不等式知識(shí)點(diǎn)歸納_1460

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)新課標(biāo) 回歸教材不等式1、不等式的性質(zhì):名稱(chēng)不等式名稱(chēng)不等式對(duì)稱(chēng)性abba (充要條件 )傳遞性ab, bc acaba cb c (充要條件 )ab, c0acbcab, c0acbc同向不等式可加性 :同向正數(shù)不等式可乘性 :可加性ab, cdacbd可乘性ab0,cd0acbd異向不等式可減性 :異向正數(shù)不等式可除性 :ab, cdacbdab0,0cdabcd乘方法則ab0anbn (nN, n2)開(kāi)方法則ab0n an b(nN, n 2)倒數(shù)法則ab0,ab11常用結(jié)論aba3b3 (充要條件 )ab注 : 表中是等價(jià)關(guān)系的是解、證明不等式的依據(jù), 其它的僅僅是證

2、明不等式的依據(jù).典例 :1)對(duì)于實(shí)數(shù) a,b, c 中 ,給出下列命題 : abac2bc2 ;ac2bc2ab; a b 0 a2ab b2 ; a b 01 1 ; a b 0b a ;abab a b 0 | a | | b | ; c a b0ab11c ac; a b,aa 0, b 0 . .bb其中正確的命題是2)已知 1xy1,1 xy3,則3xy 的取值范圍是1,7;3) 已知 abc ,且 abc0, 則 c 的取值范圍是 ( 2,1) .a22、不等式大小比較的常用方法:(1) 作差 :作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果;(2) 作商 (常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的

3、代數(shù)式 );(3) 分析法 ;(4)平方法 ;(5)分子 (或分母 )有理化 ;(6)利用函數(shù)的單調(diào)性 ;(7) 尋找中間量或放縮法 ;(8)圖象法 .其中比較法 (作差、作商 )是最基本的方法 .典例 :1)設(shè) a0且a 1,t0 ,比較 1 log a t和 loga t1 的大小22答案 :當(dāng)a1時(shí) , 1log at1(t 1= );log a t在22時(shí)取“”當(dāng) 0a 1 時(shí) , 1log a tlog at21(在 t1時(shí)取 “=”);2aa3 1 ,qaa2 1 的大小 .( 答 : p2) 已知 a0,a1 ,試比較 pq )3) 設(shè)a2,1a 24 a2p, qp a, q

4、2,的大小(答:p q );a2試比較4) 比較 1+log x 3與 2log x 2( x0且x1)的大小 .答:當(dāng) 0x14時(shí),1+ log x 3 2log x 2 ;或x3名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)當(dāng)1 x4時(shí),1+log3 2log2當(dāng)x4,1+log3 2log2x時(shí)x3x;3x5)若 a,b,cR ,且 2alog0.5 a,(0.5) blog 0.5 b,(0.5) clog 2 c ,比較 a, b, c 的大小 .( 答 :c b a)3. 利用重要不等式求函數(shù)最值 :“一正二定三相等 , 和定積最大 , 積定和最小 ”. 典例 :1)下列命題中正確的是 ( B )A. y x

5、1 的最小值是 2B. y23x4 ( x0) 的最大值是 243x2xxC. y3的最小值是 2D. y23x4( x0) 的最小值是 243 ;x22x2) 若 x2 y1,則2x4 y 的最小值是 2 2 ;3) 已知R且則82的最小值為x, yxy18;,1 ,xy變式 :已知 0x1,則 82 的最小值為18;x1x419,則 xy 的最大值為1; : 已知 x, y R ,且yx :已知 x, yR ,且 xyx4y ,則 xy 的最小值為9;4. 常用不等式 有 :(1)a2b2abab21 (a,bR , 當(dāng) a b 時(shí)取 =號(hào) )221ab22(ab)22ab( a, bR,

