高斯定理在空間對稱引力場中的應(yīng)用

1、內(nèi)江師范學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）本 科 畢 業(yè) 論 文題 目：高斯定理在空間對稱引力場的應(yīng)用 姓 名：石宇 學 號：20120341006 院 別：工程技術(shù)學學院 專 業(yè)：物理學 年 級：2012級1班 指導教師：黃永超 ii目 錄1引言12引力場建立的背景及初步認識22.1引力場建立的背景22.2引力場的初步認識23靜電場中高斯定理的理解與應(yīng)用33.1靜電場中高斯定理的理解33.1靜電場中高斯定理的應(yīng)用44靜電場與萬有引力場的分析與類比54.1靜電場與萬有引力場的分析54.2靜電場與萬有引力場的類比55高斯定理在空間對稱引力場中的應(yīng)用85.1質(zhì)量分布具有球?qū)ΨQ性85.2質(zhì)量分布具有軸對稱性9

2、5.3質(zhì)量分布具有面對稱性106結(jié)束語11參考文獻12致謝13摘 要在靜電場中，當電荷具有某種對稱性時，場強的計算可以通過應(yīng)用高斯定理而簡化計算。所以，本文將通過比較靜電場和引力場，從而用類比的方法把靜電場中高斯定理的形式推廣到萬有引力場中。在此基礎(chǔ)上，通過萬有引力場中的“高斯定理”，從而解決在空間對稱引力場中的相關(guān)問題。關(guān)鍵詞：高斯定理；萬有引力；空間對稱引力場；應(yīng)用AbstractIn the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be

3、calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "

4、Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry. Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application內(nèi)江師范學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）1引言高斯定理也叫作高斯公式，或叫作散度定理、高斯散度定理、高斯

5、奧斯特羅格拉德斯基公式、奧氏定理或高奧公式（通常情況下高斯定理都是指該定理，也有其它同名定理）。在靜電學中，表明在閉合曲面內(nèi)產(chǎn)生的電場在該閉合曲面上的電通量積分與該閉合曲面上電荷之和之間的關(guān)系。 在電磁學一書中，可以了解到高斯定理對于解決靜電場中電荷分布對稱的相關(guān)問題有著非常重要的應(yīng)用。那么在引力場中，能不能用高斯定理來解決引力場的相關(guān)問題呢？質(zhì)量分布具有對稱性時，盡管可以用萬有引力定律和力的合成求物體所受到的引力，然而這樣通常計算十分復(fù)雜，但是在靜電場中運用高斯定理求解對稱性問題時往往能十分輕松的解決，如果把高斯定理在靜電場中的應(yīng)用運用到萬有引力場中，那樣就可以很好的解決空間對稱引力場的問題

6、。所以，本文將通過類比靜電場和引力場著重講解高斯定理在空間對稱引力場中的作用。152引力場建立的背景及初步認識2.1引力場建立的背景 物體之間沒有接觸怎么會有作用力呢？當時的科學界對引力有幾種看法：一種是以牛頓為代表的一些人認為，引力是瞬間從一個物體傳到另一個物體的：而部分科學家認為，這些力是完全不可思議的：另一些科學家則與神學家持有相同的看法，認為科學的力量是有限的，在自然中有許多現(xiàn)象是難以理解的，對它們不可能用合理的方式加以解釋。更多的人則試圖尋找一種特殊的介質(zhì)（以太），認為力是借助以太來傳播的。牛頓建立萬有引力之后，人們一直試圖用以太來解釋這種力，但是都失敗了，最終由愛因斯坦的引力場理論

7、才解釋了這一切問題1。2.2引力場的初步認識根據(jù)愛因斯坦提出的概念可知：物體不但可以以實體的形式存在，還可以以場的形式存在。電磁場是一種物質(zhì)，但它是以場的形式存在的。一個點電荷可以在它的周圍發(fā)出電場，場強為,處于該電場中的電荷受到該場的作用力為：。與電場近似，同樣可以引進引力場的觀點，即任一質(zhì)量為的物體將在它的周圍的空間發(fā)出一種場，叫做引力場（傳播速度為光速），而處于該場中的其他物體將受到該場的作用力。比如地球在它的周圍發(fā)出引力場，空間每一點都有一矢量，成為重力場強。將物體，放在某處，物體，將受到重力場的作用，受力為，。因此，場強是單位質(zhì)量物體在引力場中所受的力。這是從從經(jīng)典的角度對引力和引力

