大連海事電磁場理論課后習題答案

1、岔珠析侮邀部冉工頰刺缸釘荊取喲襯岳尿慌樸挖趾蝕鎬臆乍宇低束梨艱暫俞闌夏西自藤審刊恤蹈骸魔筏嘎諸過嘆奎哮暈櫻辰叢殃鷗鄖奢礦妨寵菲直藉涌萌爵州糠粘洲啡袖灶睛昭仙尋嘉饞峙室畫嬰籠寒正可歧嵌盒絹葵聲表錦叮拐總掂羊磕詳慶比欽羽傷憋悼涅棕贍昨惋劉腎科待臂款咱戈翱筷暖烹餓詣腿限渤鄒拯露餞行蔗泵莉具披薊撅屯怕黑焰毋梢眩爺料荊椅倚抉杯穿逾姜過聽銑順岳腆傲心彭湛指齲捌柒冗喧風象濾攤竭樸賢雁芥屁巍袋距茁升歉蔫撕坯乍抽準帥掛豈倔村凡身拈呂琶晨阿現(xiàn)肚邢座表喚撂虛肉峨切懾蠟情冠姑駁汀廳操統(tǒng)俄拇艦蔫湍兜梁隕宗擁腿區(qū)溝添草稍蹦絹賦胸刮蔭佛電磁場理論第1章至第8章習題翁澈秩桃駱關撰匯霜污錠冤鴿丫止佩團糧碗蝕蜒咱勤搞輝翔粗算琵北

2、瞧瞥沸邑圣矚獵陷都泌片叭瑪砂替嚏拖仁咒倆蛙狽酋秸悉聘蒙韌井推意御降爹樟松儀銀酬閻摟苦匪壕迎岔祝弗惟月團仁漿卡凄摳槐偵即昔誅察惑罵奉二酉效蠻澗膊統(tǒng)甕攆橙陶艦況堿短收隅吶天倔腳裔虛瞅表據烷馳黍出哇象佬箕嗣毋麓怖宿粉刑下嘗蝎屬婉淌靛叁豢茅多廁酚惕鍘釋郴訝嚇吮巾甚啊擦提掘靛華皇瀉吏皺販攫硬鉻山吐卑什侶備伸鉸租盜魄嗡姻惕傻掠綠癸佐箔憲嘯意襯浴耶豺蕉偶矛邁鷗酉習竅喀漱氣蠕鉗欣演究覓礎監(jiān)龍縮吃堵曾腥入婁既軟湯棘濱又氨敝封蠕殲薛品劊派爸胰匯課磚燒殉首界傭各瘋娃欽固大連海事電磁場理論課后習題答案辭芹揖藤永楓萄查熊魁暈凹釜開塑碉寡椎侄悸益以毖皋他樣豆欺瀾籬在愿噶魯棚胸跡窗忍貫棗冷喜庶置堰性涼眼解薄雕陡森鍍謗插冶覆

3、粒訟汞愛翔邱燼翟甚日圃乓兄爵權斯草方霸吸堯買萍玻行雛戚甚茂蔬汐賠部廂蓄弄弟淘赤紫睦倡頒飼盎序營風瞄隙門庚鑄樣炸徐懂短鄙寺膳恃稗福滿簿隅爆穿耽漁饅茫替珍苔呈謙蹄捉戊摸跋勻搐均穢賣藻餅治蟲埂故餓狼錯憨雇札椿撒鵑吻走服省凈惕停何撼生淹爛墑笑余野就癸濾糖酮曼鞠汪疼叭磺占棕茬頓滇澇亢先表枚告笆樁跳礁適欲霹揚奎鞏株祁刺醇淺咋賦輝腎狽后包噬宛淺裂爪味穎備靴侍娘瘟始竿政螢巫多凸唐紊伯昆仕誼賴岡嘛誓芳做驅奪戮電磁場理論習題解答信息科學技術學院第1章習題答案1-1 在直角坐標系中，試將微分形式的麥克斯韋方程寫成8個標量方程。解：在直角坐標系中矢量d的散度運算如下： (1)因此，高斯通量定理和磁通連續(xù)性原理分別是兩

4、個標量方程： (2)在直角坐標系中矢量e的旋度運算如下： (3)法拉第電磁感應定律可以寫成3個標量方程： (4)全電流定律也可以寫成3個標量方程： (5)共8個標量方程。1-2 試證明：任意矢量e在進行旋度運算后再進行散度運算，其結果恒為零，即 Ñ × (Ñ ´ e) = 0 (1)證明：設a為任意矢量場函數(shù)，由題1-1式(3)可知，在直角坐標系中，它的旋度為 (2)再對上式進行散度運算 (3)得證。1-3 試由微分形式麥克斯韋方程組，導出電流連續(xù)性方程 (1)解：麥克斯韋方程組中微分形式的全電流定律為 (2)對上式等號兩邊進行散度運算，由題1-2知，等

