級數(shù)復(fù)習(xí)下PPT課件

1、1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法(1) 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性(2) 正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別部分和極限1第1頁/共13頁(3) 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法任意項(xiàng)級數(shù)審斂法Leibniz判別法: ,01nnuu且,0limnnu則交錯級數(shù)0( 1)nnnu收斂 ,絕對收斂與條件收斂且余項(xiàng).1nnur絕對收斂的判別 利用正項(xiàng)級數(shù)判別法2. 求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法處的

2、斂散性.)lim1nnaanR若第2頁/共13頁（3. 函數(shù)展開成冪級數(shù)）函數(shù)展開成冪級數(shù)） 直接展開法 間接展開法 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式,!1!2112nxxnxxe),(x常用公式: ),(xx11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x1213! ) 12(1) 1(!31sinnnxnxxx求導(dǎo)nnxnxx212! )2(1) 1(!211cos)1ln(x展式第3頁/共13頁 求部分和式極限4. 冪級數(shù)和函數(shù)的求法冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪

3、級數(shù)求和, 再代值求部分和等（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級數(shù) 求和nnnxa0第4頁/共13頁1. 級數(shù)級數(shù)nnnxnn 12ln的收斂半徑 R = .提示:1lim nnnaaR) 1ln(122lnlim1 nnnnnnn2 24. 兩類重要級數(shù)1、p級數(shù)：11npn, 1p當(dāng)該級數(shù)發(fā)散；, 1p當(dāng)該級數(shù)收斂.2、幾何級數(shù)：0nnxx11(當(dāng)1x時(shí))0) 1(nnnxx11(當(dāng)1x時(shí))第5頁/共13頁肯定收斂的是（ )3. 設(shè)設(shè) , ),2, 1(10nnan則下列級數(shù)中提示:22) 1(nnnaaD1)(nnaAnnnaB1) 1()(1)(nnaC12) 1()(nnnaD121nn,10n

4、an21n收斂12) 1(nnna絕對收斂第6頁/共13頁4. 證明證明: 若若, 0lim, 0 aanannn5. 判別級數(shù) 11)1ln(1) 1(nnn的斂散性.則級數(shù) 1nna發(fā)散 .證: 由于0limlim1 aanannnnn,11發(fā)散又 nn.1發(fā)散 nna解: 該級數(shù)為交錯級數(shù), 且,)2ln(1) 1ln(1) 1 (1 nnunnu0) 1ln(1limlim)2( nunnn, 故級數(shù)收斂 .( 03屆考題)( 03屆考題)第7頁/共13頁5. 討論討論 a 為何值時(shí)級為何值時(shí)級數(shù)數(shù))0(!1eannannn收斂 ,取何值時(shí)發(fā)散 . 解: nnnuu1lim!) 1(!

5、 ) 1(lim11nannnannnnnnnna)11(limea當(dāng) a e 時(shí), 原級數(shù)發(fā)散 ;當(dāng) 0 a e 時(shí), 原級數(shù)收斂 .第8頁/共13頁6. 求冪級數(shù)求冪級數(shù)nnnxn121的收斂域與和函數(shù)。解: 1limnnnaaRnnnnn22) 1(lim12當(dāng) x = 2 時(shí), nnnn221111nn發(fā)散 ;當(dāng) x = 2 時(shí),nnnn)2(2111) 1(nnn收斂 ;故所給的收斂域?yàn)?2 , 2 ) , 在其上和函數(shù)為第9頁/共13頁nnnxnxS121)(nnxn)2(1111221)(nnxxs21121x,21x)(xS2ln2lnd210 xxxx)2,2x2)2(2lnx設(shè)第10頁/共13頁7. 級數(shù)1)8(nnu收斂，求.limnnu提示：因?yàn)?, 0)8(limnnu.8limnnu所以第11頁/共13頁8. 若級數(shù)若級數(shù)1nna及都收斂 , 且1nnbnnnbca, ),2, 1(n證明級數(shù)1nnc收斂 . 證明: 因?yàn)?,2, 1(0nabacnnnn而)(1nnnab 收斂 ,)