高等數(shù)學(xué)：01第一章 第1節(jié) 函數(shù)

1、1 在科學(xué)上沒有平坦的大道在科學(xué)上沒有平坦的大道 , 只有不畏只有不畏勞苦沿著陡峭山路攀登的人勞苦沿著陡峭山路攀登的人 , 才有希望到才有希望到達光輝的頂點達光輝的頂點 .歡迎同學(xué)們歡迎同學(xué)們！學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程 馬克思馬克思2基本要求：基本要求：安定思想；安定思想；學(xué)會生活；學(xué)會生活；適應(yīng)學(xué)習(xí)；適應(yīng)學(xué)習(xí)；嚴格要求。嚴格要求。聰明在于勤奮聰明在于勤奮 , , 天才在于積累天才在于積累 . .3的的重重要要性性：一一、高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)課課程程的對象：的對象：二、高等數(shù)學(xué)研究二、高等數(shù)學(xué)研究間的關(guān)系。間的關(guān)系。主要研究變量與變量之主要研究變量與變量之具體內(nèi)容：具體內(nèi)容：）一元函數(shù)微積

2、分；）一元函數(shù)微積分；（1）多元函數(shù)微積分；）多元函數(shù)微積分；（2 （3） 無窮級數(shù)； （4） 向量代數(shù)與空間解析幾何;（5） 常微分方程.4求：求：三、學(xué)習(xí)方法及基本要三、學(xué)習(xí)方法及基本要課后復(fù)習(xí)課后復(fù)習(xí)課堂學(xué)習(xí)課堂學(xué)習(xí)課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)要求：要求：、遵守課堂紀律；、遵守課堂紀律；1、認真聽課、記筆記；、認真聽課、記筆記；2、按時完成作業(yè)；、按時完成作業(yè)；3.4、有問題及時答疑、有問題及時答疑。四、多媒體教學(xué)的特點5一、集合:二、函數(shù)概念三、映射四、函數(shù)的特性五、反函數(shù)六、基本初等函數(shù)七、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)映射與函數(shù)第一節(jié)6具具有有特特定定性性質(zhì)質(zhì)xxM 有限集有限集無限集無限集映射與函數(shù)第一

3、節(jié)一.集合:、集合、集合1,9210M如如),( 1222yxyxM如如、集合間的關(guān)系：、集合間的關(guān)系：2）子集；）子集；（1）集合相等；）集合相等；（2）空集；）空集；（37）集合運算：）集合運算：（4BxAxxBA且且如如BxAxxBA或者或者、常用數(shù)的集合：、常用數(shù)的集合：3N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實數(shù)集實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN84.4.區(qū)間與記號區(qū)間與記號: :.,baRba且且,bxaxba閉區(qū)間：閉區(qū)間：oxaboxab開區(qū)間：),(bxaba9),bxaxba,(bxaxba半開區(qū)間：半開區(qū)間：),xaxa),(bxxb

4、無限區(qū)間),(Rxx105.5.鄰域鄰域: :.,0 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設(shè)設(shè)a),( aU記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxaU即即:鄰域鄰域的去心的的去心的點點 a. ),( axxaU0,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxxa)(aa11、兩閉區(qū)間的直積6,),(,dcybaxyxdcba平面上的矩形區(qū)域。它表示xoy127.7.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值

5、變化的量稱為變量變量.用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量.13二、函數(shù)概念引例引例勻速直線運動:),0ttvs圓的面積與半徑的關(guān)系：),(,02rrA 定義：定義：是兩個變量，是兩個變量，和和設(shè)設(shè)yx是一個給定的數(shù)集，是一個給定的數(shù)集，D按按照照一一定定法法則則變變量量如如果果對對于于每每個個數(shù)數(shù)yDx,應(yīng)，應(yīng)，總有確定的數(shù)值和它對總有確定的數(shù)值和它對的函數(shù)，的函數(shù)，是是則稱則稱xy14)(xfy 記作記作稱為定義域；稱為定義域；的取值范圍的取值范圍稱為自變量，稱為自變量，Dxx1 1、函數(shù)的二要素、函數(shù)的二要素: : （1 1）定義域；）定義域； （2 2）對應(yīng)規(guī)律。）對應(yīng)規(guī)律。

