第120講流體力學六2010年新版

1、第四節(jié)流動阻力和水頭損失第三節(jié)中討論了能量方程，但并未討論能量方程中由于流動阻力所產(chǎn)生的能量損失在第一節(jié)中曾經(jīng) 指出，水、空氣等都是有勃性的，因而將產(chǎn)生流動阻力。流體在固體壁面的約束下流動，如管流或明渠流 等稱為內(nèi)部流動，此時流體要流動就必須克服阻力做功，由此產(chǎn)生能量損失。流體繞固體流動或者說固體 在流體中運動時，稱為外部流動，如風吹過煙囪或顆粒在流體中上升或沉降，此時氣流受到煙囪的阻力或 者顆粒受到流體的阻力都是勃性阻力，稱為繞流阻力。本節(jié)主要討論內(nèi)部流動的能量損失；對繞流阻力僅 作簡單介紹。由于流動有層流和紊流兩種流態(tài)，不同流態(tài)的能量損失的規(guī)律是不同的。所以下面還將討論以上兩種 流態(tài)。一、

2、流動阻力和水頭損失的分類根據(jù)流體流動的邊界條件不同，流動阻力和水頭損失可以分為兩類。當流體受邊界限制做均勻流動（如 斷面大小、流動方向沿程不變的管流）時，流動阻力中只有沿流程不變的摩擦阻力，稱為沿程阻力或摩擦 阻力，由于沿程阻力做功所引起的水頭損失，稱為沿程水頭損失，以hf表示。當流體經(jīng)過邊界急劇變化處，由于邊界的改變引起斷面流速的大小、方向、流速分布發(fā)生急劇變化，還有漩渦區(qū)的形成，這種集中發(fā)生 在較短范圍的阻力稱為局部阻力，相應的水頭損失稱為局部水頭損失，以hj表示.沿程水頭損失的計算公式（達西公式）：式中丨一一管長.d 一一管徑.v斷面平均流速；Y沿程阻力系數(shù)局部水頭損失的計算公式式中一一

3、局部阻力系數(shù)。二、實際流體的兩種流態(tài) 一層流和紊流（一）雷諾實驗雷諾曾經(jīng)以圖6-4-1的裝置來進行實驗，揭示了兩種流態(tài)不同的本質(zhì)并確定圓管流態(tài)的判別數(shù)。顏色水將進人玻璃管，與水一起流中a),與周圍清水互不摻混，這種有規(guī)則的分層流動被稱為層流。隨著v的增大，顏色液將產(chǎn)生波動，直到某一數(shù)值，顏色液擴散到清水中,不復再見(見圖6-4-1中b )。這時，兩者已互相摻混，每個流體質(zhì)點的軌跡是十分混亂的，這種流態(tài)被 稱作紊流。此時若再將流速減小，必須減小到比前一臨界值更小的數(shù)值，流態(tài)才會轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿?。層流和?流由于兩者內(nèi)部結(jié)構不同，能量損失的規(guī)律也不同。由實驗得到：直管上下游斷面間的水頭損失，層流時與斷而

4、平均流速的一次方成正比，即hf v 1.0 ;紊流時則與流速的1 .75 - 2.0次方成正比，hf v2.0o(二)層流和紊流的判別數(shù)一雷諾數(shù)由于層流和紊流水頭損失的規(guī)律不同，在計算水頭損失前，必須判別流態(tài)。流態(tài)的確定除了與流速的 大小有關外，還與管徑和流休的勃性有關。因此采用綜合性的雷諾數(shù)Re作為判別流態(tài)的無量綱數(shù)。Re = (S-4-3)式中u、d、v分別為流速，管徑和流體的運動黏性系數(shù)。實驗證明，由紊流轉(zhuǎn)變到層流的下臨界雷諾數(shù)是相當穩(wěn)定的Rec = 2300 o而從層流轉(zhuǎn)變到紊流的上臨界雷諾數(shù)R ' e c卻與實驗環(huán)境的擾動的大小有關，自4000 - 2 0000之間變化，所以

