《分形與混沌》

1、編輯ppt第六章第六章 分形與混沌分形與混沌編輯ppt內(nèi)容目錄哲學與研究分形的基本思想混沌的基本思想編輯ppt哲學與研究哲學是人類認識世界的最高層次的思考。尋找世界的本原問題；人類在世界中的位置，即人類作為認識的主體在研究中的重要性。了解哲學是從總體上、大局上把握世界；把握研究的方向，不至于走入死胡同。編輯ppt付里葉變換Fourier是法國大革命時期的數(shù)學家，他在頻譜分析領域做有卓越的貢獻。在當時，拿破侖時代，科學界流行一種哲學：世界是有“基元”組成的，任何一種物質(zhì)只是基元的加權的代數(shù)和。基元是什么？運動是物質(zhì)的一種存在形態(tài)，也應該具有一種相同的特性，即運動應由基元組成。編輯ppt付里葉變換

2、（續(xù)）Fourier通過研究“振動弦”的運動得出一個規(guī)律：即振動弦的運動可以分解為多個“正弦”信號的和。又通過對很多現(xiàn)象的研究，F(xiàn)ourier得出一個結(jié)論：任何一個信號可以分解為多個“簡諧周期函數(shù)”的加權和，而sin(x)、cos(x)是最簡單的“簡諧周期函數(shù)”。編輯ppt付里葉變換（續(xù)）由此，付里葉得出如下的結(jié)論：)cos()sin(2)(0nwtibnwtaatfnnn任意時間周期信號基元權值常量編輯ppt付里葉變換（續(xù)）從當時的角度（哲學觀點）來看，是任何一個信號可以表示為“正弦”信號的加權和，符合哲學觀點，推導正確。當Fourier將論文提交給法國研究院，由Lagrangri等三名數(shù)學

3、家組成的委員會沒有允許該論文的發(fā)表，原因是該數(shù)學推導不嚴格， Lagrangri提出對于處處不可導的信號（函數(shù)）該理論不成立。編輯ppt神經(jīng)元理論神經(jīng)元網(wǎng)絡：神經(jīng)元網(wǎng)絡(Nerual Net)指由大量神經(jīng)元互連而成的網(wǎng)絡，有點象服務器互連而成的國際互連網(wǎng)(Internet).人腦有1000億個神經(jīng)元，每個神經(jīng)元平均與10000個其他神經(jīng)元互連，這就構成了人類智慧的直接物質(zhì)基礎。 編輯ppt )(1niiixwfy編輯pptO1O2O3編輯ppt神經(jīng)元網(wǎng)絡是根據(jù)生物的神經(jīng)元組成而得來的兩態(tài)工作，即只有興奮和抑制兩個狀態(tài)閾值作用，超過某個閾值，神經(jīng)元興奮多輸入、單輸出，樹狀突起獲得眾多輸入，軸突單

4、輸出空間、時間疊加可塑性連接，突起的連接強度可調(diào)節(jié)編輯ppt神經(jīng)元網(wǎng)絡（續(xù)）每個神經(jīng)元是基元，任何一個函數(shù)f(x)可以通過神經(jīng)元的加權和而得到。神經(jīng)元的數(shù)目可以選擇，層次的個數(shù)可以選擇，原則上三層以上即可以模擬任何一個函數(shù)（包括線性函數(shù)、非線性函數(shù)）功能十分強大！網(wǎng)絡模型構建后，需要獲得權值，權值的獲取方法是訓練。即選擇足夠的訓練樣本空間，對模型中的連接進行訓練，訓練完成，既可以用于相關的應用。編輯ppt神經(jīng)元網(wǎng)絡（續(xù)）一個非常好的思路，可以同時解決線性和非線性問題！問題是：訓練樣本空間與應用樣本空間不是一個集合，用訓練樣本空間訓練出來的神經(jīng)元模型對于樣本空間的樣本是最優(yōu)的結(jié)果，而對于應用樣本