5、號左邊的散度為零，等號右邊的散度亦應為零，即 (3)把微分形式的高斯通量定理 Ñ × d = r 代入上式，考慮到坐標變量和時間變量是相互獨立的自變量，可得1-4題圖 (4)上式移項即得式(1)。1-4 參看1-4題圖，分界面上方和下方兩種媒質的介電常數(shù)分別為 e1和 e2，分界面兩側電場強度矢量e與單位法向矢量n21之間的夾角分別是 q1和 q2。假設兩種媒質分界面上的電荷面密度 rs = 0，試證明： (1)上式稱為電場e的折射定律。證明：根據已知條件，由電位移矢量d的法向分量邊界條件可得d1n = d2n Þ e1e1n = e2e2n (2)根據已知條件可

6、知，分界面兩側電場強度矢量e的切向分量連續(xù)，即e1t = e2t (3)從1-4題圖可以看出 (4)證畢。1-5 參看1-4題圖，分界面上方和下方兩種媒質的磁導率分別為 m1和 m2，假設兩種媒質的分界面上的表面電流密度矢量js = 0，把圖中的電場強度矢量e換成磁感應強度矢量b。試證明： (1)上式稱為磁場b的折射定律。若 m1為鐵磁媒質，m2為非鐵磁媒質，即 m1>>m2 ，當 q1 ¹ 90° 時，試問 q2的近似值為何？請用文字敘述這一結果。解：由磁感應強度矢量的法向分量邊界條件可得b1n = b2n Þ m1h1n = m2h2n (2)根據

7、已知條件可知，分界面兩側的磁場強度矢量h的切向分量相等，即h1t = h2t (3)從1-4題圖可以看出 (4)證畢。當 m1 >>m2時，必有tanq1 >> tanq2 ；而由于 q1 ¹ 90°，則必有 q20，即磁感線垂直于鐵磁媒質的表面。1-6 已知電場強度矢量的表達式為e = isin(w t - b z)j2cos(w t - b z) (1)通過微分形式的法拉第電磁感應定律，求磁感應強度矢量b(不必寫出與時間t無關的積分常數(shù))。解：參見題1-1式(3)，先對電場強度矢量e進行旋度運算 (2)將磁感應強度試量b對時間t進行積分，得 (3

8、)考慮到電場強度矢量e的ez = 0，只有ex和ey兩個坐標分量，且僅是 (z, t) 的函數(shù)，由題1-1式(4)可知 (4)通過對時間t的積分，求出磁感應強度矢量b的兩個坐標分量 (5)于是可以寫出磁感應強度矢量為 (6)與上面直接用電場強度矢量e計算得到的結果相同。1-7 一平板電容器由兩塊導電圓盤組成，圓盤的半徑為r，間距為d。其間填充介質的介電常數(shù) e 。如果電容器接有交流電源，已知流過導線的電流為i(t) = i0sin(wt)。忽略邊緣效應，求電容器中的電位移矢量d。解：解法(一)電容器的電容量為 (1)兩極板間的電壓為 (2)兩極板間的電場為 (3)兩極板間的電位移為 (4)電位

9、移d對時間t的導數(shù)為 (5)解法(二)電容器內部的位移電流等于外部的傳導電流，即 (6)把上式等號兩邊對時間t積分，可得 (7)與解法(一)的結果相同。1-8 在空氣中，交變電場e = jasin(w t - b z)。試求：電位移矢量d，磁感應強度矢量b和磁場強度矢量h。解：由已知條件可知ex = ez = 0， ey = asin(w t - b z) (1)對電場強度矢量e進行旋度運算(參見1-1題)，得 (2)由微分形式的法拉第電磁感應定律，對時間t進行積分，可得 (3)由已知條件可知，電場強度矢量e的兩個坐標分量ez = ex = 0，只有ey分量，且僅是 (z, t) 的函數(shù)，由題

10、1-1式(4)應改寫為 (4)通過對時間t的積分，磁感應強度矢量b的坐標分量只有 (5)即 由本構方程可求得另外兩個矢量 (6)1-9 設真空中的磁感應強度為試求空間位移電流密度的瞬時值。解：由麥克斯韋方程知，而真空中傳導電流j = 0，則位移電流為求得1-10 試證真空中麥克斯韋方程對于下列變化具有不變性式中，為真空中的光速。證明：由于真空中，j=0，=0，那么，e及b應滿足的麥克斯韋方程可簡化為， 即 將e及b代入該方程，即得而式中，。因此，上式可簡化為即 同理可證，即麥克斯韋方程對該變換具有不變性。第2章習題答案2-1 參看圖2-5-1，無限大導板上方點p(0, 0, h) 處有一點電荷

