：944235yxyx兩個(gè)方程！兩個(gè)方程?。? 1）2個(gè)

4、未知數(shù)個(gè)未知數(shù)（2 2）未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1 含有兩個(gè)未知數(shù)含有兩個(gè)未知數(shù), ,并且所含未知數(shù)的并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是項(xiàng)的次數(shù)都是1 1次的方程叫做次的方程叫做二元一次方程二元一次方程. .兩個(gè)兩個(gè)1 1次次觀察上面四個(gè)方程，有何共同特征？觀察上面四個(gè)方程，有何共同特征？22 yx402 yx二元一次方程二元一次方程9442 yx35yx 像這樣把兩個(gè)二元一次方程合在一起，像這樣把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)就組成了一個(gè)二元一次方程組二元一次方程組40222yxyx944235yxyx把兩個(gè)方程把兩個(gè)方程寫在一起：寫在一起：(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)是整式而不是分式

5、含有未知數(shù)的項(xiàng)是整式而不是分式（即分母不含有未知數(shù)）（即分母不含有未知數(shù)）（1 1）2個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù) （2 2）未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1 含有兩個(gè)未知數(shù)含有兩個(gè)未知數(shù), ,并且所含未知數(shù)的并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是項(xiàng)的次數(shù)都是1 1次的方程叫做次的方程叫做二元一次方程二元一次方程. .兩個(gè)兩個(gè)1 1次次觀察上面四個(gè)方程，有何共同特征？觀察上面四個(gè)方程，有何共同特征？22 yx402 yx二元一次方程二元一次方程9442 yx35yx（1 1）“一次一次”是指含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是指含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù) 是是1 1，而不是未知數(shù)的次數(shù)，而不是未知數(shù)的次數(shù)（2 2）方程的左右兩邊都是

6、整式）方程的左右兩邊都是整式哪些是二元一次方程（組）？為什么？哪些是二元一次方程（組）？為什么？1052)2(x12)5(zyx20) 1 (2 yx012)4(2 xx132)3( ba你猜（你猜（5）我們?cè)摲Q什么？）我們?cè)摲Q什么？三元一次方程三元一次方程1.下列方程中哪些是二元一次方程下列方程中哪些是二元一次方程.(1) x+y+z=9 (2) 2x+10 =0 (3) 2x+6y=14 (4) x2 +2x+1=0 (5) 2a+3b=5 做一做做一做2.已知方程已知方程:2xm+2+3y1-2n=17是一個(gè)是一個(gè)二元一次方程，則二元一次方程，則m=_,n=_ .-10不是不是是是不是不

7、是是是不是不是xy0 1 2 3 4 5 18 2222 21 20 19 18 17 4 0 我們?cè)賮砜匆灾械姆匠涛覀冊(cè)賮砜匆灾械姆匠?，符合問題的實(shí)際意義的符合問題的實(shí)際意義的 x 、y 的值有哪些？的值有哪些？22 yx若不考慮實(shí)際意義你還能再找出幾個(gè)方程若不考慮實(shí)際意義你還能再找出幾個(gè)方程的解嗎？解嗎？ 一般地，一個(gè)二元一次方程一般地，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解。有無數(shù)個(gè)解。如果對(duì)未知數(shù)的取值如果對(duì)未知數(shù)的取值附加某些限制條件附加某些限制條件，則則可能有有限個(gè)解可能有有限個(gè)解 使二元一次方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的使二元一次方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值值, ,叫做這個(gè)二元一次

8、方程的一個(gè)解叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解202yx通常記作：通常記作： 1、下面4組數(shù)值中，哪些是二元一次方程 2x+y=10的解？x = -2y = 6(1)x = 3y = 4(2)x = 4y = 3(3)x = 6y = -2(4)2、找出上述方程的所有正整數(shù)解x=2y=33、請(qǐng)寫出一個(gè)以 為一組解的二元一次方程球賽積分球賽積分 雞兔同籠雞兔同籠 x+y=22 x+y=35 2x+y=40 2x+4y=94 每?jī)蓚€(gè)方程中每?jī)蓚€(gè)方程中,x 的含義相同嗎的含義相同嗎? y 呢呢?X、y同時(shí)滿足兩個(gè)方程同時(shí)滿足兩個(gè)方程思考：思考： x+y=6 x=7 x=4 y=2它們是二元一次方程組嗎？它