8、場的初步理解。而實際上，引力還有兩個本質(zhì)的問題沒有回答。第一，引力場是如何傳播的。第二，根據(jù)相對性原理，萬有引力是否具有協(xié)變性，即按照一定的變換方式，是否在不同的慣性參考系下具有相同的表達式。對于前者，愛因斯坦提出引力場類似于光波場，是通過引力子傳播的，并且也可以產(chǎn)生引力波。但是，至今還沒有足夠的證據(jù)證明引力子和引力波的存在，這在目前仍是當代物理學的一個前沿課題。對于后者，在廣義相對論中已有明確的答案，目前的萬有引力公式不具有協(xié)變性，只適合經(jīng)典范疇。在廣義相對論中。以上內(nèi)容是對引力場背景及內(nèi)容的初步認識。3靜電場中高斯定理的理解與應(yīng)用3.1靜電場中高斯定理的理解高斯定理是靜電學的一個重要定理，

9、是關(guān)于靜電場中任一閉合曲面的“通量”的定理，對于解決靜電場的相關(guān)問題有著非常廣泛的應(yīng)用。靜電場中的高斯定理用文字可以表達為：任一閉合曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和除以等于靜電場中該閉合曲面的通量。其數(shù)學表達式為： （1）高斯定理是通過庫侖定律（及疊加原理）推導出來的。在（1）式，等式左邊的積分中表示為曲面上處的電場強度。表示為在曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和。對于高斯定理的理解還有必要說明以下兩個問題。（1） 高斯定理斷言閉合曲面外的電荷對閉合曲面的通量沒有貢獻，但不意味著這些電荷對面上各點的場強沒有貢獻2。高斯面上的通量的變化與高斯面內(nèi)和高斯面外電荷的位置改變是沒有關(guān)系的，但是電荷位置的改變對于高斯面上的電場強度是

10、有影響的。（2） 高斯定理是由庫侖定律及疊加原理推導出來的，但是兩者在使用上分工不同。大致來說，庫侖定律及疊加原理解決從電荷分布求場強的問題，高斯定理則能夠從場強求出電荷分布2。欲求某點的電荷體密度，可以包圍該店作一形狀適當?shù)男￠]合曲面，根據(jù)面上的已知場強求出通量，由高斯定理便可得知面內(nèi)的電荷。設(shè)此面所包圍的體積，則就近似于等于該點的電荷體密度。所取的越小，求得的就越精確。這個就算雖然可能很麻煩，但原則上是可行的。借用矢量分析的語言，可把高斯定理寫成另一形式（微分形式），根據(jù)這一形式，只要對已知的矢量場（）作微分運算，便可方便地求得各點的。3.1靜電場中高斯定理的應(yīng)用在電荷分布已知時，雖然原則

11、上可以用庫侖定律和疊加原理來計算各點的場強，但是這樣的計算往往十分復(fù)雜。因此當電荷分布具有某種對稱性時（球?qū)ΨQ，面對稱，軸對稱），場強的計算可以由于應(yīng)用高斯定理而得到簡化。所以，運用高斯定理在解決靜電場中電荷分布對稱的問題時，有著非常廣泛的應(yīng)用。通過對靜電場中高斯定理了解與應(yīng)用的理解，知道了高斯定理是通過庫侖定律及場疊加原理推導出來的，庫侖定律滿足平方的反比定律，且高斯定理對于解決對稱性問題有著非常廣泛的應(yīng)用。4靜電場與萬有引力場的分析與類比4.1靜電場與萬有引力場的分析法國物理學家?guī)靵鲇?785年在電力定律一論文中提出該定律。庫侖定律的常見表述是：兩個靜止的點電荷在真空環(huán)境中它們之間的相互作

