復(fù)變函數(shù)34單調(diào)性、凹凸性

1、第第3章章 1第四節(jié)第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性曲線的凹凸性第第3章章 2一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若若定理定理 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則則 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減遞減) .證證: 無(wú)妨設(shè)無(wú)妨設(shè),0)(Ixxf任取任取)(,2121xxIxx由由拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理得得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故故. )()(21xfxf這說(shuō)明這說(shuō)明 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增.)(x

2、f在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),證畢證畢第第3章章 3. 1e xy,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加:(,).D 又又定定義義域域例例1.xyx 討討論論函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性e e解解例例解解ln.yx 討討論論函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性xy1 ,0 ln().yx 所所以以在在定定義義域域內(nèi)內(nèi) 嚴(yán)嚴(yán)格格 單單調(diào)調(diào)增增加加)0 , 1(xyo第第3章章 4例例解解32( ).f xx 確確定定函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性. ),(:D)0(,32)(3 xxxf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；

3、上單調(diào)增加；在在), 0 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(32xy xoy第第3章章 5( ),.f x用用駐駐點(diǎn)點(diǎn)及及不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)來(lái)來(lái)劃劃分分函函數(shù)數(shù)的的定定義義區(qū)區(qū)間間 然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的符符號(hào)號(hào) 導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)分界點(diǎn)方法方法:注意注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)不影響區(qū)間的單調(diào)性間的單調(diào)性.例如例如,3xy (,). 但但在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加,032 xy稱駐點(diǎn)稱駐點(diǎn), 0)0( yxyo第第3章章 6例例4.

4、確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為).2,1 (12xoy12第第3章章 7yxo說(shuō)明說(shuō)明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)

5、的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 第第3章章 81,.xxx 證證明明不不等等式式 e e ( (0 0) )例例證證( )(1),xf xx令令e e( )1,xfx 則則e e0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，,0)( xf,0) 0()( fxf1;xx即即e e，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x,0)( xf,0) 0()( fxf1.xx即即e e綜上所述，綜上所述，1.xxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)總總有有，0 0 e e( )0,)f x 在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加； ( )(,0f x 在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少； 第第3章章 9例例 證明證明20 x時(shí)時(shí), 成立不等式成

6、立不等式.2sinxx證證: 令令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導(dǎo)在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而從而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此因此且且第第3章章 10* 證明0tanxx令,tan)(xxx則xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而0)0()(x即),0(,0tan2xxx第第3章章 11AB定義定義 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()(

7、)2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf圖形是圖形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn) .圖形是圖形是凸凸的的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第第3章章 12定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是凹的內(nèi)圖形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 內(nèi)內(nèi),0)( xf則則 在在 I 內(nèi)圖形是凸的內(nèi)圖形是凸的 .)(xf證證:,21Ixx

8、利用一階泰勒公式可得利用一階泰勒公式可得)()(1fxf221xx !2)(1f 21)(x221xx )()(2fxf221xx )(f 221xx )(2x221xx !2)(2f 22)(x221xx 兩式相加兩式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx )()(21ff ,0)(時(shí)當(dāng) xf),(2)()(21fxfxf221xx 說(shuō)明說(shuō)明 (1) 成立成立;(2)(f 221xx )(1x221xx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)上有二階導(dǎo)數(shù)證畢證畢第第3章章 13126yx 112()2x例例9. 求曲線求曲線32231214yxxx 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)

9、.解解:1) 求求y 26612,yxx 2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得11,2x 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)1412y 3) 當(dāng)當(dāng)11,2x 得得0y ;當(dāng)當(dāng)11,2x 得得0y 因此，點(diǎn)因此，點(diǎn)1 41(,)22 是曲線的拐點(diǎn)。是曲線的拐點(diǎn)。第第3章章 14xxy24362 )(3632xx例例10. 求曲線求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,03221xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 列表判別列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在

10、故該曲線在)0,(),(32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 點(diǎn)點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點(diǎn)均為拐點(diǎn).上在),0(32凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(271132第第3章章 15例例11 判斷曲線判斷曲線4xy 的凹凸性的凹凸性.解解:,43xy 212xy 時(shí)，當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)x, 0 y故曲線故曲線4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.說(shuō)明說(shuō)明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得可得拐點(diǎn)的判別法拐點(diǎn)的判別法如下如下:若曲線若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點(diǎn)x0)(0

11、xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 兩側(cè)兩側(cè)異號(hào)異號(hào),0 x則點(diǎn)則點(diǎn))(,(00 xfx是曲線是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn)的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),xyo第第3章章 16例例12. 求曲線求曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn). 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點(diǎn)因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線為曲線3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn) .oxy凹凹凸凸第第3章章 17內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf,0)()

12、(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點(diǎn)拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)第第3章章 18思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1 ,0上上,0)( xf則則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或或) 1 ()0(ff的大小順序是的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示:

13、 利用利用)(xf 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及及B1. 設(shè)在設(shè)在第第3章章 19 .),(21)1,(2121e2. 曲線21xey的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e ; ;第第3章章 20112xxy有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn)有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線求證曲線 證明：證明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx備用題備用題xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2第第3章章 21令令0 y得得,11x, )1,1(從而三個(gè)拐點(diǎn)為從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)橐驗(yàn)?2所以三個(gè)拐點(diǎn)共線所以三個(gè)拐點(diǎn)共線.323x,322x, )34831,32()34831,32(32113