9、們是二元一次方程組嗎？ （1）總共有兩個(gè)未知數(shù)）總共有兩個(gè)未知數(shù)（2）都是一次方程）都是一次方程一般的，如果兩個(gè)一般的，如果兩個(gè)一次方程一次方程合起來共有合起來共有兩個(gè)未兩個(gè)未知數(shù)，知數(shù)，那么它們那么它們雞兔同籠雞兔同籠解：設(shè)雞有解：設(shè)雞有x只，兔只，兔y只，根據(jù)題意，只，根據(jù)題意， 得：得： 著名的著名的“雞兔同籠雞兔同籠”問題：?jiǎn)栴}：“今有雞兔同今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？幾何？”944235yxyx兩個(gè)方程！兩個(gè)方程！ 兩個(gè)二元一次方程所組成的一組兩個(gè)二元一次方程所組成的一組方程叫做方程叫做二元一次方程組二元一次方程組哪

10、些是二元一次方程組？為什么？哪些是二元一次方程組？為什么？12)3(yxx53893)2(zyzyx05923) 1 (xyyx 其中（其中（3）也是二元一次方程組）也是二元一次方程組只要兩個(gè)只要兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么他們就組一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么他們就組成一個(gè)二元一次方程組。成一個(gè)二元一次方程組。你猜（你猜（2）我們?cè)摲Q什么？）我們?cè)摲Q什么？三元一次方程組三元一次方程組45)4(yxyxy下列方程組是二元一次方程組嗎？下列方程組是二元一次方程組嗎？x+y=1 5m-n=0 x+z=2 3n2=9x=0 2ab=6y-3x=5 4b=83m=2n x=12m+n=8

11、 y=2不是不是是是是是不是不是不是不是是是1、6、2、5、3、4、xy0 1 2 3 4 5 18 2222 21 20 19 18 17 4 01、滿足方程 且符合問題的實(shí)際意義的 x 、y 的值有哪些？把它們填入下表中22 yxxy0 1 2 3 4 5 18 2240 38 36 34 32 30 4 -4402 yx2、滿足方程 且符合問題的實(shí)際意義的x、 y 的值有哪些？把它們填入下表中40222yxyx 不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn)x=18,y=4既是既是 x+y=22的解，也是的解，也是2x+y=40的解，也就是說是這兩個(gè)方程的公共解，我們把它們叫的解，也就是說是這兩個(gè)方程的公共解，我們把

12、它們叫做方程組做方程組 的的解解。418yx記作：記作：方程方程 符合問題的實(shí)際意義的符合問題的實(shí)際意義的 x 、y 的值有哪些？把它們填入下表中的值有哪些？把它們填入下表中22 yx若不考慮實(shí)際意義你還能再找出幾個(gè)方程若不考慮實(shí)際意義你還能再找出幾個(gè)方程的解嗎？解嗎？ 一般地，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解。一般地，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解。 使二元一次方程使二元一次方程左右兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的左右兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值值, ,叫做叫做這個(gè)二元一次方程的解這個(gè)二元一次方程的解yx0 1 2 3 4 5 18 2222 21 20 19 18 17 4 0220yx記作：記作：二元一次方程的

13、解的特點(diǎn)：二元一次方程的解的特點(diǎn)：1.是一對(duì)數(shù)值是一對(duì)數(shù)值 2.有無數(shù)個(gè)解有無數(shù)個(gè)解bayx即：即：xy0 1 2 3 4 5 18 2222 21 20 19 18 17 4 01 1、滿足方程、滿足方程 且符合問題的解且符合問題的解22 yxxy0 1 2 3 4 5 18 2240 38 36 34 32 30 4 -4402 yx2.2.滿足方程滿足方程 解有哪些？解有哪些？40222yxyx 不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn)x=18,y=4既是既是 x+y=22的解，也是的解，也是2x+y=40的解，也就是說是這兩個(gè)方程的公共解，我們把它叫的解，也就是說是這兩個(gè)方程的公共解，我們把它叫做方程組做方程

14、組 的的解解。418yx記作：記作：x+y=222x+y=40二元一次方程組的兩個(gè)方程的二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解公共解，叫做叫做二元一次方程組的解二元一次方程組的解。418yx 使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.它的解有它的解有無數(shù)個(gè)。無數(shù)個(gè)。 二元一次方程組的兩個(gè)方程的二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解公共解，叫，叫做二元一次方程組的解。顯然二元一次方做二元一次方程組的解。顯然二元一次方程組只有一對(duì)解，記作程組只有一對(duì)解，記作X=Y=二元一次方程（組）的解二元一次方程（組）的解綜上所述：綜上