12、用力，與它們的距離的平方成反比，與它們的電荷量的乘積成正比，作用力是在它們的連線的方向上，異性電荷相吸，同性電荷相斥。庫侖定律是電磁學和電磁場理論的基本定律之一，是電學發(fā)展史上的第一個定量規(guī)律。庫倫定律的數(shù)學表達式為： （2）萬有引力定律是艾薩克·牛頓在1687年于自然哲學的數(shù)學原理上發(fā)表的，對于質(zhì)量分別為和，距離為的兩個星體之間的相互作用力作了分析，并將其推廣為任何兩個物體之間的相互作用力。萬有引力定律的常見表述為：在任意兩個質(zhì)點的連心線上它們之間有相互吸引力。萬有引力的大小跟它們距離的二次方成反比，跟它們的質(zhì)量乘積成正比。萬有引力定律的數(shù)學表達式為： （3）在電磁學一書中了解到通

13、過庫侖定律和疊加原理可以推導出在靜電場中高斯定理。庫侖定律的疊加原理為：在空間中有兩個以上的點電荷時，其他點電荷單獨存在時作用于該電荷的靜電力的矢量和等于作用于每一個電荷上的總靜電力。同樣在萬有引力場中，質(zhì)點受到多個質(zhì)點（）的引力作用時，各質(zhì)點單獨存在時受到引力的矢量和等于受到的總的引力，所以萬有引力場同樣滿足疊加原理。再通過比較庫侖定律與萬有引力定律的數(shù)學表達式，還發(fā)現(xiàn)它們都滿足平方的反比定律，在式（2）和式（3）中，萬有引力定律中的和庫侖定律中的都屬于常量，萬有引力定律中的的性質(zhì)和庫侖定律的性質(zhì)也相同，所以我們可以通過類比的方法把靜電場中的高斯定理應(yīng)用到萬有引力場中。4.2靜電場與萬有引力

14、場的類比通過上面的分析得出，萬有引力定律與與庫倫定律都服從平方反比定律，并且都符合疊加原理。在靜電場中的高斯定理是通過庫侖定律及疊加原理得出的結(jié)果。那么，我們運用萬有引力定律和疊加原理一樣也能推導出萬有引力場中的高斯定理。（1） 靜電場中 電荷周圍存在電場在電場中電荷所受到電場力作用庫侖定律為： （4） , （5）電場強度 （6）點電荷場強公式為： （7）有限帶電體的場強為： （8）一個點電荷激發(fā)條電場線，所以個點電荷激發(fā)條電場線電場強度通量為： （9）電場中的高斯定理為： （10）為面內(nèi)的電荷。（2） 萬有引力場質(zhì)點周圍存在萬有引力場萬有引力場中質(zhì)點所受到的萬有引力的作用萬有引力定律為： （

15、11） ， （12）萬有引力強度為： （13）質(zhì)點引力場強度公式為： （14）有限物體的萬有引力場強公式為： （負號表示與的方向相反） （15）引力場通量為： （16）引力場高斯定理為： （17）上述（17）式子為萬有引力場中的高斯定理，用文字可以表述為：在萬有引力場中，任一閉合曲面所包圍的質(zhì)量元代數(shù)和與該閉合曲面的萬有引力場強通量成正比4。5高斯定理在空間對稱引力場中的應(yīng)用 通過上述靜電場與萬有引力場的分析與類比，通過類比的方法已經(jīng)得出了萬有引力場中的高斯定理，所以現(xiàn)在就要利用萬有引力場中的高斯定理來解決一些在空間對稱引力場中的問題，了解高斯定理在空間對稱引力場中的應(yīng)用。5.1質(zhì)量分布具有球

