高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.4 正態(tài)分布習(xí)題 新人教A版選修23

1、第二章2.4正態(tài)分布a級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績(jī)xn(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)(c)a(90,110b(95,125c(100,120 d(105,115解析由于xn(110,52)，110，5因此考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(105,115，(100,120，(95,125上的概率分別應(yīng)是0.6826,0.9544,0.9974由于一共有60人參加考試，成績(jī)位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是：60×0.682641人，60×0.954457人，60×0.997460人故選c2(2018·呼和浩特二

2、模)有10000人參加某次考試，其成績(jī)x近似服從正態(tài)分布n(100,132)p(61x139)0.997.則此次考試中成績(jī)不低于139分的人數(shù)約為(c)a10 b30c15 d23解析x近似服從正態(tài)分布n(100,132)，p(61x139)0.997p(x139)(10.997)0.0015，此次考試中成績(jī)不低于139分的人數(shù)約為10000×0.001515故選c3如圖是當(dāng)取三個(gè)不同值1，2，3時(shí)的三種正態(tài)曲線，那么1，2，3的大小關(guān)系是(d)a1>1>2>3>0 b0<1<2<1<3c1>2>3>0 d0<1

3、<21<3解析由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知越大，其最大值越小，所以1<2<3，又，21.故選d4某廠生產(chǎn)的零件外直徑xn(8.0,0.0225)，單位mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認(rèn)為(c)a上、下午生產(chǎn)情況均為正常b上、下午生產(chǎn)情況均為異常c上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常d上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常解析根據(jù)3原則，在(83×0.15,83×0.15即(7.55,8.45之外時(shí)為異常結(jié)合已知可知上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常5某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生

4、的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布已知數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為(d)a10% b20%c30% d40%解析由條件知90，p(<60)0.1，p(>120)0.1，p(90<120)12p(<60)×(10.2)0.4，故選d6以(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(，x)內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(，2)，則概率p(|<)等于(b)a()() b(1)(1)c d2()解析設(shè)，則p(|<)p(|<1)p(1<<1)(1)(1)故選b二、填空題7正態(tài)變量的概

5、率密度函數(shù)f(x)e，xr的圖象關(guān)于直線_x3_對(duì)稱，f(x)的最大值為_(kāi)8(2018·涼山州模擬)已知離散型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2,1)，且p(3)0.968，則p(13)_0.936_解析離散型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2,1)，p(1)p(3)10.9680.032，p(13)1p(1)p(3)10.0320.0320.936故答案為0.9369已知正態(tài)分布n(，2)的密度曲線是f(x)e，xr.給出以下四個(gè)命題：對(duì)任意xr，f(x)f(x)成立；如果隨機(jī)變量x服從n(，2)，且f(x)p(x<x)，那么f(x)是r上的增函數(shù)；如果隨機(jī)變量x服從n(108,100)，那

6、么x的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；隨機(jī)變量x服從n(，2)，p(x<1)，p(x>2)p，則p(0<x<2)12p其中真命題的序號(hào)是_.(寫出所有真命題的序號(hào))解析畫出正態(tài)分布n(，2)的密度曲線如下圖：由圖可得：圖象關(guān)于x對(duì)稱；故正確；隨著x的增加，f(x)p(x<x)也隨著增加，故正確；如果隨機(jī)變量x服從n(108,100)，那么x的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；由圖象的對(duì)稱性，可得正確，故填：三、解答題10某個(gè)工廠的工人月收入服從正態(tài)分布n(500,202)，該工廠共有1200名工人，試估計(jì)月收入在440元以下和560元以上的工人大約有多少？解析設(shè)該工廠工人

7、的月收入為，則n(500,202)，所以500，20，所以月收入在區(qū)間(5003×20,5003×20)內(nèi)取值的概率是0.9974，該區(qū)間即(440,560)因此月收入在440元以下和560元以上的工人大約有1200×(10.9974)1200×0.00263(人)b級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1設(shè)xn(1，)，yn(2，)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是(c)ap(y2)p(y1)bp(x2)p(x1)c對(duì)任意正數(shù)t，p(xt)p(yt)d對(duì)任意正數(shù)t，p(xt)p(yt)解析由圖象可知1<2，1<2，p(y2)<p(y1)