5、取 Rec作為判別的依據(jù)。Re < 2300是層流狀態(tài)。Re > 2300 可以認為是紊流狀態(tài)。對于非圓管中的流動，雷諾數(shù)計算中特征長度d可以用水力半徑 R或當量直徑d當來代替AR = y(B-4-4)式中A 過流斷而面積；x 一濕周，指過流斷面上與流體相接觸的那部分固體邊界的長度 4R(6-4*5)d當?shù)?。這里，我們是將與非圓管的水力半徑相等的圓管直徑定義為非圓管的當量直徑因為對于圓管對于其他形狀的斷面，若用d當代替d來計算雷諾數(shù)，臨界值仍是2300 ；若用R代替d計算雷諾數(shù)，2300臨界值變?yōu)?300 = 575 .4【例6-4-1】 內(nèi)徑d = 6mm的水管，水溫20

6、76;C，管中流量為0 021 / s ，試判別流態(tài).若管中通過的是v = 2. 2 x 10- 6m / s的油，流量仍為0.021 / s ，流態(tài)如何？【解】水溫20*0,由表6-1-2査得i/=1.007X10-*ni7s 707m/s加_胡 僅和7 X 6 X 1 r)3_ V 1.0D7 X 10= 4213 >2300流動為素流。12頁管中為油1528 < 23Wr =707 X 6 X 1Q-5I 2 X 10三、圓管中的層流運動(一)均勻流動方程式取一段等直徑圓管中的恒定均勻流來討論，見圖6-4-2 。均勻流動中的能量損失只有沿程不變的切應 因納處，（和十"

7、;、）一（也彳攔）口血，' P0 I 屈再取1 一 1和2 一 2斷面之間的流體寫出動量方程pA pA !偌A£g30_ 氓乂 = 0式中，A為圓管斷面面積，x為斷面上流體與固體壁面相接觸的周界長度。 將I cos B = z 1 一 Z2代入上式并將各項除以P gA得+ Si ?2 = " * I甲 用pa A與能量方程聯(lián)立，可得(6-4-7)式中J為水力坡度。見式（6-3-9）式（6-4-6）或式（6-4-7 ）給出了沿程水頭損失與切應力的關系，即為均勻流動方程式。以上是取半徑為ro的流段來討論的，其邊界上的切應力為t ° ,若取半徑為r的流段，邊界上

8、的切應力為 T,同上可有r ="/« y；（6-4-G）而對于圓管式（6 - 4-7 ）可以寫為t ° = p gJ ,與式（6-4-8）比較，可得2工=工說明在圓管均勻流的過流斷面上，切應力呈直線分布，管壁處切應力最大為T0,管軸處切應力為零。（二）圓管中的層流運動由式（6 1-3）有尸戶鵡對于圓管將dy改為dr ，又因du與dr符號相反，將上式改寫為與式（6-4-8）聯(lián)立可得經(jīng)積分得管壁上r = r o u = 0得(6-4-9):欽is=皿=丄叫從以上的推導得出的結(jié)論是：圓管中的層流，斷面上流速分布是旋轉(zhuǎn)拋物面。平均流速是最大流速的一式中Y沿程阻力系數(shù)所以，

9、從圓管中層流的推導得到的又一個重要結(jié)論是：圓管中層流的水頭損失只與雷諾數(shù)有關，而與 管壁條件無關。且水頭損失與流速的一次方成正比。四、紊流運動的特征紊流中，流體質(zhì)點在運動中不斷互相混雜，使各點的流速、壓強等運動要素都隨時間作無規(guī)則的變化，這種變化稱為脈動現(xiàn)象。圖6-4-3 表示紊流中某點x方向速度ux隨時間t變化的曲線。同樣也可測出該 點Uy、Uz和p隨時間的變化曲線?？雌饋磉@種變化迅速而無規(guī)律，使對紊流的研究十分困難。但經(jīng)深人分 析可知，這種脈動是圍繞某一平均值而變化的這樣，可以將紊流看作兩個流動的疊加。即時間平均流動和uv脈動的疊加。某點在某一瞬時x方向的速度Ux就等于時間平均速度u X和