6、 當(dāng) ab 時(shí)取 =號(hào) )(2) ab2上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為:“平方和 ”不小于 “和平方之半 ”不小于 “積兩倍 ”.(3) 真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理 : 若 ab0, m0 , 則 bbm ( 糖水的濃度問(wèn)題 ).典例 :若 a, baamR,滿(mǎn)足 ab ab3 ,則 ab 的取值范圍是9,.5、證明不等式的方法 : 比較法、分析法、綜合法和放縮法.比較法的步驟是 : 作差 ( 商 ) 后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1 的大小 , 然后作出結(jié)論 . )常用的放縮技巧有 : 11111)111)111 ( 右邊當(dāng) n2時(shí)成立)nnn( nn2n(nnnk1k111kk1k1k 2

7、kk1k典例 :1)已知 ab c ,求證 : a2 bb2 cc2 aab2bc2ca2;2) 已知 a,b, cR ,求證 : a2 b2b2 c2c2 a2abc( abc) ;3) 已知 a,b, x, yR ,且11 , x y,求證 :xy;abxay b4) 若 a, b, c 是不全相等的正數(shù),求證 : lg ablg bclg calg a lg blg c ;2225) 若*求證2n21nn N: (n1)1(n1);,名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)1116)求證 :12232n22 .6. 常系數(shù)一元二次不等式的解法 :判別式圖象法步驟 :(1)化一般形式 : ax 2bxc0(0)

8、 ,其中 a0 ;(2) 求根的情況 : ax2bx c能否因式分解0, 0);00(3) 由圖寫(xiě)解集 : 考慮 yax2bxc(a0) 圖象得解 .典例 :解不等式6x220 .(21) )x答 : x,32注 : 解一元二次不等式的過(guò)程實(shí)際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過(guò)程, 從中我們不難看出“三個(gè)二次”關(guān)系是核心, 即一元二次不等式解集定值端點(diǎn)( 非正負(fù)無(wú)窮大 ) 是對(duì)應(yīng)一元二次方程 ( 函數(shù) ) 的根 ( 零點(diǎn) ).典例 :若關(guān)于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集為 x | xm, 或 x n( nm 0) , 解關(guān)于 x 的不等式 cx2bx a0 .( 答: x | x1

9、 , 或x1 )n m7. 簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法 :標(biāo)根法 :其步驟是 :(1)分解成若干個(gè)一次因式的積,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正;(2) 將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從最大根右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線(奇穿偶回 );(3) 根據(jù)曲線顯現(xiàn) f ( x) 的符號(hào)變化規(guī)律 ,寫(xiě)出不等式的解集 .典例 :1)解不等式 (x 1)(x2) 20 .(答 : x | x1 或 x2 );2)不等式 ( x 2) x22x30的解集是 x | x3,或x1 ;3)設(shè)函數(shù) f ( x) 、 g( x) 的定義域都是R ,且 f ( x)0 的解集為 x |1x2 , g (x) 0 的解

10、集為,則不等式 f ( x) g( x)0 的解集為 (,1)2,) ;4)要使?jié)M足關(guān)于x 的不等式2x29x a0 ( 解集非空 )的每一個(gè)x 的值至少滿(mǎn)足不等式x24 x 30 和 x26x80 中的一個(gè) ,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 7,81) .88. 分式不等式的解法 :分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正, 最后用標(biāo)根法求解 .解分式不等式時(shí),一般不能去分母 ,但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母.典例 :1)解不等式5x1(答: ( 1,1)(2,3) );x22x32) 關(guān)于 x 的不等式axb0 的解集為 (1,)

11、 ,則關(guān)于 x 的不等式axb0的解集為x2( ,1)(2,) .注 : 和一元二次不等式一樣 , 不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值 .9. 絕對(duì)值不等式的解法 :( 了解 )(1) 分域討論法 ( 最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集 )典例 :解不等式 |23 x | 2 | x1 | ;(答 : x R );42(3) 利用絕對(duì)值的定義;(3) 數(shù)形結(jié)合 ;名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)典例 :解不等式 | x | x1|3 ;(答 : (, 1)(2,) )(4) 兩邊平方典例 :若不等式 |3x2| 2xa | 對(duì) x R 恒成立 , 則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為 4310、含參

