南郵概率論習(xí)題冊答案ppt課件

1、；.11第一章概率論的基本概念第一章概率論的基本概念1. 寫出下列隨機試驗的樣本空間及各隨機事件。寫出下列隨機試驗的樣本空間及各隨機事件。20,11,02 S(2)將將a,b兩個球隨機地放入甲乙盒子中去，觀察甲乙兩個盒子中球的個數(shù)。兩個球隨機地放入甲乙盒子中去，觀察甲乙兩個盒子中球的個數(shù)。A表示表示“甲盒中至少有一個球甲盒中至少有一個球”12,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 S(1)將一顆骰子接連拋擲兩次，記錄兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和。將一顆骰子接連拋擲兩次，記錄兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和。A表示表示“點數(shù)之和小于點數(shù)之和小于6”，B表示事件表示事件“兩次出現(xiàn)的點數(shù)

2、之和為兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為7”。5 , 4 , 3 , 2 A7 B（4）測量一輛汽車通過給定點的速度。）測量一輛汽車通過給定點的速度。A表示表示“汽車速度在汽車速度在60至至80之間之間”(單位：單位：公里公里/小時小時)練習(xí)一練習(xí)一8060| vvA20,11 A(3)記錄南京市記錄南京市110在一小時內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。在一小時內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。A表示表示“南京市南京市110在一小時內(nèi)在一小時內(nèi)收到的呼叫次數(shù)在收到的呼叫次數(shù)在6至至10間間”。, 3 , 2 , 1 , 0 S10, 9 , 8 , 7 , 6 A0| vvS；.22.2.設(shè)設(shè)A、B、C 為三個事件試用為三個事件試用A、B

3、、C 表示下列事件表示下列事件(2)A，B，C 都不發(fā)生都不發(fā)生(1)A與與B 不不發(fā)生，而發(fā)生，而C 發(fā)生發(fā)生(3)A、B、C 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生(4)A、B、C中恰有一個發(fā)生中恰有一個發(fā)生(6) A、B、C 中至多有兩個發(fā)生中至多有兩個發(fā)生(5)A、B、C 中恰有兩個發(fā)生中恰有兩個發(fā)生(7) A、B、C 中中至少有兩個發(fā)生至少有兩個發(fā)生2CBACBACBACBACBACBAACBCABCBACBABCACAB；.33 3. 3.設(shè)設(shè)A、B、C為三個事件為三個事件, ,且且 ， 求求A，B，C都不發(fā)生的概率。都不發(fā)生的概率。 41)()()( CPBPAP81)()( ACPABP

4、0)( BCP)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 0)()(0 BCPABCP21008181414141 )(1CBAP )()(CBAPCBAP 0)( BCP由由 知知 211 21 ；.4481)()1( ABP(2)A、B互不相容互不相容21)(,31)( BPAP 4. 4.設(shè)設(shè)A、B是兩個事件且是兩個事件且 ，試在三種情況下求，試在三種情況下求)(BAP(3)A、B有包含關(guān)系有包含關(guān)系 )()()(ABPAPBAP8131 AB)()()()(ABPAPBAPBAP 245 )()()(ABPAPBAP031 31 0)( ABP)()

5、(BPAP BA )()()(ABPAPBAP0)()( APAP；.55)()()(BAPAPABP 5 . 0)(, 3 . 0)(, 7 . 0)( BAPBPAP5. .設(shè)設(shè)A、B、C是三個事件是三個事件 求求 ， 。)()(BAPBAP2 . 05 . 07 . 0 )()()()(ABPBPAPBAP )()()()(ABPBPABPBAP 8 . 02 . 03 . 07 . 0 1 . 02 . 03 . 0 ；.66解：以解：以A表示事件表示事件“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”151!10!7! 38)( AP練習(xí)二練習(xí)二 1.把把10本不同的書任意放在書架上，求其

6、中指定的本不同的書任意放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率。本書放在一起的概率。10本書任意放置的情況共有本書任意放置的情況共有!103個作整體放置的情況共個作整體放置的情況共3本書的排列共有本書的排列共有8! 3；.76以以A表示事件表示事件“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”以事件以事件A表示表示“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”把事件把事件“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”表示為表示為A把把“指定的指定的3本書放在一起本書放在一起”表示為事件表示為事件A；.87121)(31025 CCAP 2.在房間里有在房間里有10個人，分別佩戴從個人，分別佩戴從1號到

7、號到10號的紀(jì)念章，任選號的紀(jì)念章，任選3人記錄企紀(jì)人記錄企紀(jì)念章的號碼。念章的號碼。(1)求最小號碼為求最小號碼為5的概率的概率解：以解：以A表示事件表示事件“最小號碼為最小號碼為5”(2)求最大號碼為求最大號碼為5的概率的概率解：以解：以B表示事件表示事件“最大號碼為最大號碼為5”201)(31024 CCBP；.98343817341)(151723341010 CCCCAP3.某油漆公司發(fā)出某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆桶油漆，其中白漆10桶，黑漆桶，黑漆4桶，紅漆桶，紅漆3桶，在搬運中所桶，在搬運中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些發(fā)給顧客。問一個訂貨白漆有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些