10、該瞬時脈動流速u x的代數(shù)和。-叭血圖 6-4-3 奉流中速度的超t如冬廠同理，可得圧廠陷+此 町=.+攀；引人時間平均流動的概念后，盡管紊流實質(zhì)上是極無規(guī)則的非恒定流，但只要它的時均值是一常數(shù)就可以將它看成恒定流?；蛘咚臅r均值隨時間遵循某一規(guī)律變化，就可看作是隨時間遵循某一規(guī)律變化的非恒定流（如水箱中水無補給時，經(jīng)水箱孔口的出流），而且前面提到的概念如流線、斷面平均流速等等對于時間平均流動仍可照常應用。但對于紊流的切應力、紊流擴散等問題的研究卻必須考慮紊流的脈動紊流中的切應力除了由于黏性所產(chǎn)生的切應力外，由于質(zhì)點互相摻混、動量的交換，還存在著紊流的 附加切應力，又稱為雷諾應力。T t為紊流

11、附加切應力即雷諾應力。經(jīng)分析可得：T t =UxUy 但Ux Uy等脈動流速難以求出。為了找到由于脈動所引起的紊流附加應力與時均流速的關系，普朗特提出半經(jīng)驗的混合長度理論，推導出:(6-4 14)式中丨一混合長度，流體質(zhì)點因橫向脈動流速作用， 橫向運動一段距離后，才與周圍質(zhì)點進行動量交換.合長度即與此距離有關。由試驗知丨=ky , k為卡門通用常數(shù);dudy時均流速梯度uT這禪"皚+叭訪&4 當雷諾數(shù)較小時，以黏性切應力T v為主。隨Re的增加，紊流附加切應力T t在T中的分量逐漸增大,至雷諾數(shù)相當大時，勃性切應力甚至可以忽略不計由紊流的半經(jīng)驗理論可以得到沿邊界法線方向的流速

12、分布為對數(shù)函數(shù)(6-4-16)式中V 一，直接反映邊界上的切應力T 0，因具有速度的量綱，故稱為剪切速度；c由邊界條件確定 紊流的流速分布，靠近固體邊界處與核心區(qū)域是不同的。緊貼邊界的流體質(zhì)點流速為零，近邊界處流速顯著減小，在邊界附近存在著很薄的黏性底層。在黏性底層內(nèi)流速分布可作為直線分布。而紊流核心區(qū)域內(nèi)由于質(zhì)點相互摻混和動量交換，使速度趨于平均化。此外依據(jù)試驗資料還提出了紊流流速分布的指數(shù)公式：如在Re = 1.1 x 105時<6 4-17>式中r o為圓管半徑.y為流速為u的點至壁面的距離。黏性底層的厚度隨 Re的增大而減小，它雖然很薄，但對能量損失影響很大五、沿程水頭損失

13、流體作均勻流動時，切應力沿程不變，單位長度的能量損失相等，這種損失稱為沿程損失，它的大小與長度成正比，用hf表示。式(6-4-6)已說明了切應力和沿程水頭損失的關系。該式不僅適用于層流也同樣適用于紊流。對于圓管中的層流，通過理論分析，我們已得到了沿程水頭損失的計算公式即式(6-4-13 )，對于紊流，由于完全由理論分析難以求出沿程水頭損失的公式。我們借助于因次分析，同樣可以得到同一形式的沿程水頭損失的計算公式：加=入寺器(6-4-J8)-這里只是入有所不同。式 (6-4-18)是管流的通用公式.與層流不同的是入為雷諾數(shù)及管壁相對粗糙度/d的函數(shù)。為管壁上的粗糙突起高度。對于紊流,無法像對圓管中

14、的層流一樣推導出入，只能依靠實驗研究。最初由尼古拉茲在實驗室中對人工粗糙管(即管壁均勻地黏上一定粒徑的沙子的圓管）測出入與Re和/ d的變化規(guī)律。以后許多人又做了矩形渠道和工業(yè)管道的實驗，總結(jié)出不少經(jīng)驗公式其中考爾布魯克公式*=-如爲；務）Z是根據(jù)大量工業(yè)管道的試驗資料提出的。為了簡化計算，莫迪在此公式基礎上繪成曲線（圖6-4-4 ）稱莫迪圖。從莫迪圖中可以看到：其中橫坐標和縱坐標都是按對數(shù)分格的，稱為雙對數(shù)格紙，這樣畫出來的入-Re曲線圖形即為1g入一 1gRe的曲線圖形。按圖中曲線可分為五個阻力區(qū)，不同區(qū)阻力系數(shù)的規(guī)律不同1層流區(qū)：Re < 2300時,各種不同相對粗糙度的管道的沿程