5、空間就不一定是最優(yōu)的結(jié)果！例如：應用神經(jīng)元網(wǎng)絡識別09個數(shù)字，選定三層神經(jīng)網(wǎng)（輸入層、隱含層、輸出層），隱含層包含128個節(jié)點，訓練樣本空間選擇09的手寫數(shù)字分別為100個，共1000個樣本集。編輯ppt神經(jīng)元網(wǎng)絡（續(xù)）訓練結(jié)束后，對于樣本空間的樣本的識別率可以達到100%，而如果選擇一個手寫的字母“A”作為識別樣本，發(fā)現(xiàn)他也會得出一個09之間的一個結(jié)果，顯然出現(xiàn)了誤識。那么誤識率會是多大？編輯ppt結(jié) 論在世界是由基元組成這一哲學思想下，產(chǎn)生了一系列的十分有效的技術，可見哲學對研究的意義。相反，如果沒有一種哲學思想，我們的研究如何歸納總結(jié)出一種一般的規(guī)律？總結(jié)出的規(guī)律正確與否？編輯ppt分形

6、幾何的基本思想編輯ppt研究對象歐幾里得幾何學的研究對象是具有特征長度的幾何物體：一維空間：線段，有長度，沒有寬度；二維空間：平行四邊形，有周長、面積；三維空間：球，表面積、體積；自然界中很多的物體具有特征長度，諸如：人有高度、山有海拔高度等。編輯ppt研究對象有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？編輯ppt英國的海岸線地圖編輯ppt研究對象（續(xù)）當你用一把固定長度的直尺(沒有刻度)來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細小之處同樣也是無數(shù)的

7、曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。 編輯ppt研究對象（續(xù)）得到的結(jié)論是：海岸線的長度是多少：決定與尺子的長短。海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應該是有界的。海岸線什么有界？（長度、面積、體積顯然無界）。編輯pptKoch 曲線編輯pptKoch 曲線（續(xù)）Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學界成為一個魔鬼。同樣的道理：長度無限、面積為零、而曲線還有“界”。另外，有一個特點：當取其中的一部分展開，與整體有完全的自相似性，似乎是一個什么東西的無數(shù)次的自我復制。編

8、輯ppt自然界中的其他事物取下一片蕨類植物葉子似乎與整體有某種相似性。England的海岸線從視覺上也感覺有某種自相似性編輯ppt分形的概念分形理論的創(chuàng)始人B.B.Mandelbrot，有人譯為曼德爾布羅特，有人譯為曼得勃羅等等 通過對這些不具有特征長度（歐氏幾何學研究不了的問題）提出了一個全新的概念：分形、分形幾何、分數(shù)維-fractal。fractal一詞是由Mandelbrot自創(chuàng)的，來自于描述碎石的拉丁文fractus曼德布羅特擅長于形象的、空間的思維，具有把復雜問題化為簡單的、生動的、甚至彩色的圖象的本領。他是個數(shù)學特別是幾何學與計算機兼通的難得人才。1967年發(fā)表于美國科學雜志上的

9、“英國的海岸線有多長”的劃時代論文，是他的分形思想萌芽的重要標志。1973年，在法蘭西學院講課期間，他提出了分形幾何學的整體思想，并認為分維是個可用于研究許多物理現(xiàn)象的有力工具。 編輯ppt分形的概念（續(xù)）形看作具有如下所列性質(zhì)的集合F：F具有精細結(jié)構，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體。F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。F通常具有某種自相似性，或許是近似的或許是統(tǒng)計意義下的。F在某種方式下定義的“分維數(shù)”通常大于F的撲維數(shù)。F的定義常常是非常簡單的，或許是遞歸的。編輯pptJulia SetJulia Set: Zn+1 = Zn2 + C令複數(shù) C 為一定值，將 Z 平面上任意一

