二重積分習(xí)題

1、第九章二重積分習(xí)題9-11、設(shè) Ii (x2 y2)3d , Di其中 Di (x,y)| 1 x 1, 2 y 2；又 I2(x2 y2)3d ,D2其中 D2 (x,y)|0 x 1,0 y 2,試?yán)枚胤e分的幾何意義說(shuō)明I1與I2之間的關(guān)系.解：由于二重積分I1表示的立體關(guān)于坐標(biāo)面x 0及y 0對(duì)稱，且I1位于第一卦限部分與I2 一致因此I1 4I2.2、利用二重積分的幾何意義說(shuō)明：(1)當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x,y)為x的奇函數(shù)，即f( x, y)f(x, y)時(shí)，有f (x, y)d 0;D(2)當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x,y)為x的偶函數(shù)，即f ( x, y) f(

2、x, y)時(shí)，有f (x, y)d 2 f (x, y)d ，其中 D1為 D 在DD1x 0的部分.并由此計(jì)算下列積分的值，其中D ( x, y) | x2y2R2. 3(I)xy4d ;(II)yv'R2 x2y2d ;(III) y(2°SX2 d .DDD 1 x y解：令I(lǐng) f(x, y)d , I1 f(x, y)d ，其中D1為D在x 0的部分, DD1(1)由于D關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x, y)為x的奇函數(shù)，那么I表示的立體關(guān) 于坐標(biāo)面x 0對(duì)稱，且在x 0的部分的體積為I1，在x 0的部分的 體積為I1,于是I 0;(2)由于D關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x,y)為x的偶

3、函數(shù)，那么I表示的立體關(guān) 于坐標(biāo)面x 0對(duì)稱，且在x 0的部分的體積為I1，在x 0的部分的 體積也為I1，于是I 2I1.(I)由于D (x, y)|x2 y2R2關(guān)于y軸對(duì)稱，且f (x, y) xy4為x的奇函數(shù)，于是xy4d0;D.222(II)由于D (x,y)|x y R關(guān)于x軸對(duì)稱，且f(x,y) WR x2 y2 為 y 的奇函數(shù)，于是yJRx2，d0；D(III)由于D ( x, y) | x2y2R2關(guān)于x軸對(duì)稱，且33一 、 y cosx 牝一日 y cosx ._f (x,y) 22為 y 的奇函數(shù)，于是 22d 0.1 x yd 1 x y3、根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較

4、下列積分的大小：(1) Ii (x y)2d 與I2 (x y)3d ，其中D是由x軸、y軸與直 DD線x y 1所圍成；解：由于在D內(nèi),0 x y 1,有0 (x y)3 (x y)2,所以 3212 (x y) d (x y) d I1.DD I1 ln(x y)d 與 I2 ln(x y)2d , DD其中 D ( x, y)|3 x 5,0 y 1.解：由于在 D 內(nèi),e 3 x y 6,有 ln(x y) 1 ,ln( x y) ln( x y)2, 所以211 ln(x y)d ln(x y) d I2. DD4、利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列二重積分的值： I xy(x y 1)d

5、, D其中 D ( x, y)|0 x 1,0 y 2；解：由于D的面積為2,且在D內(nèi),0 xy(x y 1) 8 ,那么0 0 2 xy(x y 1)d8 2 16.D一、22 I (x 4y 9)d , D其中 D ( x, y) | x2 y2解：由于D的面積為49 x2364y2 9 (x2D d4；，且在D內(nèi)，13 3y2 25,那么24y2 9)d25410022,其中Dd 100 cos x cos y( x, y)| |x| |y| 10；解：由于D的面積為200，且在D內(nèi),111 w/z 22 ，那么102 100 cos x cos y 100200 2.100100200

6、d_ , 2251102 d 100 cos x cos y習(xí)題9-21、計(jì)算下列二重積分：D 解：(x2 y2)d，其中D是矩形區(qū)域：|x| 1,|y| 1(x2Dy2)d1dx11221(x y )dy122 i(X1-)dx 3解:x2xyey2，其中D (x,y)|ax b, cd；(x2D 4(e1 (3xy2)db2a2e2y)d)(e1 dx2 y2dx (xye )dy c1 d22(ec2 e )，其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線xb x xe dx.ay 2所圍成的閉D 區(qū)域;解:(3x2y)d2 x29dxQ (3x 2y)dy ° (4 2x 2x2)dx203 xc

7、os(x y)d ，其中D是頂點(diǎn)分別為(0,0),( ,0)和(，)的三角D形閉區(qū)域.x角單： xcosx y)d 0 dx°xcosx y)dy o x(sin2x sinx)dxD2、回出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分： a:=0.1;域;解:域;解:解:解:xjyd ，其中D是由兩條拋物線yDx ydDyd xYdD x(2x(2x/ 2x 1(e- x, yx2所圍成的閉區(qū)1dx0-x2x2 x Yyc|y 37(x7x4)dx655，其中D是由直線y x, y2x及x 1,x 2所圍成的閉區(qū)y)dy)d2x y 3 2dx dy 一x x 2 1，其中D是由y2 ydy 1