8、，a錯(cuò)；p(x2)>p(x1)，b錯(cuò)；對(duì)任意實(shí)數(shù)t，p(xt)<p(yt)，d錯(cuò)，p(xt)p(yt)，c正確，故選c2(2018·德陽(yáng)模擬)為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語(yǔ)”聽(tīng)寫測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽(tīng)寫測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布n(78,16)試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為()參考數(shù)據(jù)：若xn(，2)，則p(x)0.6826，p(2x2)0.9544，p(3x3)0.9974.(a)a0.13% b1.3%c3% d3.3%解析由正態(tài)分布n(78,16)，可得78，4，則p(66x90)p(783&

9、#215;4x783×4)0.9974p(x90)(10.9974)0.0013即估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為0.13%故選a二、填空題3(2018·黔東南州一模)黔東南州雷山西江千戶苗寨，是目前中國(guó)乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來(lái)自世界各地的游客絡(luò)繹不絕假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)是服從正態(tài)分布n(2000,10000)的隨機(jī)變量則每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為_(kāi)0.1587_.(參考數(shù)據(jù)：若服從n(，2)，有p()0.6826，p(22)0.9544，p(33)0.9974)解析服從正態(tài)分布n(，2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(，)內(nèi)取值的概率分別

10、為0.6826，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2000,1002)，每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過(guò)2100的概率為×(10.6826)0.1587，故答案為0.15874設(shè)某城市居民私家車平均每輛車每月汽油費(fèi)用為隨機(jī)變量(單位為：元)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得n(520,14 400)，從該城市私家車中隨機(jī)選取容量為10 000的樣本，其中每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車估計(jì)有_6826_輛(附：若n(，2)，則p(<<)0.6826，p(2<<2)0.9544，p(3<<3)0.9974)解析由已知得：520，120，p(400<<640)p(5

11、20120<<520120)0.6826，每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車估計(jì)有：0.6826×100006826三、解答題5一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤(rùn)x(萬(wàn)元)分別服從正態(tài)分布n(8,32)和n(7,12)，投資者要求“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率盡量大，那么他應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？解析對(duì)于第一個(gè)方案有xn(8,32)，其中8，3，p(x>5)p(5<x11)；對(duì)于第二個(gè)方案有xn(7,12)，其中7，1，p(x>5)顯然第二個(gè)方案“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率比較大，故他應(yīng)該選擇第二個(gè)方案6某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)

12、情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)x服從正態(tài)分布n(80，2)(滿分為100分)，已知p(x<75)0.3，p(x95)0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué)(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間80,85)，85,95)，95,100內(nèi)各有一位同學(xué)的概率；(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間75,85的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望e()解析(1)p(80x<85)p(x75)0.2，p(85x<95)p(x85)p(x95)p(x<75)p(x95)0.30.10.2，所以所求概率pa×0.2×

13、;0.2×0.10.024(2)p(75x85)12p(x<75)0.4，所以服從二項(xiàng)分布b(3,0.4)，p(0)0.630.216，p(1)3×0.4×0.620.432，p(2)3×0.42×0.60.288，p(3)0.430.064，所以隨機(jī)變量的分布列是：0123p0.2160.4320.2880.064e()3×0.41.2(人)c級(jí)能力拔高某磚瓦廠生產(chǎn)的磚的抗斷強(qiáng)度x服從正態(tài)分布n(30，0.82)，質(zhì)檢人員從該廠某一天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機(jī)抽查一塊，測(cè)得它的抗斷強(qiáng)度為27.5，你認(rèn)為該廠這一天生產(chǎn)的這批磚是否合格？為什么？解析解決本題的關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一塊磚的抗斷強(qiáng)度是否符合3原則，若符合，則認(rèn)為這批磚合格，否則不合格因?yàn)?0，0.8，所以容易計(jì)算3和3欲判定這批磚是否合格，關(guān)鍵是看隨機(jī)抽查的一塊磚的抗斷強(qiáng)度是在區(qū)間(3，3內(nèi)，還是在區(qū)間(3，3外由于在一次試驗(yàn)中x落在區(qū)間(3，3內(nèi)的概率為0.9974，故x幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)于是把30