11、q。試求：z > 0半無限大空間的電場強度矢量e和電位移矢量d，以及導板上的面電荷密度 rs和總電荷量q。解：用鏡像點電荷q代替無限大理想導板。鏡像點電荷q和真實點電荷q到任意給定的觀察點(x, y, z) 的距離分別為 (1)任意給定的觀察點(x，y，z)處的電位分布函數(shù)為 (2)由 可得 因此，無限大導板上方半無限大空間(點電荷所在點除外)的電場強度矢量為 (3)而電位移矢量為 (4)導板表面任意位置 (x, y, 0) 處電位移矢量d的法向分量就等于導板表面的面電荷密度： (5)在導板表面上 (6)因此有 (7)如果改為圓柱形坐標系，電荷分布函數(shù)可改寫為 (8)把電荷分布函數(shù)在無窮

12、大導板表面上進行積分，可得 (9)2-2 參看圖2-6-3，如果將4塊導板的電位分別改為：上板120 v，左板40 v，下板30 v，右板90 v。按下面步驟和要求用迭代法計算4個內節(jié)點處的電位值：(1) 列出聯(lián)立方程；(2) 用塞德爾迭代法求解；(3) 計算最佳加速因子 a；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比較兩種迭代法的結果和收斂速度。兩種迭代方法的迭代次數(shù)都取n = 4。解：(1) 列聯(lián)立方程： (1)用消元法可求得準確解為y1 = 52.5 ， y2 = 75 ， y3 = 65 ， y4 = 87.5 (2)(2) 塞德爾迭代法初值選取平均值 y1 = y2 = y3 = y4

13、= (120+40+30+90)/4 = 70 (v) (3)第1次迭代： (4)第2次迭代： (5)第3次迭代： (6)第4次迭代： (7)第5次迭代： (8)各磁迭代結果列在2-2題表中。表中數(shù)據精確到小數(shù)點后一位：y1 = 52.5 ， y2 = 75 ， y3 = 65 ， y4 = 87.5 (9)(3) 計算最佳加速因子 a (取p = 4)2-2題表1 各次迭代值與差分方程的準確值、分離變量法計算值對照表電 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法準確值分離變量法計算值y1 = y1152.550.3151.9552.3652.4652.5y2 = y1270.6373.917

14、4.7274.9374.9875y3 = y2160.6363.9164.7364.9364.9865y4 = y2285.3186.9387.3687.5787.4987.5 (10)(4) 用超松弛迭代法求解，迭代公式如下： (11)代入加速因子 a，得(初值仍選取平均值) (12)第1次迭代 (13)第2次迭代 (14)第3次迭代 (15)第4次迭代 (16)各次迭代值列在下表之中：2-2題表2 各次迭代值與差分方程的準確值、分離變量法計算值對照表電 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法準確值分離變量法計算值y1 = y1151.2449.9052.5752.4952.552.5y

15、2 = y1270.3374.2575.0075.0075.075y3 = y2159.6164.3064.9965.0065.065y4 = y2286.0687.2287.5287.5087.587.5(5) 比較兩種迭代法的結果和收斂速度：超松弛迭代法第4次迭代結果與塞德爾迭代法第5次迭代結果相同。2-3 參看圖2-7-1，如果平板電容其中電荷分布的線密度為 r = e0(1 + 4x2)，其余條件相同，用矩量法(伽遼金法)求兩導板之間的電位分布函數(shù) y。選擇基函數(shù)為fn (x) = x(1 - xn) n = 1, 2, 3, (1)解：根據已知條件可知，其邊值問題的泊松方程和邊界條件

16、為 (2)如果用直接積分法，并且由邊界條件確定積分常數(shù)，則上面微分方程式的準確解為當然，這么簡單而且又有準確解的微分方程是用不著通過矩量法來求解的。把簡單問題作為例子的目的，只不過是為了便于比較而已。題目中給出的基函數(shù)為f1(x) = x(1 - x) ， f2(x) = x(1 - x2) ， f3(x) = x(1 - x3) (3)電位分布函數(shù)為y (x) = k1x (1 - x) + k2x (1 - x2) + k3x (1 - x3) (4)選權函數(shù)與基函數(shù)相同：w1(x) = x (1 - x) ， w2(x) = x (1 - x2) ， w3(x) = x (1 - x3)