8、發(fā)給顧客。問一個訂貨白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，紅桶，紅漆漆2桶的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少？桶的顧客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少？解：以解：以A表示事件表示事件“白漆白漆10桶，黑漆桶，黑漆3桶，紅漆桶，紅漆2桶桶”；.109452871078)( AP4.已知在已知在10只晶體管中有只晶體管中有2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。樣，求下列事件的概率。(1)兩只都是正品兩只都是正品解：以解：以A表示事件表示事件“兩只都是正品兩只都是正品”4528)(21028 CCAP(4)第二

9、次取出的是次品第二次取出的是次品解：以解：以C表示事件表示事件“一只是正品，一只是次品一只是正品，一只是次品”45191012)( BP451)(21022 CCBP(2)兩只都是次品兩只都是次品(3)一只是正品，一只是次品；一只是正品，一只是次品；45169108282)( CP解：以解：以B表示事件表示事件“兩只都是次品兩只都是次品”解：以解：以D表示事件表示事件“第二次取出的是次品第二次取出的是次品”519101282)( DP；.1110042 CB 解：以解：以A表示事件表示事件“該方程有重根該方程有重根”。5.考慮一元二次方程考慮一元二次方程 ，其中，其中B,C分別是將一枚骰子接連

10、拋擲兩次先后分別是將一枚骰子接連拋擲兩次先后出現(xiàn)的點數(shù)，求該方程有重根的概率。出現(xiàn)的點數(shù)，求該方程有重根的概率。02 CBxx樣本空間樣本空間S中共有中共有36個元素滿足判別式的樣本點只有個元素滿足判別式的樣本點只有(2,1)和和(4,4)181362)( AP；.1211練習(xí)三練習(xí)三 )|(BABP)()()()(BAPBPAPABP )()(BAPBABP1. (1)已知已知 求求 。, 5 . 0)(, 4 . 0)(, 3 . 0)( BAPBPAP)|(BABP解：解：)()()()()(BAPBPAPBAPAP )()(1)(1)()(1BAPBPAPBAPAP 5 . 04 .

11、013 . 015 . 03 . 01 418 . 02 . 0 (2)已知已知 求求 。,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP)(BAP解：解： )(BAP)()()(ABPBPAP )|()()|()()(ABPAPBAPABPAP )|()()|()|()()(ABPAPBAPABPAPAP 314121314141 31 ；.13122.假設(shè)患肺結(jié)核的人通過透視胸部能被確診的概率為假設(shè)患肺結(jié)核的人通過透視胸部能被確診的概率為0.95，而未患肺結(jié)核的人通過透，而未患肺結(jié)核的人通過透視胸部被誤診為病人的概率為視胸部被誤診為病人的概率為0.002。根據(jù)以往資料表明，某單位職工患

12、肺結(jié)核的概。根據(jù)以往資料表明，某單位職工患肺結(jié)核的概率為率為0.001。現(xiàn)在該單位有一個職工經(jīng)過透視被診斷為患肺結(jié)核，求這個人確實患肺?，F(xiàn)在該單位有一個職工經(jīng)過透視被診斷為患肺結(jié)核，求這個人確實患肺結(jié)核的概率。結(jié)核的概率。解：以解：以A表示事件表示事件“確實患肺結(jié)核確實患肺結(jié)核”，以，以B表示事件表示事件“通過透視被確診通過透視被確診”。95. 0)|( ABP002. 0)|( ABP001. 0)( AP)()()|(BPABPBAP )|()()|()()|()(ABPAPABPAPABPAP 002. 0)001. 01(95. 0001. 095. 0001. 0 3223. 0 ；

13、.14133.已知男子有已知男子有5%是色盲患者，女子有是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，則中隨機地挑選一人，則(1)此人是色盲患者的概率此人是色盲患者的概率005. 0)|( BAP0025. 0)|( BAP)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP 02625. 0 0025. 05 . 005. 05 . 0 )()|()()|(APBAPBPABP 02625. 00025. 05 . 0 解：以解：以A表示事件表示事件“色盲患者色盲患者”，以，以B表示事件表示事件“所取為男子所取為男子”。(2)

14、若此人恰好是色盲患者，問此人是女性的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，問此人是女性的概率是多少？解：解：211 ；.15144.有兩箱同類的零件，第一箱裝有兩箱同類的零件，第一箱裝50只，其中只，其中10只一等品，第二箱裝只一等品，第二箱裝30只，其中只，其中18只一只一等品，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只，作不放回抽等品，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只，作不放回抽樣求樣求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率第一次取到的零件是一等品的概率(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。在第一次取到的零件是一等品的