15、阻力系數(shù)入=衛(wèi)4 .這個結(jié)果與前面理Re論推導完全一致，即入僅與 Re有關.minti.m thus0.070 ifr亠 1 4 翩購HH MtU.U4心N0-(125&020.01513 4 5 6C.dl 。.剛 O.lftS-11/0=0.000005- a.ftjoori-MM.4HHU9411VH I 1-B - I .1_ 一 f - 1_ - > 1 *= 二LHXM5此區(qū)域由于數(shù)值不穩(wěn)定，研究較少圖中2臨界區(qū)（層流一紊流的過渡區(qū)）：2300 < Re < 4000僅用斜線表示。3光滑區(qū)：圖中表示為左下方的包絡線。在此區(qū)內(nèi)由于粗糙突起高度被黏性底層所覆蓋

16、，對阻力系數(shù) 入沒有影響，入仍僅與 Re有關。4紊流過渡區(qū)：圖中表示為光滑管區(qū)至虛線之間的區(qū)域。隨Re的增大，黏性底層厚度減小，粗糙突起高度開始發(fā)生影響。在該區(qū)內(nèi)入與Re及 / d都有關系。入=f （ Re , /d）. / d有關，與Re沒5粗糙區(qū)（阻力平方區(qū)）：圖中虛線以右的部分。曲線呈水平線，即入僅與有關系。因為此時黏性底層已減小到即使Re再增大也不能對流動阻力有什么影響了。使用莫迪曲線求沿程阻力系數(shù)十分簡便，查圖的精度基本上能滿足工程上的需要。圖中的并非簡單的粗糙突起高度，而是工業(yè)管道的當量粗糙度，即是指和工業(yè)管道同直徑，且在紊流粗糙區(qū)人值相等的人工粗糙管的粗糙突起高度。常用管材的當量

17、粗糙度見表6-4-1。常用皆材的當擂額卷矗表右*1當蚩朗13嚴H （nun）嘏戎破聘的天球肓C. 015*0. 0iP，1! 0.240 15一煙績況的能骨C 19C.2S也 294U3【例6-4-2】新鑄鐵管，長500m，內(nèi)徑為150mm，所輸水的溫度為10 C ,流量為40丨/ s 。求水頭損失【解】水溫10C 由表 6-1-2 查得，v = 1.308x 10-6 m/ s .新鑄鐵管，查表6-4-1 = 0. 250.4mm，取 = 0. 3mm4 X 0.040 r "= 264m/3v 1.308X10 1 - 359533由Re和厶 / d在圖6-4-4 莫迪圖上查得入

18、=0.0242 （曲線 / D = 0.002 與豎線 Re = 2.6 X105的交點的入值），在紊流過渡區(qū)內(nèi).I 護 n500 2、26護 即 16-4-19）是紊流過渡區(qū)的公式，也可= Im除查莫迪圖求入外，也可用經(jīng)驗或半經(jīng)驗公式計算。上述式（ 適用于光滑區(qū)和粗糙區(qū)，但計算很不方便。與它相近的下面兩個公式也同樣適用于整個紊流各區(qū)，計算則 較為簡便。巴爾公竝土牝（嘉,+ 課）伽阿里特蘇里公式；A = （今十誥廠用當量直徑d當c為謝才系數(shù),以上公式均為有關管流沿程水頭損失的公式。對于明渠水流，式（6 -4-18）中的d見式（6-4-4）式（6-4-5 代替，也可適用但習慣上采用另一公式：P = C 奶£6-422、A式中v為斷面平均流速；R為斷面的水力半徑R = A式（6-4-4 ） ; J為水力坡度。x為一個具有量綱的系數(shù)。式（6-4-22 ）稱為謝才公式.在紊流粗糙區(qū)，謝才系數(shù)可直接由經(jīng)驗公式算出：曼寧公式*c = R175CGi-23）門甫洛夫斯基公式用（6-4-24）jj 一 N5扁一Q.75旅（扁一OH） （X 13C6-4-2O）式中R