6、說明：說明：xysin如如的函數(shù)，的函數(shù)，是是xy), 0定定義義域域為為.,11值域為值域為.cos)(,sin)(221xxgxxf如如).()(xgxf15、單值函數(shù)：、單值函數(shù)：24xy 如如多值函數(shù)：多值函數(shù)：122 yx如如值域。值域。、會求函數(shù)的定義域及、會求函數(shù)的定義域及3例例1 1. . 求下列函數(shù)的定義域:;)(21112xxy解解,021xx由由故定義域為), 1 () 1 , 1() 1, 2D16)(lg)(arccos)(xxy2112解解 因11 x021x即20 x21x故定義域為),021D17 (1) 符號函數(shù)符號函數(shù)010001xxxxy當當當當當當sgn

7、3、幾個特殊的函數(shù)舉例、幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxxsgn),(D定定義義域域,101W值域值域圖形：圖形：18(2) 取整函數(shù)：取整函數(shù)： y=x x表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x53如, 03, 1 8, 88 . 3. 4),(D定義域定義域ZW 值域值域圖形：圖形：19（3）分段函數(shù)）分段函數(shù)函數(shù)。函數(shù)。用幾個式子表示的一個用幾個式子表示的一個0, 10, 12)(,2xxxxxf例如12 xy12 xy),(D定定義義域域 )2(f, 3)(3f. 520(4)

8、取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg21例例2 2.)3(,212101)(的定義域求函數(shù)設(shè)xfxxxf解解1031(3)2132xf xx101( )212xf xx122231xx 1, 3 :D故故22三、映射、映射的定義1、定義1存在一個是兩個非空集合，如果、設(shè)YX, fxXf，按照法則中每個元素，使得對法則為與之對應(yīng)，則稱中有唯一確定的元素在fyY記作的映射到從,YX,:YXf其中即下）的像，并記作（在映射稱為元素),(xffxy),(xfy 下）的一個原像；（在映射稱為元素fyx;,XDDfXff即

9、的定義域，記作稱為映射集合23的值域，的集合稱為映射中所有元素的像所組成fX)()(),(XxxfXfRXfRff即或記作：從映射定義中，需注意:) 1 ( 映射構(gòu)成的三要素,X定義域,YRf值域; f對應(yīng)法則是唯一的，是唯一的，的像的像元素元素任任yxXx,)(2,)(,:12xxfRRf設(shè)例RYRRDfff但是一個映射，,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例 1 , 1,2,2ffRDf是一個映射，;YRf反之不一定，即不一定反之不一定，即不一定24、定義2,YRYXff若的映射到集合是從集合設(shè)上到為則稱中某元素的像都是中任一元素即YXfXyY,上的映射或滿射；),()(,212

10、1xfxfxxX它們的像中任意兩個不同元素若對;的單射到為則稱YXf映射（或雙射）。為一一則稱既是單射，又是滿射，若映射ff,)(,:12xxfRRf設(shè)例既非單射，又非滿射；,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例一一映射）；既是單射，又是滿射（25映射又稱為算子；上的泛函；的映射稱為到數(shù)集若從非空集XYX上的變換；到它自身的映射稱為若從非空集XX上的函數(shù)；稱為定義在的映射到數(shù)集）若從實數(shù)集（或其子集XYX用映射定義函數(shù)：上為定義在集，則稱映射設(shè)數(shù)DRDfRD:的函數(shù)，通常簡記為,),(Dxxfy.,稱為定義域稱為函數(shù)稱為自變量Dyx26：定義3有的單射，即對每個到是設(shè),fRyYXf.