10、點代入，則 Z 平面上部分區(qū)域收斂，部分區(qū)域發(fā)散， 而發(fā)散與收斂區(qū)域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。根據(jù)C、Z0的不同會生成不同的Julia集合編輯pptMandelbrot Set在復平面中，M集是通過下述迭代式產(chǎn)生的： Zn+1=Zn2+C。 其中，Z和c都是復數(shù)，由各自的實部 和虛部組成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy編輯ppt展開得： Xn+1 = Xn 2 -Yn2+Cx （實部） Yn+1 = 2*XnYn+Cy （虛部） 對上述迭代式反復進行迭代，得到的數(shù)集，稱為Mandelbrot集，簡稱M集。在迭代過程中，Z的初值定為0，而C選擇一個不

11、為0的數(shù),使C在復平面的某個區(qū)域內(nèi)有規(guī)律地變化，對于二次函數(shù)fc(Z)=Z2+C的迭代，定義M集為：M=cC:fck(0)/ (k)。 編輯ppt用不同的C值反復進行迭代，由此產(chǎn)生的Zk序列有兩種情況：（1）Zk序列自由地朝著無窮大的方向擴散，即發(fā)散； （2）Zk序列被限制在復平面的某一區(qū)域內(nèi)，即收斂。建立判斷收斂與發(fā)散的判斷準則，對于那些收斂的Zk序列的點，設置某種顏色的色調(diào)，就可以顯示M集的計算機圖象。對于那些發(fā)散的Zk序列的點，根據(jù)發(fā)散速度的不同，按照給定的規(guī)則著上不同顏色的色調(diào)，就能顯示M集周圍的圖象。編輯ppt編輯ppt自然界中的分形山星 云編輯ppt星 云編輯ppt天空中的云朵植物

12、的葉子編輯ppt 視網(wǎng)膜中央動脈顳上支阻塞視乳頭旁毛細血管瘤毛細血管分布編輯ppt河流分布圖編輯ppt自然界中的分形股票價格曲線巖石裂縫金屬損傷裂縫道路分布神經(jīng)末梢的分布編輯ppt局部結(jié)論從分析上述現(xiàn)象可以看到，Julia、Mandelbrot集合所顯現(xiàn)出來的圖形是極端復雜的，而且存在著自相似性（即局部等于全體），而這么復雜的圖形是由一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復迭代得到的結(jié)果。反推回來，一個具有分形特征的自然現(xiàn)象是否可以認為是有一個非常簡單的方程通過初值的選擇反復迭代得到的結(jié)果？如果是，只要找到方程和初值，就可以隨意地生成我們所希望的圖形？編輯ppt如何來研究分形？Mandelbrot

13、提出了一個分形維數(shù)的概念。在Euchlid幾何學中我們知道維數(shù)的概念點-0維；線-1維；面-2維；體-3維。編輯ppt如何來研究分形？（續(xù)）將長度為1的線段分為n等分,每段長為r,則 n r = 1將面積為1的正方形n等分,每一個小正方形的邊長為r,則n r2 = 1將體積為1的正方體n等分,每一個小正方體的邊長為r,則n r3 = 1編輯ppt分形維數(shù)從上面的等式中可以看到,r 的冪次實際就是該幾何體的空間維數(shù),可以表示為: n rD = 1對上式兩邊取對數(shù)得: 顯然,D具有維數(shù)的概念.xnDlnln編輯ppt分形維數(shù)(續(xù))對Koch曲線而言編輯ppt分形維數(shù)(續(xù))在第n步時,其等長折線段總