15、條件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。)2 , 1( iAi解：以解：以 表示事件表示事件“第第i次從零件中取到一等品次從零件中取到一等品”)2 , 1( iBi以以 表示事件表示事件“取到第取到第i箱箱”10621501021 1943. 0 )|()()|()()(2121111BAPBPBAPBPAP )()()|(12112APAAPAAP )|()()|()()(2212121121BAAPBPBAAPBPAAP 52 4 . 01943. 0 4856. 0 2930171821495091021 ；.1615解：解：3198. 0)|( ABP5.設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某

16、船只運輸?shù)哪撤N物品損壞的情況有三種：損壞設(shè)根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸?shù)哪撤N物品損壞的情況有三種：損壞2%，(這一事件記為這一事件記為 )，損壞，損壞10 %(事件事件 )，損壞損壞90%（事件（事件 ）。且知）。且知 現(xiàn)在從已被運輸?shù)奈锲分须S機地取現(xiàn)在從已被運輸?shù)奈锲分须S機地取3件，發(fā)現(xiàn)這件，發(fā)現(xiàn)這3件都是好的件都是好的(這一事件記為這一事件記為B)。試求條。試求條件概率件概率 （這里設(shè)物品數(shù)量很多，取出一件后不影響后一件是（這里設(shè)物品數(shù)量很多，取出一件后不影響后一件是否為好品的概率。）否為好品的概率。）2A3A05. 0)(,15. 0)(, 8 . 0)(321 APAPAP),|

17、(),|(),|(321BAPBAPBAP1A)|()()|()()|()()|()()|(332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP 8731. 0 329 . 0)|( ABP331 . 0)|( ABP33331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 098. 08 . 0 333321 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 09 . 015. 0)|( BAP1268. 0 333331 . 005. 09 . 015. 098. 08 . 01 . 005. 0)|( BAP0001. 0 ；.1716練習(xí)四練習(xí)四)|()()|(

18、)()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP nbaababbab)21(11 abbnn 221. 口袋里裝有口袋里裝有a+b枚硬幣，其中枚硬幣，其中b枚硬幣是廢品枚硬幣是廢品(兩面都是國徽兩面都是國徽)。從口袋中隨機地取。從口袋中隨機地取出出1枚硬幣，并把它獨立地拋擲枚硬幣，并把它獨立地拋擲n次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)向上的一面全是國徽，試求這枚硬幣次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)向上的一面全是國徽，試求這枚硬幣是廢品的概率。是廢品的概率。babBP )(解：以解：以A表示事件表示事件“n次出現(xiàn)都是國徽次出現(xiàn)都是國徽”，B表示事件表示事件“取到廢品取到廢品”baaBP )(；.1817)()()()(APBAP

19、APABP )()()()()()(APAPBAPABPAPABP )|()|(1)|(ABPABPABP 證明：證明：1)|()|( ABPABP2. 設(shè)設(shè) 且且 。 證明證明A與與B相互獨立。相互獨立。1)(0 , 1)(0 BPAP1)(BP )()()(BPAPABP ；.19183. 設(shè)某工廠生產(chǎn)的每臺儀器以概率設(shè)某工廠生產(chǎn)的每臺儀器以概率0.7可以直接出廠；以概率可以直接出廠；以概率0.3需要進一步調(diào)試，經(jīng)需要進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率可以出廠，以概率0.2定位不合格品不能出廠?，F(xiàn)在該廠生產(chǎn)了定位不合格品不能出廠?，F(xiàn)在該廠生產(chǎn)了n(n2)臺儀器，求

20、所有儀器都能出廠的概率。臺儀器，求所有儀器都能出廠的概率。解：以解：以Ai表示事件表示事件“第第i件儀器能出廠件儀器能出廠”，以，以B表示事件表示事件“第第i件儀器需要進一步調(diào)件儀器需要進一步調(diào)試試”，以，以C表示事件：表示事件：“所有儀器都能出廠所有儀器都能出廠”)|()()|()()(BAPBPBAPBPAPiii 17 . 08 . 03 . 0 94. 0 3 . 0)( BP8 . 0)|( BAPi1)|( BAPi7 . 0)( BP)()(321nAAAAPCP n94. 0 ；.20184. 設(shè)有設(shè)有4個獨立工作的元件個獨立工作的元件1,2,3,4，它們的可靠性均為，它們的可

21、靠性均為p。將它們按下圖的方式連接，。將它們按下圖的方式連接，求這個系統(tǒng)的可靠性。求這個系統(tǒng)的可靠性。解：以解：以A表示事件表示事件“系統(tǒng)的可靠性系統(tǒng)的可靠性”22)1(1 )(pAP 22)2(pp ；.211第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1. 一個袋內(nèi)裝有一個袋內(nèi)裝有6個紅球和個紅球和4個白球，從中任取個白球，從中任取3個，設(shè)個，設(shè)X為取到的紅球的個數(shù)，求為取到的紅球的個數(shù)，求X的分布律。的分布律。解：解：X的可能取值為：的可能取值為：練習(xí)一練習(xí)一310340CCXP 3 , 2 , 1 , 0 k31016241CCCXP 31026142CCCXP 310363CCX