8、(2x y)dx1"一'” yd ，其中D是由|x|yd0dx11 x y1e dyxdxx, y12(2y2|y Ie 1)dx10(e2x 1、e )dx9 .41一及y 2所圍成的團(tuán)區(qū)域;x191 -)dy .y 61所確定的閉區(qū)域.1dx0ydy3 e2e 212eb:=x-1.-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify。')；3、如果二重積分f(x, y)d的被積函數(shù)f(x,y)是兩個(gè)函數(shù)f1(x)及Df2(y)的乘積，即f(x, y) fi(x)f2(y),積分區(qū)域D (x, y)|a

9、x b,c y d,證明這個(gè)二重積分等于兩個(gè)單積分的 乘積，即bdf (x, y)dfi(x)dxf2(y)dy .acD證明：bdbdfi(x)f2(y)dy dxfi(x)dxfz(y)dy .acac4、化二重積分I f(x, y)d為二次積分(分別列出對(duì)兩個(gè)變量先D后次序不同的兩個(gè)二次積分),其中積分區(qū)域D是： (1)由曲線y lnx、直線x 2及x軸所圍成的閉區(qū)域； 5二.藍(lán) >plot(ln(x),0,2,0,2,ln(2),x=0.2,y=0.0.8,color=1); 2 lnxln2 2解：I dx 0 f (x, y)dy ° dy ey f (x, y)d

10、x .由y軸及右半圓x Ja2 y2所圍成的閉區(qū)域； 圖形plot(1-xA2)A(1/2),-1*(1-xA2)A(1/2),x=0.1,color=1);_2 2_2 2aaxaay解：I dx f(x,y)dy dy f (x, y)dx. 0axa o由拋物線y x2與直線2x y 3所圍成的閉區(qū)域.圖形 >plot(xA232*x,x=-3.1,color=1);.1 y93斛：I 0dy yf (x,y)dx 1 dy 2y f (x,y)dx .5、改換下列二次積分的積分順序：1 y 0dyy f(x, y)dx；1 x解：I0 dx / f (x, y)dy .1 e 0

11、dy ey f (x, y)dx；111 y2 0dy 2 y f(x,y)dx；e In x1 dx 0 f(x, y)dy.2 2x x2解：I 1dx 2 x f (x, y)dy.1 x222 x(4) 0dx 0 f (x, y)dy 1 dx 0 f(x,y)dy ；12 y解：I ody _ f (x, y)dx . sinx(5) 0 dx xf(x,y)dy; 0 sin2圖形,plot(sin(x),-sin(x/2),Pi,0,Pi,-1P,x=0.Pi,color=1);01arcsin y解：I dy f (x,y)dx dy f(x, y)dx. 1 2arcsin

12、 y0arcsin y2a 2ax22 x(6) 0 dx 2ax x2 f(x,y)dy 1 dx0 f(x,y)dy.圖形>plot(2*x-xA2)A(1/2),(2*x)A(1/2),2,0,2,2,x=0.2,color=1);a a Ya2 y2a 2a解：I 0dy y2 f (x, y)dx 0 dyf (x, y)dx00 a a y2a2a 2ady y2 f (x, y)dx. a 2a6、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域 D由直線x y 2,y x和x軸所圍成， 它的面密度(x, y) x2 y2,求該改薄片的質(zhì)量.圖形 >plot(2-x,x,x=0.2,y=0.1

13、,color=1);,12 x c c解：m (x, y)d o dy (x y )dxD1 828 340(- 4y 4y -y )dy -.3337、求由平面x 0, y 0,z 1,x y 1及z 1 x y所圍成的立體的 體積.圖形 >with(plots):A:=plot3d(x,y,1,x=0.1,y=0.1-x):B:=plot3d(x,1-x,z,x=0.1,z=1.2):F:=plot3d(x,0,z,x=0.1,z=1.1 + x):G:=plot3d(0,y,z,y=0.1,z=1.1+y):H:=plot3d(x,y,1+x+y,x=0.1,y =0.1-x):d

14、isplay(A,B,F,G,H,grid=25,20,axes=BOXED, scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);11 x1 11解：V (1 x y) 1d0dx 0 (x y)dy - 0(1 x )dx -.D238、為修建高速公路，要在一山坡中辟出一條長(zhǎng)500m,寬20m的通道, 據(jù)測(cè)量，以出發(fā)點(diǎn)一側(cè)為原點(diǎn)，往另一側(cè)方向?yàn)閤軸(0 x 20)，往公路延伸方向?yàn)閥軸(0 y 500 ),且山坡高度為z 10siny sin 一x ,試計(jì)算所需挖掉的土方量.50020!K>plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/