14、數(shù)為4n,每段的長度為則Koch曲線的維數(shù)為:英國海岸線的維數(shù)為D=1.25 (Mandelbrot)n3126186.13ln4ln31ln4lnnnD編輯ppt如何來研究分形？（續(xù)）拓撲維數(shù)： 拓撲維數(shù)是比分形維數(shù)更基本的量, 以Dt表示,它取整數(shù)值,在不作位相變換的基礎上是不變的,0維即通過把空間適當?shù)胤糯蠡蚩s小,甚至扭轉(zhuǎn),可轉(zhuǎn)換成孤立點那樣的集合的拓撲維數(shù)是0, 而可轉(zhuǎn)換成直線那樣的集合的拓撲維數(shù)是1.所以,拓撲維數(shù)就是幾何對象的經(jīng)典維數(shù)Dt=d.拓撲維數(shù)是不隨幾何對象形狀的變化而變化的整數(shù)維數(shù).編輯pptHausdorff維數(shù)：對于任何一個有確定維數(shù)的幾何體, 若用與它相同維數(shù)的尺r

15、去度量,則可得到一確定的數(shù)值N;若用低于它維數(shù)的“尺”去量它,結(jié)果為無窮大;若用高于它維數(shù)的“尺”去量它,結(jié)果為零.其數(shù)學表達式為: N(r)r-Dh上式兩邊取自然對數(shù),整理后可得 Dh=lnN(r)/ln(1/r) 或 Dh=limlnN()/ln(1/)式中的Dh就稱為豪斯道夫維數(shù),它可以是整數(shù),也可以是分數(shù).編輯ppt歐氏幾何體,它們光滑平整,其D值是整數(shù). 人們常把豪斯道夫維數(shù)是分數(shù)的物體稱為分形,把此時的Dh值稱為該分形的分形維數(shù), 簡稱分維.也有人把該維數(shù)稱為分數(shù)維數(shù).當然還必須看其是否具有自相似性和標度不變性.編輯ppt102103104101102103104105101log

16、 log N( )25. 1log)(logND英國海岸線的分形維數(shù)D=1.25英國海岸線的自相似性及分形維數(shù)的獲得編輯ppt語音信號是分形的編輯ppt102103104101102103104105101log log N( )log)(logND Texture語音的分形維數(shù)D=1.66英國海岸線的分形維數(shù)D=1.25編輯ppt維數(shù)的含義分形是復雜不規(guī)則的系統(tǒng),而描述這系統(tǒng)的粗糙,破碎,不規(guī)則,不光滑程度及復雜性的定量指標和手段就是非整數(shù)維數(shù):分維,分數(shù)維數(shù)是描述復雜對象或系統(tǒng)的最基本特征-分形特征的定量參數(shù).分維D度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力,刻劃了系統(tǒng)的無序性,表征了

17、動力學系統(tǒng)最低的基本或獨立變量的個數(shù).豪斯道夫維數(shù)定量地描述了一個集合規(guī)則與不規(guī)則的幾何尺度,其整數(shù)部分反映出圖形的空間規(guī)模(整數(shù)維數(shù)).對于奇怪吸引子,維數(shù)給出了需要表征其上點的位置所需的信息量.廣義維數(shù)或奇異譜主要表征多分形的非均衡性和奇異性. 編輯ppt描述的對象層次性自相似性特征長度表達方式維數(shù)人類創(chuàng)造的簡單的標準物體 (可微,可導,連續(xù),光滑,規(guī)整) 常無 有用數(shù)學公式0 及正整數(shù)1 或2 或 3大自然創(chuàng)造的復(非歐幾何學) 雜的真實物體 (不連續(xù),不可導,不規(guī)則,粗糙,不光滑,曲折)有 無用迭代語言,分維一般是分數(shù)(可是正整數(shù))分形幾何學與歐氏幾何學的差異分形幾何學歐氏幾何學編輯p