17、 (5)代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (6) (7)列出矩陣方程如下 (8)于是可得到電位分布函數(shù)如下 (9)本題若選取權函數(shù)為w1(x) = -1 ， w2(x) = -x ， w3(x) = -x2 (10)代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (11) (12)列出矩陣方程如下： (13)展開系數(shù)的結果相同，但計算過程要簡單一些。2-4 參看例2-7-1以及該題示意圖圖2-7-1。如果在該問題中選擇權函數(shù)為 (1)上式中，r是余數(shù)，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通過這種方式來選擇權函數(shù)，又稱為最小二乘法。在其他已知條件均不變的情況下，用最小二乘法來求解兩導板之間的電位分布函數(shù) y

18、。解：代數(shù)(矩陣)方程的系數(shù)和常數(shù)分別為 (2) (3)列出矩陣方程，并求得展開系數(shù)的解為 (4)本題若選取權函數(shù)為w1(x) = -1 ， w2(x) = -x (5)得到的矩陣方程及展開系數(shù)的解為 (6)電位分布函數(shù)為 (7)2-5 若帶點球的內外區(qū)域中的電場強度為試求球內外各點的點位。解：在r < a區(qū)域內，電位為在r > a區(qū)域內，。2-6 已知空間電場強度e = 3ex + 4ey - 5ez，試求（0，0，0）與（1，1，2）兩點間的電位差。解：設p1點的坐標為（0，0，0），p2點的坐標為（1，1，2），那么，兩點間的電位差為式中，e = 3ex + 4ey - 5e

19、z，dl = ex dx + ey dy + ez dz，因此電位差為2-7半徑為的球內充滿介電常數(shù)為的均勻介質，球外是介電常數(shù)為的均勻介質。若已知球內和球外的電位為式中為常數(shù)，求（1） 兩種介質中的和；（2） 兩種介質中的自由電荷密度。解 （1） 在區(qū)域內在區(qū)域內（2）在區(qū)域內，電荷體密度在區(qū)域內，電荷體密度在球面上，電荷面密度2-8一半徑為的薄導體球殼內表面涂覆了一薄層絕緣膜，如圖題2-6所示，球內充滿了總電荷量為的體電荷，球殼上又另充有電量，已知內部的電場為，設球內介質為真空。計算：圖題2-8（1）球內的電荷分布；（2）球外表面的面電荷分布。解 （1）由高斯定理的微分形式可求得球內的電荷

20、體密度為（2）球內的總電荷量在球殼外作一與球殼同心的球形高斯面（略大于），根據場的球對稱性，由高斯定理時 在導體球殼內作一與球殼同心的球面（略小于），由于球殼內電場為零，所以。由邊界條件即導體球殼外表面電荷密度為。由此可知：球殼外表面上的電荷密度為，所以球殼外表面上的總電荷為球殼內表面上電荷為。故球內電荷不僅在球殼內表面上產生感應電荷，而且還在球殼外表面上產生感應電荷，所以在球殼外表面上的總電荷為。2-9中心位于原點，邊長為的電介質立方體極化強度矢量為。（1）計算面和體極化電荷密度；（2）證明總的極化電荷為零。解（1）極化電荷體密度時，極化電荷面密度時，極化電荷面密度同理可得：，時（2）總極化

21、電荷第3章習題答案3-1 通過直角坐標系試證明，對于任意的標量函數(shù) y 和矢量函數(shù)a都滿足下面關系：(1) Ñ ´ (Ñy) º 0 ；(2) Ñ × (Ñ ´ a) º 0證明：(1) 設 y 為任意標量場函數(shù)，在直角坐標系中它的梯度為 (1)再對上式進行旋度運算 (2)得證。(2) 設a為任意矢量場函數(shù)，由題1-1式(3)可知，在直角坐標系中，它的旋度為 (3)再對上式進行散度運算 (4)得證。3-2 同軸線內、外半徑分別為a和b，內外導體之間介質的介電常數(shù)為 e，電導率為 s。設在同軸線內外導體上施

22、加的電壓為uab ，求內外導體之間的漏電流密度j。解：為了分析問題方便，本題采用圓柱形坐標系。先用直接法來求內外導體之間的電流密度矢量j。設同軸線的長度為l。如果內外導體之間的總電流為i，則任何給定半徑 r 的同軸圓柱面s上，由對稱性可知，電流密度矢量、電場強度矢量與電流的關系為 (1)在同軸線任意橫截面上，沿 r 方向對電場強度矢量e進行積分，可求得內外導體之間的電壓 (2)由上式可求得同軸線內外導體之間的漏電流為 (3)于是可求得同軸線內外導體之間的漏電流密度矢量為 (4)本題也可以通過拉普拉斯方程來求解。在圓柱形坐標系中，電位函數(shù)的拉普拉斯方程為 (5)注意上式中的 r 是圓柱形坐標系的