15、20),y=0.500,x=0.20);205003解：V zd dx (10siny sin-x)dy 70028(m ).D 00500209、畫出積分區(qū)域，把積分I f(x, y)d表示為極坐標(biāo)形式的二次D積分,其中積分區(qū)域D是： D (x,y)|x2 y2 a2,x 0 (a 0)；ffl>>plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2),x=0.1,color=1);解:_ aI 2 d f (r cos , rsin )rdr .2-22_ .D ( x, y) | x y2y；解:x2 y2 2y2sinI d 00D (x,y)|a2r2 2r s

16、in r 2sin ，于是圖形plot(1+(1-xA2)A(1/2),1-(1-xA2)A(1/2),x=-1.1,color=1);f (r cos , rsin )rdr .x2 y2b2，其中 0 a b;圖形,plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2),(4-xA2)A(1/2),-(4-xA2)A(1/2),x=-2.2,color=1);2b解：I 0 d f (r cos , r sin )rdr . D (x,y)|0 x 1,0 y x2.圖形 >plot(xA2,1,0,1,1,x=0.1,color=1);解：y x2 r sin r2 co

17、s2r sec tanx 1 r cos 1 r sec，于是secI 4 d f (r cos ,r sin )rdr . 0sec tan10、化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：11 0 dx 0 f (x,y)dy ;ffl>>plot(0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,color=1);解：x1r cos1rsec,y1rsin1rcsc，于是cscf(rcos ,rsin )rdr sec-I 4 d f (rcos ,rsin )rdr 2d4/211 x-2 2- 0 dxi xf (vxy )dy ；fflM>plot(1-xA2)A(1/2),1-

18、x,x=0.1,color=1); 1解： y 1 x rsin 1 r cos r ，于是sin cos-1I02 d 1 f (r)rdr.11、sin cos把下列積分為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值:2 a12 ax x2220 dx ° (x y )dy ;圖形,plot(2*x-xA2)A(1/2),x=0.2,color=1);解:2ax x2r sin2ar cos于是I1dx02d0.3x2acos3 .4 4r dr 4a01, dy;22，x y萬(wàn) 42 cos022r cos34a .4r 2a cos ,圖形 >plot(3A(1/2)*x,x,x=0.1,

19、color=1);解:x 1 r cos1 r sec，于是 secI 3d dr_043sec d4in 23 .123a a20巨x ,dx 03 Jx2 y2dya3 dxa02a x Jx2 y2dy.圖形,plot(3A(1/2)*x/3,(1-xA2)A(1/2),x=0.1,y=0.0.5,color=1);解:x 1 r cos- a 2I 6 d r dr0013a3r sec，于是06d3一 a .1812、解:x2 y2 Rx2r RrcosI jd2ln(1 x2DRcosc22.R r rdrr1R3( 3y2)d ，其中D為圓x2Rcos，于是4).3y2 1及坐標(biāo)

20、軸所圍成的在利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題:VR2 x2y2d ，其中 D 為圓域 x2 y2 Rx(R 0);Dffl>>plot(x-xA2)A(1/2),-(x-xA2)A(1/2),x=0.1,color=1);第一象限內(nèi)的閉區(qū)域; 域;解: 解:圖形 >plot(1-xA2)A(1/2),x=0.1,color=1);i1解:I 2 d ln(1 r )rdr (2ln 2 1).004 arctan d ，其中D為圓周x2y2 1 ,x2y24及直線Dxy 0,y x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.圖形>plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2)

21、,(4-xA2)A(1/2),-(4-xA2)A(1/2),x, x=-2.2,y=0.2A(1/2),color=1);-23-32解：I4 drdr-4d01206413、選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：2x-yd ，其中D是直線x 2,y x及曲線xy 1所圍成的閉區(qū)d y圖形,plot(x,1/x,2,1/2,2,2,x=0.2,y=0.2,color=1);22xx22 3I 1 dx 1 dy 1 (x x)dx1 x y 1sin xx2y2d ，其中D是圓環(huán)形區(qū)域2 x2y24 2 ;D圖形,plot(1-xA2)A(1/2),-(1-xA2)A(1/2), (4-xA2)A(1/2),-(4-xA2)A(1/2),x=-2.2,color=1);2 2 2I d r sin rdr 60(x2y2)d ，其中D是由直線Dy x, y x a, y a, y 3a (a 0)所圍成的閉區(qū)域；ffl>>plot(0,1,1,1,3,3,2,3,0,1,x=0.3y=0.3,color=1);343a y3aa解：I dy (x y )dx