16、對稱性質(zhì)量均勻分布在球體上, 球體的半徑為,求質(zhì)量為與球心距離為的質(zhì)點所受到的萬有引力的大小。解：由于球體上的質(zhì)量分布均勻，因此我們可以知道引力場強具有球?qū)ΨQ性，即以球心為圓心的同一球面上，場強方向垂直于球面，各點的引力場強的大小相同，而且指向球心。（1）過球體外一點點作半徑為（）與球體同心的球面，通過此球面的的通量為： （18）該球面就是所作的高斯面，球面內(nèi)的質(zhì)量就是球體的質(zhì)量，所以由高斯定理有： （19） （） （20）因此在球外某質(zhì)點所受到的引力大小為 （） （21）（2） 當時，所作的球面內(nèi)部無質(zhì)量，所以萬有引力場強的通量為0。 因此當時，質(zhì)點所受到的引力大?。ǎ?.2質(zhì)量分布具有軸對

17、稱性 有一質(zhì)量均勻分布的無限長圓柱面，已知圓柱質(zhì)量面密度為，圓柱面半徑為。在圓柱面內(nèi)和圓柱面外，求質(zhì)量為的質(zhì)點所受到的萬有引力。解：由于圓柱面“無限長”，而且圓柱面上質(zhì)量分布均勻 ,因此可以得出引力場強分布具有軸對稱性,即在同軸圓柱面上離軸的垂直距離相同的各點的引力場強大小相等。過點作一高為，半徑為的同軸閉合圓柱面，運用引力場中的高斯定理計算通過此閉合圓柱面的引力場通量為： （22） 由于圓柱體上下地面的的方向與的方向處處垂直，所以與均為零，因此通過閉合圓柱面的引力場通量為： （23）（1） 當點在圓柱面外時，則閉合面內(nèi)的質(zhì)量： （24）由高斯定理可得： （25） （） （26）所以質(zhì)點在圓柱

18、面受到的萬有引力為： （） （27）（2） 當點在圓柱面內(nèi)時，閉合面內(nèi)的質(zhì)量 （28） （） （29）因此，質(zhì)點在圓柱面內(nèi)收到的萬有引力為： () （30）5.3質(zhì)量分布具有面對稱性一無限大平面(厚度不計)，且質(zhì)量分布均勻,質(zhì)量面密度,求平面附近點的引力場強。解：由于該平面上質(zhì)量分布均勻，且平面是無限大的，所以引力場強分布具有面對稱性。本題應(yīng)用引力場中的高斯定理來求解： （31）由于平面的上下底面的的方向與的方向一致，且側(cè)面的的方向與的方向垂直，因此為零。所以上式可以簡化為： （32）由此可得 （33）所以點附近的引力場強為 （34）通過以上幾道例題分析與講解，由此可見運用萬有引力場中的高斯定

19、理，我們可以很輕松的解決空間對稱引力場的相關(guān)問題。 運用靜電場和引力場的類比, 通過庫侖定律與萬有引力定律的相似之處,引入了引力場中的高斯定理。通過萬有引力場的“高斯定理”在解決質(zhì)量分布具有對稱性物體的引力場場強時, 可以使計算得到簡化。 6結(jié)束語 本文首先介紹了高斯定理的定義以及相關(guān)的應(yīng)用。其次，介紹了引力場的由來以及一些相關(guān)特性。然后通過介紹靜電場中的高斯定理來引出萬有引力場中的高斯定理，通過比較庫侖定律和萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了他們的相同點，再通過對靜電場和萬有引力場分析，運用類比的方法得出了萬有引力場中的高斯定理。在此基礎(chǔ)上通過一些相關(guān)例題了解高斯定理在空間對稱引力場中的應(yīng)用。從本文的分析與相關(guān)應(yīng)用能夠了解到高斯定理是解決物理問題有力的數(shù)學工具。參考文獻1 張漢壯，王文全力學M北京：高等教育出版社，2009：66-672 梁燦彬，秦光戎，梁竹健電磁學M北京：高等教育出版社，2004：14-193 王建萬有引力定律與庫侖定律的相似關(guān)系J技術(shù)物理教學， 2010（4）：114-1164 趙三平高斯定理