22、P 030110312XP32161301 103 21 61 ；.2222. 進行重復(fù)獨立試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為進行重復(fù)獨立試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為 p（0p2Y120 xxdea其它其它 00, 0),()(yxaxyeyxfyx 10dxdyyeaxeyx解：解： 020)(),(2xyxDdyyexdxdxdyyxfYXP 0232322dxxeexxexxx2772742781 01dxxex 022dxexx；.4063.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度 dyyxfxfX),()(其它其它 00 xyxdye其它其它 00),(yxe

23、yxfy求隨機變量求隨機變量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX其它其它 00 xex dxyxfyfY),()(其它其它 000yyydxe其它其它 00yyey；.417 1),(yxf(1)確定常數(shù)確定常數(shù)c解：解：4.設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度 11122xydxdycx(2)求隨機變量求隨機變量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX421 c1214 c其它其它 01),(22yxycxyxf dyyxfxfX),()(其它其它 01182182142114222xxxxyd

24、yx dxyxfyfY),()(其它其它 01027421252yyyyydyxx；.426練習(xí)二練習(xí)二101 p152 q5251151 q1.設(shè)二維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為且隨機變量且隨機變量X與與Y相互獨立，求相互獨立，求p與與q的值。的值。211151q2051XY1 1p511031151q2051XY1 1p5110353525310351 p；.438)()(),(yfxfyxfYX 2.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為(2)判斷隨機變量判斷隨機變量X和和Y是否相互獨立。是否相互獨立。 01

25、1),(22yxyxf 其它其它解：解： 01|12122112xxxxdy 其它其它(1)求隨機變量求隨機變量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01|12122112yyyydx 其它其它顯然顯然不獨立不獨立；.4483.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Y 服從參數(shù)為服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，令的指數(shù)分布，令 2ln02ln11YYX212ln3ln, 2ln0, 021 YPYYPXXP(1)求二維隨機變量求二維隨機變量(X1,X2)的聯(lián)合概率分布律的聯(lián)合概率分布律 3ln03ln12YYX03ln, 2

26、ln1, 021 YYPXXP3ln2ln3ln, 2ln0, 121 YPYYPXXP3ln3ln, 2ln1, 121 YPYYPXXP1216101X2X0103161)2(ln)3(ln FF313ln1 YP(2) 判斷隨機變量判斷隨機變量X1與與X2是否相互獨立是否相互獨立31322121顯然，顯然， 不獨立。不獨立。213221 ；.4594.設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨立的隨機變量，是相互獨立的隨機變量，X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，Y服從參數(shù)服從參數(shù) 的指的指數(shù)分布。數(shù)分布。2 )()(),(yfxfyxfYX (1)求隨機變量求隨機變量X 和和Y 的聯(lián)合概率密度的

27、聯(lián)合概率密度f (x, y); 0101)(xxfX其它其它 0021)(2yeyfyY其它其它由獨立：由獨立： 00, 1021),(2yxeyxfy其它其它022 YXaa(2)設(shè)含有設(shè)含有a的二次方程的二次方程 試求試求a有實根的概率。有實根的概率。22, 044XYYX dxedxdyedxdyyxfXYPxxyxy 10210022)1(21),(2221445. 0)0()1(1 ；.4617練習(xí)三練習(xí)三 zxx101. 設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨立的隨機變量，且是相互獨立的隨機變量，且X和和Y 的概率密度分別為的概率密度分別為 dxxzfxfzfYXZ)()()(求隨機變量求隨機變量Z

28、=X+Y的概率密度的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它其它 00)(yeyfyY其它其它解：解： 011010)(0)(zdxezdxexzzxz其它其它 01)1(101zeezezz其它其它；.4717 zxzxxzx1101010 dxxzfxfzfYXZ)()()(2. 設(shè)設(shè)X和和Y是相互獨立的隨機變量，且都在是相互獨立的隨機變量，且都在(0,1)上服從均勻分布，求隨機變量上服從均勻分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度的概率密度 。)(zfZ 0101)(xxfX其它其它 0101)(yyfY其它其它解：解：X和和Y的概率密度函數(shù)分別為的概率密度函數(shù)分別為 0211011

29、0zdxzdxzz其它其它 021210zzzz其它其它；.483)(, )(21 YX3. 3. 設(shè)設(shè) 是相互獨立的隨機變量，是相互獨立的隨機變量， 證明：證明：YX,)(21 YXZ顯然，顯然， , 2 , 1 , 0!),(222 kekkXPYk , 2 , 1 , 0!),(111 kekkXPXk 0,1, 1, 0 YkXkYXkYXPkZP kiikYiXP0, kiikYPiXP021)!(!201 eikeiikkii)!(!201)(22ikieikkii !kkikikiikikke 210)()!( !22 ikikiikCke 210)(!22 )(2122!)(

30、ekkZPk)(21 YXZ所以所以；.4917 222),()(22zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF2222221)()(),( yxYXeyfxfyxf 2222222221zyxyxdxdye 0 z22YXZ ), 0(2 N4. 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從正態(tài)分布是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從正態(tài)分布 ，試驗證隨機，試驗證隨機變量變量 的概率密度為的概率密度為其它其它 00, 0)(2222 zezzfzZ)0( 我們稱我們稱Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的瑞利分布的瑞利分布證明：由證明：由X和和Y獨立獨立令令 sin,cosryrx 其它其它 00,