12、不等式的解法:通法是“定義域?yàn)榍疤?,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類(lèi)討論是關(guān)鍵 ”注意 :解完之后要寫(xiě)上:“綜上 ,原不等式的解集是 ”.按參數(shù)討論 , 最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集; 但若按未知數(shù)討論, 最后應(yīng)求并集 .典例 :1)若 log a 21,則 a 的取值范圍是 a1,或 0a2;332) 解不等式ax2x(aR) .ax1(答 : a 0 時(shí) , x | x0 ; a 0 時(shí) , x | x1 或 x 0 ; a0 時(shí) , x | 1x0, 或 x 0 )aa含參數(shù)的一元二次不等式的解法:三級(jí)討論法 .一般地 , 設(shè)關(guān)于 x 的含參數(shù) a 的一元二次形式的不等式為: f (a)x2g

13、(a)xr (a) 0( 0) .(1) 第一級(jí)討論 : 討論二次項(xiàng)系數(shù) f ( a) 是否為零 ;(2) 第二級(jí)討論 : 若 f ( a)0 時(shí), 先觀察其左邊能否因式分解, 否則討論的符號(hào) ;(3) 第三級(jí)討論 : 若 f ( a) 0,0 時(shí) , 先觀察兩根 x1, x2 大小是否確定 , 否則討論兩根的大小 .注意 : 每一級(jí)的討論中 , 都有三種情況可能出現(xiàn), 即“ >”, “ =” , “ <” , 應(yīng)做到不重不漏 .典例 :1)解關(guān)于 x 的不等式 ax22x a 0( aR) .答 : 當(dāng) a1 時(shí) , x;當(dāng)0a 1 時(shí) , x1 1 a211a2(,a) ;a當(dāng)

14、 a 0時(shí), x (0,);當(dāng)11a211 a21 a 0 時(shí) , xa(, )a 當(dāng) a 1 時(shí) , x R2) 解關(guān)于 x 的不等式 ax22 2x ax(a R) .答 : 當(dāng) a 0 時(shí) , x2 ,) ; 當(dāng) a 0 時(shí) , x (, 1a當(dāng) 2 a 0 時(shí) , x 2 , 1 ; 當(dāng) a2 時(shí) , x 1 ; 當(dāng) a2 時(shí) , x 1,2aa提醒 : 解不等式是求不等式的解集, 最后務(wù)必有集合的形式表示.11. 不等式的恒成立、能成立、恰成立等問(wèn)題: 不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征利用數(shù)形結(jié)合法.1).

15、 恒成立問(wèn)題 ,若不等式fxA 在區(qū)間D 上恒成立, 則等價(jià)于在區(qū)間D 上 fxminA若不等式fxB 在區(qū)間D 上恒成立, 則等價(jià)于在區(qū)間D 上 fxmaxB典例 :1)設(shè)實(shí)數(shù)x, y 滿(mǎn)足x2( y1)21,當(dāng)xyc0 時(shí) , c 的取值范圍是21,;2)不等式x4x3a 對(duì)一切實(shí)數(shù)x 恒成立, 求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 a1 ;名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)3)若 2 x 1 m( x21)對(duì)滿(mǎn)足 m2的所有 m 都成立 ,則 x 的取值范圍 ( 71 , 31) ;224)若不等式 (1)n a2(1)n1對(duì)于任意正整數(shù) n 恒成立 , 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2,3)n25)若不等式 x22mx2

16、m10 對(duì)0 x 1恒成立 ,則 m 的取值范圍 m122). 能成立問(wèn)題若在區(qū)間 D 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 fxA 成立 , 則等價(jià)于在區(qū)間若在區(qū)間 D 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 fxB 成立 , 則等價(jià)于在區(qū)間注意 : 若方程 af ( x)( xD) 有解 , 則等價(jià)于 a y | y f (x), x D典例 :1)已知 x4 x 3a 在實(shí)數(shù)集 R 上的解集不是空集 , 求實(shí)數(shù)D 上 f x maxA ;D 上的 f x minB .a 的取值范圍a 12)已知 P x | 1x2, 函數(shù) y log 2 ( ax22 x2) 的定義域?yàn)?Q .2若 PQ, 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .( 答 : a4 )若方程 log 2 (ax22x2) 2 在 1