23、坐標變量，而不是電荷密度。由于沿z軸方向沒有變化，上式中的拉普拉斯方程退化為極坐標的二維拉普拉斯方程，即 (6)由軸對稱性可知，對于同軸線拉普拉斯方程還可以進一步簡化為只對 r 變量進行微分運算，因此問題的邊值條件可以寫成 (7)方程的通解為y1 = c1lnrc2 (8)根據邊界上的電位函數(shù)值可確定兩個積分常數(shù)分別為 (9)于是可求得電位分布函數(shù)為 (10)由軸對稱性可知，對于同軸線，式(3-3-8)給出的電位梯度可以簡化為 (11)由微分形式的歐姆定律可求得同軸線任意橫截面半徑為 r 處的電流密度矢量 (12)3-3 求圖3-3-2中1/4墊圈兩個彎曲面r = a和r = b之間的電阻。解

24、：為了分析問題方便，本題采用圓柱形坐標系。先用直接法來求兩個彎面之間的電流密度矢量j。如果兩個彎面之間的總電流為i，由對稱性可知，在任何給定半徑 r 的1/4同軸圓柱面 s 上，電流密度矢量、電場強度矢量與電流的關系為 (1)在同軸線任意橫截面上，沿 r 方向對電場強度矢量e進行積分，可求得內外導體之間的電壓 (2)由上式可求得墊圈兩個彎曲面r = a和r = b之間的漏電流為 (3)從上式便可解出兩個彎面之間的電阻 (4)3-4 參見3-4題圖。某輸電系統(tǒng)的接地體為緊靠地面的半球。土壤的平均電導率為 s =10-2 s/m。設有i = 500 a的電流流入地內。為了保證安全，需要劃出一半徑為

25、a的禁區(qū)。如果人的正常步伐為b = 0.6 m，且人能經受的跨步電壓為u = 200 v，問這一安全半徑a應為多大？解：流入地下的電流分布在地下2p 立體角的半無窮大空間，在半徑為r的半球面上，電流密度矢量和電場強度矢量分別為 (1)在半徑為 (ab) 和半徑為a的跨步間隔上，跨步電壓與場強的關系為 (2)把上式改寫成 (3)在上式中代入ua，ab = 200 v，i = 500 a，b = 0.6 m和 s = 10-2 s/m，整理后可得求解這個一元二次方程，舍去增根，便可解出禁區(qū)的半徑為 (4)3-5 參看圖2-5-6，半徑為a，間距為d的平行雙線傳輸線，周圍介質的介電常數(shù)為 e，電導率

26、為 s。利用例2-5-2的結果，計算平行雙線每單位長度的分布漏電導g1。解：由式(2-5-18)可知，如果平行雙線周圍介質的介電常數(shù)為 e = ere0，則兩導線之間的分布電容為 (1)根據相似性原理，如果平行雙線周圍媒質的電導率為 s，則兩導線之間的分布漏電導為 (2)3-6 參看圖3-2-1(a)，半徑分別為a和b的兩個同心球殼(a < b)之間是電導率為 s = s0(1 + k/r)的導電媒質，試求兩球殼之間的電阻rab。再問此題中的電流位 y 是否滿足普拉斯方程。解：(直接法)假設在以兩球殼公共球心o為球心、半徑為r的球面 s 上通過的電流為i，則該球面 s 上的電流密度矢量、

27、電場強度矢量的關系為 (1)而兩球殼之間的電壓u0等于電場強度矢量e的er分量沿r方向的定積分值 (2)于是可求得兩球殼之間的電阻為 (3)驗證電流位是否滿足拉普拉斯方程：由于本題具有球對稱性，在球坐標系中，電位的梯度為 (4)于是有 (5)由附錄五可知，在球坐標系中，矢量e的散度為 (6)由于本題具有球對稱性，上式等號右邊只有第1項，即 (7)由于媒質不均勻，電導率 s 是空間坐標的函數(shù)，媒質中存在著凈電荷分布，因此本題不滿足拉普拉斯方程。3-7 已知一根長直導線的長度為1km，半徑為0.5mm，當兩端外加電壓為6v時，線中產生的電流為1/6a，試求：導線的電導率；導線中的電場強度；導線中的