31、0)(2222 zezzfzZ；.50175. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(X,Y) 的概率密度為的概率密度為其它其它 00 , 1011),()(1yxeeyxfyx(1)求隨機變量求隨機變量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()( dxyxfyfY),()( 01011101)(1xeedyeexyx其它其它 001110)(1yedxeeyyx其它其它(2)判斷隨機變量判斷隨機變量X和和Y是否相互獨立？是否相互獨立？顯然，顯然， 獨立。獨立。)()(),(yfxfyxfYX ；.5117(3)求隨機變量求隨機變量U=maxX,Y的

32、分布函數(shù)的分布函數(shù) 。)(uFU 111011100011xxeedxeexxxx xXXdxxfxF)()( yYYdyyfyF)()( yyyyedyey00100)()()(uFuFuFYXU 11101)1 (0012ueueeuuu；.521第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征1. 設(shè)在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大負荷的時間設(shè)在某一規(guī)定的時間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大負荷的時間X(以分計以分計)是一個是一個隨機變量其概率密度為隨機變量其概率密度為 dxxxfXE)()( 030001500)3000(150011500015001)(22xxxxxf其它其它

33、試求隨機變量試求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)。xdxxdxx)3000(15001150011500030001500222 解：解；.532解：解：3 . 023 . 004 . 0)2()(2222 XE3 . 0)523(3 . 0)503(4 . 0)5)2(3()53(2222 XE8 . 2 2. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布律為的分布律為 試求試求)53(),(22 XEXE4.02 0XP23.03.04 .13 3.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率密度為的概率密度為 000)(xxexfx(1)求隨機變量求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 dxx

34、xfXE)()( 0dxxex1 (2)求隨機變量求隨機變量Y2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 dxxxfXEYE)(2)2()( 02dxxex2 (3)求隨機變量求隨機變量Ze5X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 dxxfeeEZExX)()()(55 06dxex61 ；.5434.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 100212xdxdyxy dxdyyxxyfXYE),()(其它其它 01012),(2xyyyxf試求試求)(),(),(22YXEXYEXE dxdyyxxfXE),()(54 1516 解：解： 1003212xdxdyyx21 dxdyyxfy

35、xYXE),()()(2222 100422)1212(xdxdyyyx；.554)()()(2121XEXEXXE 解：解：5.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1，X2的概率密度分別為的概率密度分別為(1)求求)(21XXE 81 0002)(21xxexfx(2)又設(shè)又設(shè)X1，X2相互獨立，求相互獨立，求)(21XXE21)(1 XE)()()(2121XEXEXXE 0004)(42xxexfx41)(2 XE43 解：解：；.565練習(xí)二練習(xí)二21211)()()(XEXEXD 1.設(shè)某臺設(shè)備由三個元件所組成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各個元件需要調(diào)整的概率分布為設(shè)某臺設(shè)備由三個元件所組成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各個元

36、件需要調(diào)整的概率分布為0.1,0.2,0.3。假設(shè)各個元件是否需要調(diào)整是相互獨立，以。假設(shè)各個元件是否需要調(diào)整是相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的元件表示同時需要調(diào)整的元件數(shù)，試求數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。的數(shù)學(xué)期望和方差。解：以解：以Xi表示第表示第i個元件的調(diào)整情況，個元件的調(diào)整情況，i=1,2,316. 0 09. 0 1 . 0)(1 XE321XXXX 01iX第第i個元件需要調(diào)整個元件需要調(diào)整第第i個元件不需要調(diào)整個元件不需要調(diào)整2 . 0)(2 XE3 . 0)(3 XE22222)()()(XEXEXD 23233)()()(XEXEXD 21. 0 6 . 0)()()()(

37、321 XEXEXEXE46. 0)()()()(321 XDXDXDXD；.576814835834413)( XE2.設(shè)乒乓球隊設(shè)乒乓球隊A與與B比賽，如果有一個隊勝比賽，如果有一個隊勝3場，則比賽結(jié)束。已知場，則比賽結(jié)束。已知A隊在比賽中獲隊在比賽中獲勝的概率為勝的概率為0.5，試求比賽場數(shù)，試求比賽場數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。解：隨機變量解：隨機變量X的可能取值為的可能取值為3,4,5。41)211()21(333 XP83)211()21(2124223 CXP83)211()21(21252224 CXP；.58722)()()(ZEZEZD (1)寫出隨機變量寫出隨機變量(X,

38、Y)的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。3.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)服從均勻分布。內(nèi)服從均勻分布。xyxxD , 10: 2ln0, 100),(Yxyxxyxf其它其它613 34 解：積分區(qū)域的面積為解：積分區(qū)域的面積為1 dxdyyxfyxYXEZE),()2()2()(2)求隨機變量求隨機變量Z2XY的數(shù)學(xué)期望及方差。的數(shù)學(xué)期望及方差。 10)2(xxdxdyyx dxdyyxfyxyxYXYXEZE),()44()44()(22222 1022)44(xxdxdyyxyx187916613 ；.598 3)(3 dxxfXP解：解：21 )21,

