高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)二作業(yè)1 北師大版選修11

1、2.2.2 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)（二）基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.過(guò)點(diǎn)(1，0)且與拋物線y2x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()a1條 b2條c3條 d4條解析：選c.點(diǎn)(1，0)在拋物線y2x的外部，過(guò)此點(diǎn)與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條其中兩條切線，一條相交直線(平行x軸)2.過(guò)拋物線yx2上的點(diǎn)m(，)的切線的傾斜角是()a30° b45°c60° d90°解析：選b.由題意可設(shè)切線方程為yk(x)，代入yx2，化簡(jiǎn)得4x24kx2k10，由16k216(2k1)0，得k1，切線的傾斜角為45°.3.拋物線yax21與直線yx相切，則a等于()a. b.c.

2、d1解析：選b.由消去y整理得ax2x10，由題意a0，(1)24a0.a.4.拋物線yx2上一點(diǎn)到直線2xy40的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是()a(，) b(1，1)c(，) d(2，4)解析：選b.令yx2的切線方程為2xyc0，代入yx2整理得x22xc0.由(2)24c0，c1，x1，y1.切點(diǎn)(1，1)到直線2xy40的距離最小5.已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線c：y28x相交于a，b兩點(diǎn)，f為c的焦點(diǎn)若|fa|2|fb|，則k()a. bc. d.解析：選d.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x

3、2(4k28)x4k20，x1x24，|fa|x1x12，|fb|x2x22，且|fa|2|fb|，x12x22.由得x21，b(1，2)，代入yk(x2)，得k.故選d.6.拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80距離的最小值是_解析：設(shè)切線為4x3yc0，代入yx2整理得3x24xc0，由(4)212c0得，c，故最小距離為.答案：7.設(shè)已知拋物線c的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為f(1，0)，直線l與拋物線c相交于a，b兩點(diǎn)若ab的中點(diǎn)為(2，2)，則直線l的方程為_(kāi)解析：由題意知c的方程為y24x，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y4x1，y4x2，兩式作差，(y1y2)(y1y2)4(x

4、1x2)，kab1，又直線l過(guò)(2，2)，故l的方程為yx.答案：yx8.將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22px(p>0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形的個(gè)數(shù)記為n，則n_解析：根據(jù)拋物線對(duì)稱性知正三角形的一邊平行于y軸，又過(guò)焦點(diǎn)與x軸的夾角為30°的直線有兩條，故符合題意的正三角形有兩個(gè)答案：29.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸的拋物線截直線yx所得的弦長(zhǎng)|p1p2|4，求此拋物線的方程解：設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得消元得x2(32p)x0，判別式(32p)294p212p>0，解得p>0或p<3(舍)，設(shè)p1(

5、x1，y1)，p2(x2，y2)，則中由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2(32p)，x1·x2，代入弦長(zhǎng)公式得·4，解得p1或p4(舍)，把p1代入拋物線方程y22px(p>0)中，得y22x.綜上，所求拋物線方程為y22x.10.a、b為拋物線y22px(p>0)上兩點(diǎn)，o為原點(diǎn)，若oaob，求證：直線ab過(guò)定點(diǎn)證明：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，oaobx1x2y1y20，a，b在拋物線上yy4p2x1x2，lab：yy1(xx1)，yy1(x)，y·xy1·x(x2p)，直線ab過(guò)定點(diǎn)(2p，0)能力提升1.已知拋物線y22px(p&g

6、t;0)與圓(xa)2y2r2(a>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則()arap brapcr<ap dr<ap解析：選b.當(dāng)r<a時(shí)，根據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱性可知，圓(xa)2y2r2(a>0)與拋物線y22px(p>0)要么沒(méi)有交點(diǎn)，要么交于兩點(diǎn)或四點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)r>a時(shí)，易知圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)ra時(shí)，圓與拋物線交于原點(diǎn)，要使圓與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，必須使方程(xa)22pxr2(x0)有且僅有一個(gè)解x0，可得ap.故選b.2.已知直線ya交拋物線yx2于a，b兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)c，使得acb為直角，則a的取值范圍為_(kāi)解析

7、：設(shè)c(x，x2)，由題意可取a(，a)，b(，a)，則(x，ax2)，(x，ax2)，由于acb，所以·(x)(x)(ax2)20，整理得x4(12a)x2a2a0，即y2(12a)ya2a0，所以解得a1.答案：1，)3.已知過(guò)點(diǎn)a(4，0)的動(dòng)直線l與拋物線g：x22py(p>0)相交于b，c兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，4.(1)求拋物線g的方程；(2)設(shè)線段bc的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解：(1)設(shè)b(x1，y1)，c(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，l的方程為y(x4)，即x2y4，由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由這三個(gè)表達(dá)式及p>

8、0得y11，y24，p2，則拋物線的方程為x24y.(2)由題意可設(shè)l：yk(x4)，bc的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k，線段bc的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段bc的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，由16k264k>0得k>0或k<4.b(2，)4已知拋物線c的頂點(diǎn)為o(0，0)，焦點(diǎn)為f(0，1)(1)求拋物線c的方程；(2)過(guò)點(diǎn)f作直線交拋物線c于a、b兩點(diǎn)，若直線ao，bo分別交直線l：yx2于m，n兩點(diǎn)， 求|mn|的最小值. 解：(1)由題意可設(shè)拋物線c的方程為x22py(p>0)，則1，所以拋物線c的方程為x24y.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線ab的方程為ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.從而|x1x2|4.由解得點(diǎn)m的橫坐標(biāo)xm.同理，點(diǎn)n的橫坐標(biāo)xn.所以|mn|xmxn|8|.令4k3t，t0，則k.當(dāng)t>0時(shí)，|mn|2 >2.當(dāng)t<0時(shí)，|mn|2 .綜上所述，當(dāng)t