18、ptIFS編輯ppt混沌的思想編輯ppt混沌的產(chǎn)生 下面是著名的洛倫茲吸引子。洛倫茲(E.N.Lorenz)是當代世界知名的動力氣象學家、混沌理論的少有幾位創(chuàng)立者之一。他在1963年發(fā)表的關于混沌理論的開創(chuàng)性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認，并很快引發(fā)對混沌研究的熱潮，由此誕生和發(fā)展起了一門新興學科混沌理論，成為現(xiàn)代新興學科的代表。洛倫茲吸引子方程如下：編輯ppt混沌的產(chǎn)生(續(xù))編輯ppt混沌的產(chǎn)生(續(xù))奇異吸引子編輯ppt湍 流(turbulence)復雜、不規(guī)則、貌似游走無常的流體運動。例如：水流的漩渦；以前的理論解釋：模態(tài)（modes）周期運動。當流體受到外力的作用時，一定數(shù)目

19、的模態(tài)就被激發(fā)出來；沒有模態(tài)被激發(fā)，流體就處于定常狀態(tài)；如果單一模態(tài)被激發(fā)，就是周期振蕩；如果幾個模態(tài)被激發(fā)，流動變得不規(guī)則；許多模態(tài)被激發(fā)時，就是湍流。編輯ppt初始條件敏感依賴性有圓形或凸起障礙物的臺球游戲不考慮“自旋”；忽略摩擦；假設碰撞是彈性的；編輯ppt真實球虛擬球編輯ppt混沌的定義設V為一個集合,f:V V稱為在V上是混沌的,如果:f 對初始條件的敏感依賴性;f 是拓撲傳遞的;周期點在V中是稠密的;編輯ppt 煙頭燃燒，沒有 任何外力的情況下，煙會自動分解。在什么時候分解？什么原因分解？分解時刻是否可以預測？編輯ppt一維邏輯斯蒂映射一維邏輯斯蒂映射映射(mapping)也叫迭代

20、(iteration)xn+1=2xn，若x1=3 ,則x2=6，x3=12。從控制系統(tǒng)的角度看，這也叫反饋(feedback)，把輸出當作輸入，不斷滾動。很容易想到，反饋的結(jié)果有若干種：發(fā)散的、收斂的、周期的等等。但是我們要問一下，一共有多少種可能的運動類型?是否存在既不收斂也不發(fā)散，也不周期循環(huán)的迭代過程?這就是有界非周期運動，它與混沌有關編輯ppt邏輯斯蒂映射的形式為其中a是參數(shù)，取值范圍是-2,4，通常人們只注意0,4這一半，其實另一半 -2,0也一樣有趣。x的取值為0,1。映射的不動點是指滿足關系=a(1- )的相點,解得_1=0,_2=1-1/a。設映射用 f 表示，f 的2次迭代

21、記作f 2，3次迭代記作f 3，等等 。注意，這種記法不表示乘方關系。f 的不動點也叫f 的周期1點。f 2的不動點實際上是f 的周期2點。同理f n的不動點與f 的周期n點是一回事。1(1)nnnxaxx編輯ppt映射f 的周期m點的穩(wěn)定性由乘子完全決定。映射f 的周期點(包括不動點，它為周期1點)的穩(wěn)定性可具體定義為： 1，吸引，穩(wěn)定；1，排斥，不穩(wěn)定；=1，中性；=0，超穩(wěn)定。miimmxfxfxfxfdxdf121)()().()(編輯ppt以參數(shù)a為橫坐標、以x的穩(wěn)定定態(tài)(stable steady states)為縱坐標作圖， 得到1、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區(qū)中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結(jié)構的一套東西。此 所謂無窮自相似結(jié)構。編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt在洛斯阿拉莫斯國立實驗室任職的費根鮑姆在研究周期倍化過程中，發(fā)現(xiàn)相鄰分岔間距之 比收斂到一個不變的常數(shù)：不僅僅對于邏輯斯蒂映射有這個常數(shù)，對于一維“單峰”映射，都能算出同一個常數(shù) 來。的含義是什么？意義何在？11lim4.669,201,609.nnnnnaaaa編輯pptThe general concept of chaos如果一個接近實際而沒有系統(tǒng)內(nèi)在隨機性的模型仍然具有的行為,就可以稱這個真實的物理系