39、 4( bY521)()()(222 YEYDYE1)211(214)( YDdxx 32cos214.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率密度為的概率密度為 ，對，對X獨立地重復(fù)觀察獨立地重復(fù)觀察4次，用次，用Y表表示觀察值大于示觀察值大于 的次數(shù)，求隨機變量的次數(shù)，求隨機變量 的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 00cos21)( xxxf其它其它3 2Y2214)( YE；.609)()(2)2()(YEXEYXEZE (1)求隨機變量求隨機變量Z=2X+Y的分布；的分布；)()(4)2()(YDXDYXDZD )65,2080(2NZ)1525,80( NZ20806407202 80640720)()

40、()()( YEXEYXEZE令令15252530)()()()(22 YDXDYXDZD5.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，相互獨立，)25,640(),30,720(22NYNXYXZ 解：解：42252530422 YXP (2)求概率求概率9798. 0)1525800(10100 ZPZPYXPYXP1400 YXP(3)求概率求概率令令YXZ )1525,1360( NZ1539. 0)152513601400(11400114001400 ZPZPYXP；.6110練習(xí)三練習(xí)三0)()()(),( YEXEXYEYXCov1. 設(shè)二維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y

41、)的聯(lián)合分布律為：的聯(lián)合分布律為：083141083)1()( XE試證明：試證明：X和和Y是不相關(guān)的，但是不相關(guān)的，但X與與Y不是相互獨立的。不是相互獨立的。81)1(081)1(181)1(081)1()1()( XYE1 8181011 XY010818181818181418383838341083141083)1()( YE08111810181)1(18110000 0 XY 故故X,Y不相關(guān)，而且不獨立。不相關(guān)，而且不獨立。；.62110)()()(),( YEXEXYEYXCov),(),(YXCovXE2. 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)服

42、從均勻分布，計內(nèi)服從均勻分布，計算算 。xyxxD , 10: dxdyyxxfXE),()( 0, 101),(xyxxyxf其它其它解：解：(X,Y)的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為3210 xxxdxdy dxdyyxyfYE),()(010 xxydxdy dxdyyxxyfXYE),()(010 xxxydxdy；.6312解：解： 1314441 )2 ,2(),(21YXYXCovXXCov ),(4)(4)()2()(1YXCovYDXDYXDXD )()()()()()()(),(212121212121XDXDXEXEXXEXDXDXXCovXX 13254135 4111

43、3.3.設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(X,Y)的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為 ，求，求 與與 的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。YXX21 YXX 22),(2),(4),(),(2YYCovXYCovYXCovXXCov 4214112 5 ),(4)()(4)2()(2YXCovYDXDYXDXD 414414 ；.64131212100 dxexdxexxx dxxfxXE)(|)(|Rxexfx ,21)(|4. 設(shè)連續(xù)型隨即變量設(shè)連續(xù)型隨即變量X的概率密度為的概率密度為(1)問問X與與|X|是否相關(guān)？為什么？是否相關(guān)？為什么？解：解：0|)(|)()|(|)|,(| XEXEXXEXXCov dxxxf

44、XE)()(0212100 dxexdxexxx dxxfxxXXE)(|)|(|021210202 dxexdxexxx顯然不相關(guān)。顯然不相關(guān)。(2)問問X與與|X|是否獨立？為什么？是否獨立？為什么？不獨立不獨立；.65145. 已知已知 ，試求，試求17)(, 9)(, 4)( YXDYDXD(1)協(xié)方差協(xié)方差),(YXCov2179421)()()(21),( YXDYDXDYXCov31322)()(),( YDXDYXCovXY 17),(2)()()( YXCovYDXDYXD(3)互協(xié)方差互協(xié)方差),2(YXYXCov (2)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)XY ),(2),(2),(),()

45、,2(YYCovXYCovYXCovXXCovYXYXCov )(2),(2),()(YDXYCovYXCovXD 1292424 ；.661第五章第五章 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理1. 設(shè)設(shè) ，則由契比雪夫不等式有，則由契比雪夫不等式有 3| XP2)(,)( XDXE解：解：989122 2.設(shè)設(shè) 相互獨立且均服從參數(shù)相互獨立且均服從參數(shù) 的泊松分布，試證明：當(dāng)?shù)牟此煞植?，試證明：當(dāng)n趨向于無趨向于無窮大時，窮大時， 依概率收斂于依概率收斂于12。nXXX,213 niinXnY1211293)()()(222 iiiXEXDXE niiniinXEnXnEYE1212)