15、所述： x=6 x+y=8 y=2究竟是不是二元一次方程組究竟是不是二元一次方程組 5x+3y=34的解呢？的解呢？ x=6張三和李四為了這個(gè)問題爭(zhēng)論不休，張三說張三和李四為了這個(gè)問題爭(zhēng)論不休，張三說 y=2滿足滿足 x+y=8，所以它是這個(gè)二元一次方程組的解，所以它是這個(gè)二元一次方程組的解， x=6 李四卻說李四卻說 y=2 只滿足只滿足x+y=8，而不滿足，而不滿足5x+3y=34,因因此它不是這個(gè)二元一次方程組的解，請(qǐng)你為他們?cè)u(píng)評(píng)此它不是這個(gè)二元一次方程組的解，請(qǐng)你為他們?cè)u(píng)評(píng)理吧！理吧！那么那么 x=5 呢？呢？ y=3 下面四組值中，哪些是二元一次方程下面四組值中，哪些是二元一次方程

16、2x+ y=10的解？的解？ x=-2 x=3 x=4 x=6（1） (2) (3) (4) y=6 y=4 y=3 y=-2二元一次方程組二元一次方程組 x+2y=10 的解是（的解是（ ） y=2x x=4 x=3 x=2 x=4（1） (2) (3) (4) y=3 y=6 y=4 y=2u 31、2、3.下面四組值中，那一組是二元一次方程下面四組值中，那一組是二元一次方程 7x-3y=2組組 的解的解( ) 2x+y=8 x=-1 x=2 x=4 x=1(1) (2) (3) (4) y=-3 y=4 y=2 y=62對(duì)于方程對(duì)于方程x+2y=7，你能找到多少組解？，你能找到多少組解？

17、 x=4 已知已知 是二元一次方程是二元一次方程 3x+ky=2 y=2的一個(gè)解，則的一個(gè)解，則k=5 x=2 ax-3y=5如果如果 是方程組是方程組 的解，的解， y=1 2x+by=1你知道你知道a , b的值嗎？的值嗎？a=4 b=-3下列方程組中（下列方程組中（ ）是二元一次方程組）是二元一次方程組 A Bx+y=3 3a+2b=11y+2z=7 5b-6c=4 C Dx=4 x+y=6y=11x x2-y=4C每千克蘋果每千克蘋果2元，每千克香蕉元，每千克香蕉3元，現(xiàn)要買元，現(xiàn)要買x千克千克蘋果，蘋果，y千克香蕉，共需千克香蕉，共需20元元(1)列出關(guān)于的二元一次方程為列出關(guān)于的二

18、元一次方程為(2)若若y=2,則則x=(3)若其中香蕉為若其中香蕉為4千克，則蘋果有千克，則蘋果有_千克千克2x+3y=2074根據(jù)題意，列出方程組根據(jù)題意，列出方程組小明從郵局買了面值小明從郵局買了面值50分和分和80分的郵票共分的郵票共9枚，枚，花了花了6.3元，小明買了兩種郵票各多少枚？元，小明買了兩種郵票各多少枚？解：設(shè)買了解：設(shè)買了50分的郵票分的郵票x枚，枚，80分的郵票分的郵票y枚枚根據(jù)題意列方程組：根據(jù)題意列方程組：x+y =90.5x+0.8y =6.3根據(jù)題意，列出方程組根據(jù)題意，列出方程組:買買5朵郁金香和朵郁金香和3朵玫瑰共付朵玫瑰共付90元，買元，買3朵郁金朵郁金香和

19、香和5朵玫瑰共付朵玫瑰共付86元，每朵郁金香和玫瑰各元，每朵郁金香和玫瑰各多少元？多少元？解：設(shè)每朵郁金香解：設(shè)每朵郁金香x元，每朵玫瑰元，每朵玫瑰y元元 5x+3y=90 3x+5y=86誰的包裹多誰的包裹多累死我累死我了！了！你還累？這么你還累？這么大的個(gè)，才比大的個(gè)，才比我多馱了我多馱了2個(gè)。個(gè)。 哼哼!我從你背上拿我從你背上拿來來1個(gè)，我的包裹個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的數(shù)就是你的2倍！倍！真的？！真的？！設(shè)老牛馱了設(shè)老牛馱了x x個(gè)包裹個(gè)包裹, ,小馬馱了小馬馱了y y個(gè)包裹個(gè)包裹. . x xy y2 2 x x1 12(y2(y1)1)你會(huì)列方程組嗎？1、二元一次方程、二元一次方程（1

20、）兩個(gè)未知數(shù)）兩個(gè)未知數(shù) （2）所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是）所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是12、二元一次方程的解、二元一次方程的解 3、二元一次方程組的解、二元一次方程組的解 二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值1、方程2x+3y=8的解 （ ）A、只有一個(gè) B、只有兩個(gè)C、只有三個(gè) D、有無數(shù)個(gè)練一練練一練62yxA43yxB34yxC26yxD2、下列4組數(shù)值中,哪些是二元一次方程 的解?（ ）102 yx4、方程組 的解是（ ）145523yxyx1A1xy1B1xy 2C12xy1D32

