第7講余數(shù)問題

1、第 7 講 余數(shù)問題在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。 當(dāng)不能整除時(shí)，就產(chǎn)生余數(shù)， 所以 余數(shù)問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要。余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（ a，b，c 均為自然數(shù)）：（1）余數(shù)小于除數(shù)。（2）被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)；除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）*商；商=（被除數(shù)-余數(shù)）十除數(shù)。（3） 如果a, b除以c的余數(shù)相同，那么 a與b的差能被c整除。例如，17與11除以 3的余數(shù)都是 2，所以 17-11 能被 3整除。（4） a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以 c的 余數(shù)）。例如， 23， 16除以 5的余數(shù)分別是 3和 1，所以（23+16）除以 5

2、的余數(shù)等于 3+1=4。 注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如，23,19除 以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4，所以（ 23+19）除以 5的余數(shù)等于（ 3+4）除以 5的余數(shù)。（ 5） a 與 b 的乘積除以 c 的余數(shù),等于 a, b 分別除以 c 的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以 c 的余數(shù)）。例如，23, 16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（23 X 16）除以5的余數(shù)等于3 X仁3。注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如，23 ,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以（23X 19）除以5的余數(shù)等于（3X 4）除以5的余數(shù)。性質(zhì)（ 4

3、）（ 5）都可以推廣到多個(gè)自然數(shù)的情形。例 1 5122除以一個(gè)兩位數(shù)得到的余數(shù)是 66，求這個(gè)兩位數(shù)。分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)X商=被除數(shù)-余數(shù)。5122-66=5056 ，5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將 5056分解質(zhì)因數(shù)，得到65056=26X 79。由性質(zhì)（1）知，除數(shù)應(yīng)大于 66,再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在6799之間，符合題意的 5056 的約數(shù)只有 79，所以這個(gè)兩位數(shù)是 79。例2 被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是 2143，已知商是 33，余數(shù)是 52，求被除數(shù)和除數(shù)。解：因?yàn)楸怀龜?shù)=除數(shù)X商+余數(shù)=除數(shù)X 33+52,被除數(shù) =2143- 除數(shù)- 商 - 余數(shù)=2143-

4、除數(shù) -33-52=2058-除數(shù)，所以 除數(shù)x 33+52=2058-除數(shù)，所以 除數(shù)=(2058-52 )- 34=59,被除數(shù) =2058-59=1999 。答：被除數(shù)是 1999，除數(shù)是 59。例 3 甲、乙兩數(shù)的和是 1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商 11余 32，求甲、乙兩數(shù)。解：因?yàn)榧?乙乂 11+32,所以 甲 +乙=乙乂 11+32+乙=乙乂 12+32=1088,所以 乙=(1088-32 )- 12=88,甲=1088- 乙=1000。答：甲數(shù)是 1000，乙數(shù)是 88。例4 有一個(gè)整數(shù)，用它去除 70， 110， 160得到的三個(gè)余數(shù)之和是 50。求這個(gè)數(shù)。分析與解：先由題目條

5、件，求出這個(gè)數(shù)的大致范圍。因?yàn)?0十3=162，所以三個(gè)余數(shù)中至少有一個(gè)大于 16，推知除數(shù)大于 16。由三個(gè)余數(shù)之和是 50知，除數(shù)不應(yīng)大于 70， 所以除數(shù)在1770之間。由題意知( 7+110+160) -50=290 應(yīng)能被這個(gè)數(shù)整除。將 290分解質(zhì)因數(shù)，得到 290=2x5x29， 290在 1770之間的約數(shù)有 29和 58。因?yàn)?10-58=152>50,所以58不合題意。所求整數(shù)是 29。例5求478X 296 X 351除以17的余數(shù)。分析與解 ：先求出乘積再求余數(shù),計(jì)算量較大。根據(jù)性質(zhì)(5),可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以 17的余數(shù),再求余數(shù)之積除以 17的余數(shù)。478

6、, 296, 351 除以 17 的余數(shù)分別為 2, 7 和 11,( 2 X 7X 11)- 17=91。所求余數(shù)是 1。例6 甲、乙兩個(gè)代表團(tuán)乘車去參觀,每輛車可乘 36人。兩代表團(tuán)坐滿若干輛車后,甲 代表團(tuán)余下的 11 人與乙代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完,甲代表團(tuán)的每個(gè)成 員與乙代表團(tuán)的每個(gè)成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個(gè)膠卷可拍36張照片,那么拍完最后一張照片后,相機(jī)里的膠卷還可拍幾張照片？分析與解 ：甲代表團(tuán)坐滿若干輛車后余 11 人，說明甲代表團(tuán)的人數(shù)（簡(jiǎn)稱甲數(shù)）除以36 余 11；兩代表團(tuán)余下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團(tuán)余36-11=25 （人），即乙代表團(tuán)的人

7、數(shù)（簡(jiǎn)稱乙數(shù)）除以 36余 25；甲代表團(tuán)的每個(gè)成員與乙代表團(tuán)的每個(gè)成員兩兩合拍 一張照片，共要拍“甲數(shù)X乙數(shù)”張照片，因?yàn)槊總€(gè)膠卷拍36張，所以最后一個(gè)膠卷拍的張數(shù)，等于“甲數(shù)X乙數(shù)”除以36的余數(shù)。因?yàn)榧讛?shù)除以36余11,乙數(shù)除以36余25,所以“甲數(shù)X乙數(shù)”除以36的余數(shù)等于11X 25 除以 36 的余數(shù)。（11 X 25）- 36=723,即最后一個(gè)膠卷拍了 23 張,還可拍 36-23=13（張）。由例 6看出,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題,有助于我們思考解題。練習(xí) 71. 今天是星期六,再過 1000 天是星期幾？2.已知兩個(gè)自然數(shù) a和b （a> b）,已知a和b除以13的余數(shù)分別是5和9,求a+b, a-b , a X b, a2-b 2各自除以13的余數(shù)。4. 被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是 903，已知除數(shù)是 35，余數(shù)是 2，求被除數(shù)。5. 用一個(gè)整數(shù)去除 345和 543所得的余數(shù)相同，且商相差9，求這