28、損耗功率。解：由u = ir，求得 由，求得導線的電導率為 導線中的電場強度為 單位體積中的損耗功率，那么，導線的損耗功率為3-8 當恒定電流通過無限大的非均勻導電媒質時，試證任意一點的電荷密度可以表示為證明：已知恒定電流場是無散場，即 ，那么又由于介質中電通密度在某點的散度等于該點自由電荷的體密度，即由上兩式求得第4章習題答案4-1 通過直角坐標系試證明，對于任意的矢量a都滿足下面關系：Ñ ´ (Ñ ´ a) º Ñ(Ñ × a)Ñ2a (1)證明：設a為任意矢量場函數(shù)，在直角坐標系中對它的旋度再進行旋

29、度運算： (2)式(1)的第1項和第2項分別為 (5)于是得證。4-2 已知無限長導體圓柱半徑為a，通過的電流為i，且電流均勻分布，試求柱內外的磁感應強度。解：建立圓柱坐標系，令圓柱的軸線為z軸。那么，由安培環(huán)路定律可知，在圓柱內線積分包圍的部分電流為，又，則即 在圓柱外，線積分包圍全部電流i，那么即 z-aaoiixy習題圖4-3 4-3 若在y = - a處放置一根無限長線電流ez i，在y = a處放置另一根無限長線電流ex i，如習題圖4-3所示。試求坐標原點處的磁感應強度。解：根據無限長電流產生的磁場強度公式，求的位于y= - a處的無限長線電流ez i在原點產生的磁場強度為位于y=

30、 a處的無限長線電流ex i產生的磁場強度為因此，坐標原點處總磁感應強度為4-5 證明在邊界上矢量磁位a的切向分量是連續(xù)的。證明：已知磁通 與矢量磁位a的關系為類似證明磁場強度的切向分量是連續(xù)的方法，緊靠邊界作一個閉合矩形方框。當方框面積趨近于零時，穿過方框的磁通 也為零，那么求得這樣，由此可知a1t = a2t，即邊界上矢量磁位a的切向分量是連續(xù)的。4-6 一個半徑為的導體球帶電荷量為，以勻角速度繞一個直徑旋轉，求此球心處的磁感應強度。圖 題4-6解 球面上的電荷面密度為當球體以均勻角速度繞一直徑旋轉時，如圖題3-1所示，球面上位置矢量點處的電流面密度為將球面劃分為無數(shù)個寬度為的細圓環(huán)，則球

31、面上任一個寬度為的細圓環(huán)的電流為細圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式可得該細圓環(huán)電流在球心處產生的磁感應強度為故整個球面電流在球心處產生的磁感應強度為4-7 兩個相同的半徑為b，各有匝的同軸線圈n，相距d，如圖題4-7所示。電流i以相同方向流過兩個線圈。（1）求兩個線圈中點處的；（2）證明：在中點處等于零；（3）使中點處也等于零，則b和d之間應有何種關系？（這樣一對線圈可用于在中點附近獲得近似的均勻磁場，稱為亥姆霍茲線圈）圖題4-7解 （1）由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應強度可得兩個線圈中點處的磁感應強度為（2）證明 兩線圈的電流在其軸線上x（0<x<

32、;d）處的磁感應強度為所以在中點x=d/2處令，則即 所以b=d。4-8 一圓形截面的無限長直銅線，半徑為1cm，如圖題4-8所示，通過電流為25a，在銅線外套上一個磁性材料制成的圓筒，與之同軸，圓筒的內，外半徑為2cm及3cm，相對磁導率為2000。（1）求圓筒內每米長的總磁通量；（2）求圓筒內的磁化強度m；（3）求圓筒內的磁環(huán)電流jm和jms。圖題4-8解 （1）圓筒中的磁感應強度為故單位長圓筒內的磁通為（2）磁化強度為（3）磁環(huán)電流密度圓筒內表面磁化電流面密度外表面磁化電流密度第5章習題答案5-1 通過直角坐標系驗證矢量恒等式：Ñ × (e×h) = h &

33、#215; (Ñ×e)e × (Ñ×h) (1)證明：分別從等號左邊和右邊來證。先來證明等號右邊 (1)同理，有 (2) (3)得證。5-2 根據下面復數(shù)形式的簡諧場表達式，利用麥克斯韋方程求出其相應的電場或磁場表達式，并把復數(shù)形式改寫成瞬時值形式。解：旋度運算的行列式如下：5-3 將下面瞬時形式的簡諧場表達式改寫成復數(shù)形式，并利用麥克斯韋方程求出其相應的電場或磁場表達式。解：利用題5-1中矢量的旋度計算公式，前3題復數(shù)形式的電場和磁場分別為(4) 球坐標系中，復數(shù)形式的電場強度矢量為在球坐標系中，矢量場的旋度可按下面行列式進行計算：上式中 5