21、xy 12D21yxxy225C1xyxy3、下列屬于二元一次方程組的是 （ ）4A350 xyxy354B0 xyxy練一練練一練1 1、判斷下列方程是不是二元一次方程？、判斷下列方程是不是二元一次方程？解：方程 1a1=1 且且a1 a=一一1變式：變式：1 1、若、若mxy+9x+3ymxy+9x+3yn-1n-1=7=7是關(guān)于是關(guān)于x ,yx ,y的的二元一次方程二元一次方程, ,則則m =m = ，n =n = 。 2 2、若、若9x9x2m-12m-1+3y+3y3n-2m3n-2m=7=7是關(guān)于是關(guān)于x ,yx ,y的的二元一次方程二元一次方程, ,則則m =m = ，n =n

22、= 。思考：這兩個(gè)方程中的思考：這兩個(gè)方程中的x、y的含義相同嗎？的含義相同嗎？ 40222yxyx注意：方程組中的各個(gè)方程，注意：方程組中的各個(gè)方程，同一字母同一字母必須代表必須代表 同一數(shù)量同一數(shù)量。注意：注意：（1）在方程組中，一共含有兩個(gè)未知數(shù)；）在方程組中，一共含有兩個(gè)未知數(shù)；（2）方程組中的方程）方程組中的方程可以是一元一次方程可以是一元一次方程。345248xyx425248yx比如：比如：425248xx是二元一次方程組是二元一次方程組不是二元一次方程組不是二元一次方程組下列方程組是二元一次方程組的有下列方程組是二元一次方程組的有 _ A、E425()8yFxxy 使一元一次方

23、程使一元一次方程左右兩邊相等左右兩邊相等的的未未知數(shù)的值知數(shù)的值叫這個(gè)一元一次方程的叫這個(gè)一元一次方程的解解。怎樣判斷怎樣判斷x =4是否為一元一次方程是否為一元一次方程3x-4=8的解？的解？探究：探究： 滿足方程滿足方程xy22,且符合問題的實(shí)際意義的且符合問題的實(shí)際意義的x、y的值有哪些？請(qǐng)你把它們填入下表：的值有哪些？請(qǐng)你把它們填入下表： X012345678910111213141516171819202122y二元一次方程的解二元一次方程的解22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 109875643210注意注意：（：（1）二元一次方程的解有二元一次

24、方程的解有無數(shù)組無數(shù)組； 除此之外，如果不考慮實(shí)際意義，除此之外，如果不考慮實(shí)際意義，x1,y=-23；x0.5，y=21.5 也都是方程的解。也都是方程的解。 （2）二元一次方程的每一個(gè)解是一對(duì)數(shù)值，記為二元一次方程的每一個(gè)解是一對(duì)數(shù)值，記為xayb二元一次方程組的解二元一次方程組的解 一般地，二元一次方程組中的一般地，二元一次方程組中的兩個(gè)方程的兩個(gè)方程的公共解公共解，叫做二元一次方程組的，叫做二元一次方程組的解解。40222yxyx探究二元一次方程組的解：探究二元一次方程組的解：X012345678910111213141516171819202122y22212019181716151

25、4131211109876543210滿足方程滿足方程xy22的解的解滿足方程滿足方程2xy40的解的解X01234567891011121314151617181920y4038363432302826242220181614121086420X012345678910111213141516171819202122y222120191817161514131211109876543210我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn) 是這兩個(gè)方程的是這兩個(gè)方程的公共解公共解，418yx注意注意:(1)二元一次方程組的解二元一次方程組的解有且只有一組有且只有一組；40222yxyx把把 叫做二元一次方程組叫做二元一次方程

26、組 的解。的解。418yx（2）二元一次方程組的每一個(gè)解是一對(duì)數(shù)值，記為二元一次方程組的每一個(gè)解是一對(duì)數(shù)值，記為xayb68yx1、判斷、判斷 是二元一次方程是二元一次方程2x-y=10的解？的解？ 82352yxyx34yx 2、判斷、判斷 是二元一次方程組是二元一次方程組的解？的解？ 是是不是不是例例1、連一連、連一連把下列方程組的解和相應(yīng)的方程組用線段連起來：把下列方程組的解和相應(yīng)的方程組用線段連起來：x=1x=1y=2y=2x=3x=3y=-2y=-2x=2x=2y=1y=1y=3-xy=3-x3x+2y=83x+2y=8y=2xy=2xx+ y=3x+ y=3y=1-xy=1-x3x+2y=53x+2y=5例例2 2、已知、已知 是二元一次方程是二元一次方程2x-4y