11、)(yxfXx，適合唯一的于是可定義一個,gXRf的新映射到從即,:XRgf,)(,)(yxfxxygRyf滿足這里，規(guī)定對每個,1ffg的逆映射，記作稱為這個映射.,11XRRDfff值域其中定義域由此知：；只有單射才存在逆映射,)(,:12xxfRRf設(shè)例不存在逆映射；,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例27,sin)(,1 , 12,2 :2xxff設(shè)例逆映射 1 , 1,arcsin)(1xxxf,1 , 11fD其定義域.2,21fR值域4定義設(shè)有兩個映射,:1YXg,:2ZYf,21YY 其中,)(ZxgfXx，則對任構(gòu)成的復(fù)合映射，和此映射稱為映射fg即記作,gf ,

12、:ZXgf.),()(Xxxgfxgf由定義知：28的定義域內(nèi)；的值域必須在）（fg1一定有意義。有意義并不表示）（fggf23例,2,2,sin)(xxxg;1 , 1,1)(2uuufxxxfxgfxgfcossin1)(sin)()(229四、函數(shù)的特性,)(,成立成立有有若若MxfXxMDX01函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:）上有界，）上有界，在（在（如如22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy ）上無界。）上無界。，在（在（ 10.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf302函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,Ixx21當21xx 時,),()(21xf

13、xf若若上的單調(diào)增加函數(shù)；上的單調(diào)增加函數(shù)；為為稱稱Ixf)(, )()(21xfxf若若上上的的單單調(diào)調(diào)減減少少函函數(shù)數(shù)；為為稱稱Ixf)(單增單增如如3xyxy,?2xy 313函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD)()(xfxfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf32有有對于對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱設(shè)設(shè),DxD)()(xfxf;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 33偶函數(shù)偶函數(shù)如如242xxxgxxf)(,cos)()ln()(,ln)(,)(11

14、123231xxxfxxxfxxf均為奇函數(shù)均為奇函數(shù)xxxfcos)(都不是都不是344函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期,0lDx)()(xflxf使使為周期函數(shù)。為周期函數(shù)。稱稱)(xfxo2y2xysin如如35五、反函數(shù))()(yxxfy 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)由由).(xy 也可記作為也可記作為12 xy如：如：,21yx反函數(shù)：反函數(shù)：;21xy也可寫成：也可寫成：xey ,ln yx 反函數(shù)：反函數(shù)：.ln xy 也可寫成：也可寫成：36)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反

15、函數(shù)說明：說明：對稱；對稱；圖形關(guān)于圖形關(guān)于）原函數(shù)與其反函數(shù)的）原函數(shù)與其反函數(shù)的（xy 137一一定定是是單單值值函函數(shù)數(shù)，）單單值值函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)不不（22xy 如：如：.yx反函數(shù)：反函數(shù)：單調(diào)增（減），單調(diào)增（減），）若）若（)(xfy 3）。）。其反函數(shù)也單調(diào)增（減其反函數(shù)也單調(diào)增（減38六、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù) xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 392.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 , 0( xey 403.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),(log10aaxyaxylnxyalogxya1lo

16、g)(1a)0 , 1( 414.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysinxysin42xycosxycos余弦函數(shù)余弦函數(shù)43正切函數(shù)正切函數(shù)xytanxytan44xycot余切函數(shù)余切函數(shù)xycot45正割函數(shù)正割函數(shù)xysecxysec46xycsc余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc475.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsinxyarcsin反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)48xyarccosxyarccos反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)49xyarctanxyarctan反反正正切切函函數(shù)數(shù)50 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基

17、本初等函數(shù).xarcycot反余切函數(shù)反余切函數(shù)xarcycot51七、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),21xu21xy定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域為的值域為 Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù). ,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y52注意注意: : 1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu)arcsin(22xy2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以

18、由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.,cot2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示一個式子表示的函的函數(shù)數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).53例例1. 求求21210 01 12xexxxxyx,ln,的反函數(shù)及其定義域.解解時時，當當01x, ,(102 xy1,0(,yyx時，時，當當10 x, 0,(lnxy時時，當當21 x, 2,2(21eeyx,(,0 xeyx即即反函數(shù)反函數(shù),(,10 xxy即即反函數(shù)反

19、函數(shù)0,(,yexy54反函數(shù)y,(,lnexx2212,(,10 xx0,(,xex定義域為,(,(e221 2,2(,ln12eyxy反函數(shù)2,2(,ln12exyx即即552011P習(xí)題20,18),4)(3(17),5)(3)(1 (14,10, 8),9)(8)(7(6),2(5),2(3 , 1作業(yè)作業(yè)56八、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 2157xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)有界函數(shù),58雙曲函數(shù)常