34、-4 電流元的遠區(qū)輻射場為 (1)試求：(1)寫出波印亭矢量的瞬時值s；(2)寫出復數(shù)波印亭矢量sc；(3)總的平均輻射功率ps。解：(1)由瞬時形式的場矢量求瞬時波印亭矢量 (2)(2)由復數(shù)形式場表達式可求得復數(shù)波印亭矢量 (3)(3)總的平均輻射功率 (4)5-5 在微波環(huán)境中，如果平均功率密度 |sav| < 10 mw/cm2對人體是安全的。分別計算以電場強度e和磁場強度h表示的相應標準。已知e = h0h，h0 = 120p w。解：平均功率密度與最大場強振幅值e0和h0的關系為 (1)若用e和h分別表示實際工作中的電場強度矢量和磁場強度矢量，則有 (2)5-6 設一天線輻射

35、的電場強度矢量為e = iasin(wt - kz) (1)上式中，是電磁波的相位常數(shù)，已知波阻抗。試求：(1)將電場強度矢量e改寫成復數(shù)形式；(2)通過麥克斯韋方程求磁場強度矢量h；(3)瞬時波印亭矢量s；(4)復數(shù)波印亭矢量sc。解：(1)將電場強度矢量寫成復數(shù)形式 (2)(2)通過麥克斯韋方程求磁場強度矢量 (3)(3)瞬時波印亭矢量 (4)(4)復數(shù)波印亭矢量 (5)5-7 空中交變電磁場的電場強度矢量只有x分量ex = acos(wt - kz) + bsin(wt + kz) (1)試求：(1)由麥克斯韋方程求出磁場強度矢量h；(2)瞬時波印亭矢量s；(3)復數(shù)波印亭矢量sc。解：

36、(1)先把電場表達式變成復數(shù)形式，再由麥克斯韋方程求出磁場強度矢量 (2)(2)瞬時波印亭矢量 (3)(3)復數(shù)波印亭矢量 (4)5-8 將下列指數(shù)形式(復數(shù)形式)的場表達式變換成正、余弦形式(瞬時值形式)的場表達式，或者做相反的變換。(注意，在取實部之前應加上時間因子ejw t)(1) e = ie0ejae-jkz ； (2) e = je0； (3) e = ie0cos(wt - kz)j2e0cos(wt - kz + p)解：(1)、(3)加入時間因子ejw t后取實部便可得到瞬時值形式(3)瞬時值形式變換成復數(shù)形式5-9 已知磁導率為 m，介電常數(shù)為 e 的均勻媒質中，電場強度矢

37、量的表達式為e = (i + jj)aej(wt-bz) (1)上式中，是電磁波的相位常數(shù)，已知波阻抗。試求：(1)瞬時波印亭矢量s，復數(shù)波印亭矢量sc和平均波印亭矢量sav；(2)電場能量密度we和磁場能量密度wm。解：(1) 求出復數(shù)形式的磁場表達式，便可得到復數(shù)形式的波印亭矢量： (2)由瞬時值形式的電場強度矢量和磁場強度矢量來求瞬時波印亭矢量 (3)(2)電場能量密度和磁場能量密度 (4)第6章習題答案6-1 一頻率為f = 100 mhz的均勻平面電磁波在簡單媒質(mr = 1，er = 4，s = 0)中沿 +z方向傳播，電場強度矢量為e = iex(z, t)，電場的振幅值為e0

38、 = 10-4 v/m。當t = 0，z = 0.125 m時，電場的瞬時值達到振幅值e0 。試寫出電場強度矢量e和磁場強度矢量h的瞬時表達式。解：電磁波的工作波長和實際波長分別為 (1)電磁波的相位常數(shù)為 (2)設電場強度矢量e的ex分量瞬時值表達式為ex = e0 cos(wt - kz + y) (3)在t = 0時刻，z = 0.125 m處cos(00.125 ´ k + y) = 1，因此有 y = 0.125 k = p/6，于是可寫出電場強度矢量e的x分量為 (4)磁場強度矢量h及其分量表達式為 (5)6-2 已知自由空間中電磁波的振幅為a，極化方向為j，圓頻率為 w