46、(1)1()(12121 nn由辛欽大數(shù)定律由辛欽大數(shù)定律1|12|lim YPn；.672221212)()(1)1()(aXEXEnXnEZEiniiniin 證明：當(dāng)證明：當(dāng)n充分大時，充分大時， 近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)。近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)。 niinXnZ121解：解：22)(aXE )()(11lim)(lim224212xxnaanaXnPzFniinZnn )(1,(2242aanaNZn 3.設(shè)設(shè) 相互獨立且同分布，已知相互獨立且同分布，已知nXXX,214 , 3 , 2 , 1,)( kaXEkk44)(aXE 2242)()()(XEXEXD

47、224aa )(1)(1)(1)1()(224212212aanXDnXDnXnDZDiniiniin ；.6834.有一批建筑房屋用的木柱，其中有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于的長度不小于3m，現(xiàn)從這批木柱中隨機地取，現(xiàn)從這批木柱中隨機地取出出100根，問其中至少有根，問其中至少有30根短于根短于3m的概率是多少。的概率是多少。2 . 0)( XE1301001 iiXPVP解：設(shè)隨機變量解：設(shè)隨機變量0062. 09938. 01)5 . 2(142 . 0100308 . 02 . 01002 . 010011001 iiXP 10X木柱長度不小于木柱長度不小于3m木柱長度

48、小于木柱長度小于3mX服從服從(0-1)分布且分布且16. 0)( XD 1001iiXV令令；.694 1515115115150011500115001iiiiiiXPXPXP解：設(shè)解：設(shè)X表示隨機變量，則舍入誤差表示隨機變量，則舍入誤差XU(-0.5,0.5)5.計算器在進行加法時，將每個加數(shù)取最靠近它的數(shù)據(jù)。設(shè)所有的舍入誤差是獨立計算器在進行加法時，將每個加數(shù)取最靠近它的數(shù)據(jù)。設(shè)所有的舍入誤差是獨立的。且在的。且在(-0.5,0.5)上服從均勻分布。上服從均勻分布。(1)若將若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少的概率是多少121)

49、(, 0)( XDXE 1211500015001512115000150012115000150015115001iiX1802. 0 )341. 1()341. 1(1 解：設(shè)最多可以有解：設(shè)最多可以有n個數(shù)相加使得誤差總和絕對值小于個數(shù)相加使得誤差總和絕對值小于10(2)最多可以有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于最多可以有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于的概率不小于0.9？ 10101011niiniiXPXP9 . 012010120120101 nnnnXnnnii解之得：解之得：65. 11210 n441 n；.701第六章樣本及抽樣分布第六章樣本及抽樣分布解

50、：解：1.自總體自總體X抽得一個容量為抽得一個容量為5的樣本為的樣本為8,2,5,3,7，求樣本均值，求樣本均值 和樣本方差和樣本方差 及經(jīng)驗及經(jīng)驗分布函數(shù)分布函數(shù) 。X)(xFs2S5573528 X 222222)57()53()55()52()58(151 S5 . 6)44099(41 81875475535352325120)(xxxxxxxFs練習(xí)一練習(xí)一；.71238033|80| XPXP解：解：8664. 0 2.在總體在總體 中隨機地取一容量為中隨機地取一容量為100的樣本，問樣本均值與總體均值差的樣本，問樣本均值與總體均值差的絕對值小于的絕對值小于3的概率是多少？的概率是

51、多少？)20,80(2NX1002031002080100203 XP)5 . 1()5 . 1( 19332. 021)5 . 1(2 ；.7231121121|12| XPXPXP2628. 08686. 01 2)12. 1(1 2 5XZzFzF)()( (1)求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率。的概率。3.在總體在總體XN(12,4)中隨機地抽一容量為中隨機地抽一容量為5的樣本的樣本nXXX,212923093320121215115F1555X.).()()( )12. 1()12. 1(152152125215212 XPXP),ma

52、x(521XXXZ 解：令解：令15),max(521 XXXP(2)求概率求概率解：解：10),min(521 XXXP(3)求概率求概率1511515),max(521 ZPZPXXXP)10(1010),min(521ZFZPXXXP ),min(521XXXZ 解：令解：令5XZzF11zF)()( 5785. 0)8413. 0(1)1(1)21210(1 1)10(1 15555 XF；.7312.設(shè)設(shè) 是取自具有是取自具有 分布的總體的樣本，分布的總體的樣本， 與與 分別為樣本均值與樣分別為樣本均值與樣本方差求本方差求X1621,XXX)(2n 2S)(),(),(2SEXDXE

53、解：設(shè)總體為解：設(shè)總體為XnXDnXE2)(,)( nXEXE )()(816216)()(nnXDXD nXDSE2)()(2 ；.741解：解：1.設(shè)設(shè) 是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，求概的簡單隨機樣本，求概率率 。44. 11012 iiXP1021,XXX)3.0,0(2N44. 11012 iiXP 101223 . 044. 13 . 00iiXP1 . 0 )1 , 0(3 . 003NX 練習(xí)二練習(xí)二)10(3 . 0010122 iiX 1012163 . 00iiXP解：設(shè)總體為解：設(shè)總體為X )(,)(XDXE )()(XEXEnnXDXD )()( )(