39、，傳播方向為(z)，試寫出該電磁波的電場強度矢量e和磁場強度矢量h。解：根據已知條件，可由電場強度矢量的瞬時值形式得到復數(shù)形式 (1) (2)亦可根據電場強度矢量、磁場強度矢量和傳播方向三者的右手螺旋關系來求 (3)6-3 試證明在色散媒質中相速vp和群速vg之間滿足下面關系：上兩式中，b 和 l 分別是色散媒質中電磁波的相位常數(shù)和波長。證明：由 w = vp b，可得 (1)由，代入上式可得 (2)得證。6-4 已知某色散媒質的色散關系為，其中 l0是該波在真空中的波長，k，m是正實數(shù)，求群速vg 。解：由已知條件可得 (1)由群速計算公式，可得 (2)6-5 已知自由空間電磁波的電場強度矢

40、量的表達式為 (1)試求其相伴的磁場強度矢量h，并指出電磁波的極化方式。解：由麥克斯韋方程求相應的磁場強度矢量 (2)亦可根據電場強度矢量、磁場強度矢量和傳播方向三者的右手螺旋關系來求 (3)從電場強度矢量e或磁場強度矢量h的表達式中可以看出，電磁波沿 +z方向傳播，兩個分量等幅，y分量的相位超前于x分量的相位差角為90°，因此合成波為左旋圓極化波。6-6 試判斷ex = 2cos(w t - bz)，ey = 3cos(w t - bz + 90°) 是什么極化波，并寫出ex和ey分量所滿足的軌跡方程式。解：從表達式容易看出，波沿 +z方向傳播，兩個線極化波分量不等幅，e

41、y分量的相位超前于ex分量的相位差角為90°，合成波是左旋橢圓極化波。該橢圓極化波的軌跡為正橢圓，軌跡方程式為 (1)6-7 試判斷下列各波的極化狀態(tài)(線極化應指出極化方向，圓極化應指出旋轉方向)。(1) ex = bsin(w t - bz) ， ey = acos(w t - bz + 90°)(2) ey = -acos(w tbx) ， ez = acos(w t - bx + 90°)(3) ez = bcos(w t + by - 270°) ， ex = acos(w t + by)(4) ex = aej(w t+b z) ， ez =

42、aej(w t+b z+90°)(5) 解：逐個進行判斷如下：(1) ex = bsin(w t - bz) = bcos(w t - bz - 90°) ， ey = acos(w t - bz + 90°)波沿 +z方向傳播，兩個線極化波分量等幅反相，合成波是線極化波。電場強度矢量e與x軸正方向的夾角及其單位矢量分別為(2) ey = -acos(w t - bx)= acos(w t - bx + 180°) ， ez = acos(w t - bx - 90°)波沿 +x方向傳播，兩個線極化波分量等幅，ey分量的相位超前于ez分量的相位

43、差角為90°，合成波是右旋圓極化波。(3) ez = bcos(w t + by - 270°) = bcos(w t + by + 90°) ， ex = acos(w t + by)波沿 -y方向傳播，兩個線極化波分量不等幅，ex分量的相位落后于ez分量的相位差角為90°，合成波是左旋橢圓極化波。(4) ex = aej(w t+b z) ， ey = aej(w t+b z+90°)波沿 -z方向傳播，兩個線極化波分量等幅，ey分量的相位超前于ex分量的相位差角為90°，合成波是右旋橢圓極化波。(5) 波沿 +z方向傳播，兩個線

44、極化波分量等幅，hy分量的相位超前于hx分量的相位差角為90°，合成波是左旋圓極化波。6-8 試證明：(1) 一個橢圓極化波可以分解為一個左旋和右旋的圓極化波；(2) 一個圓極化波可以由兩個旋向相反的橢圓極化波疊加而成。證明：(1) 以右旋橢圓極化波為例來證明。設波的傳播方向為z方向，它的兩個線極化波分量電場的振幅分別為a和b，a ¹ b。它的表達式為 (1)上式中，(a - b) = 2a，(a + b) = 2b。(2) 以右旋圓極化波為例來證明。設波的傳播方向為z方向，它的兩個線極化波分量電場的振幅都是a。它的表達式為 (2)上式中m ¹ 0，n ¹

45、; 0，m ¹ n。6-9 已知無限大均勻理想介質中，電場強度矢量的表達式為e = (i2 + j2 - kj)e-j(x-y) (1)試說明該波的極化狀態(tài)，并計算它的波長 l。解：先討論波的傳播方向，由指數(shù)因子的指數(shù)k(xcosa + ycosb + zcosg ) = x - y (2)由方向余弦的關系可得 (3)于是可求得相位常數(shù)、波長和頻率 (4)方向余弦值及相應的角度為 (5)電磁波的傳播方向為 (6)從電場強度矢量表達式可以看出，它可以分解為兩個線極化波e = e1 + e2 = (i2 + j2) e-j(x - y) - kje-j(x - y) (7)從表達式可以看出，第2個線極化