54、)(2XDSE44. 11012 iiXP2.設(shè)設(shè) 是取自參數(shù)為是取自參數(shù)為 的泊松總體的泊松總體 的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本， 與與 分別為樣本均值與樣本方差求分別為樣本均值與樣本方差求XnXXX,21 2S)(),(),(2SEXDXE)( X；.751132 d0)(2)(21 XEXXE4321,XXXX3.(1)設(shè)設(shè) 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體XN(0,2)的一個簡單隨機樣本，試給出常數(shù)的一個簡單隨機樣本，試給出常數(shù)c使使得得 服從服從 分布，并指出它的自由度。分布，并指出它的自由度。2 )()(243221XXXXcY解：解：c = 1/4，自由度為，自由度為2。 解

55、：解：2)(2)(21 XDXXD25242321252423213232XXXXXdXXXXXd 26 d自由度為自由度為3。 25242321XXXXXd (2設(shè)設(shè) 是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體XN(0,1)的一個簡單隨機樣本，試給出常數(shù)的一個簡單隨機樣本，試給出常數(shù) d 使使得得 服從服從 t 分布，并指出它的自由度。分布，并指出它的自由度。54321,XXXXX；.76130)15(22 SD)1()1(222 nSn (1)求求 ，其中，其中 為樣本方差。為樣本方差。2S04. 222 SP(2)求求)(2SD解：由解：由01. 016 .301504. 2151504. 22222

56、22 SPSPSP)1(2)1(22 nSnD 30)(22524 SD 解：解： 4.設(shè)在總體設(shè)在總體 中抽取一容量為中抽取一容量為16的樣本，這里的樣本，這里 均為未知。均為未知。),(2 N2, )15(15222 S42152)( SD99. 0；.7701 1.隨機地取隨機地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為只活塞環(huán)，測得它們的直徑為(以以mm計計)2 .746 .748 .730 .741 .743 .745 .741 .74試求總體均值試求總體均值 及方差及方差 的矩估計值，并求樣本方差。的矩估計值，并求樣本方差。 2 解：解： X niiXn11)2 .746 .748 .730

57、.741 .743 .745 .741 .74(81 2 .74 2 niiXXn12)(1)2 .742 .74()2 .746 .74()2 .748 .73()2 .740 .74()2 .741 .74()2 .743 .74()2 .745 .74()2 .741 .74(8122222222 48. 081 06. 0 2S niiXXn12)(1148. 0181 06857. 0 第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計 練習(xí)一練習(xí)一 ；.78022.設(shè)總體設(shè)總體X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為(1) 矩估計量矩估計量 cxcxxcxf0)()1( 1 c1 cxc 11且且 是來自總體是來

58、自總體X的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本， 為相應(yīng)的樣本值，求參數(shù)為相應(yīng)的樣本值，求參數(shù) 的的矩估計量和最大似然估計量。矩估計量和最大似然估計量。(其中其中c已知且已知且 )1 nxxx,21nXXX,21解解:)(XE dxxxf)( cdxxcx)1( 解之得：解之得：c 11 將將 代入代入11A cXXcAA 11 ；.7903(2) 最大似然估計量最大似然估計量解解:最大似然函數(shù)為：最大似然函數(shù)為： cxcxxxxciinnn0)()1(21 求對數(shù)求對數(shù) niixfL1);()( niixcnnL1ln)1(lnln)(ln 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)0lnln)(ln1 niixcnnd

59、Ld 解之得，最大似然估計值為解之得，最大似然估計值為cnxnniilnln1 最大似然估計量為最大似然估計量為cnXnniilnln1 ；.80043.已知總體已知總體X 的分布律為的分布律為10, 2 , 1 , 0)1(pmxppCxXPxmxxmmp1 )(1XE 解之得：解之得：將將 代入得矩估計量代入得矩估計量11 AmpmAp1 p為未知參數(shù)。為未知參數(shù)。且且 是來自總體是來自總體X的一個簡單隨機樣本，的一個簡單隨機樣本， 為相應(yīng)的樣本值，求參數(shù)為相應(yīng)的樣本值，求參數(shù)p的矩估的矩估計量和最大似然估計量。計量和最大似然估計量。nxxx,21nXXX,21(1) 矩估計量矩估計量解解

60、:mX；.8105求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)niiniinxnmxxmxmxmppCCC1121)1(求對數(shù)求對數(shù)最大似然函數(shù)最大似然函數(shù) niixXPpL1)(最大似然估計量為最大似然估計量為)1ln(lnln)(ln111pxnmpxCpLniiniinixmi(2) 最大似然估計量最大似然估計量解解:01)(ln11pxnmpxdppLdniiniimxp 最大似然估計值為最大似然估計值為mXp ；.82064.設(shè)總體設(shè)總體X具有分布律具有分布律)(1XE 2, 3, 2, 14321 xxxx(1) 矩估計值矩估計值 23 解之得解之得:其中其中 為未知參數(shù)，已知取得了樣本值為未知參數(shù)，已知取得了樣