二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)生成平行四邊形

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載1如圖，拋物線 yx2bx c 交 x 軸于點(diǎn) A，交 y 軸于點(diǎn) B ，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, B 的直線的表達(dá)式為 y x3 （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)C 的坐標(biāo)；（2）如圖，點(diǎn),0 是線段 AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中3 m 0，作直線 DPx 軸，P m交直線 AB 于 D ，交拋物線于 E ，作 EF x 軸，交直線AB 于點(diǎn) F ，四邊形 DEFG為矩形設(shè)矩形 DEFG的周長(zhǎng)為 L ，寫(xiě)出 L 與 m的函數(shù)關(guān)系式，并求m為何值時(shí)周長(zhǎng) L 最大；（ 3）如圖，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q ，使點(diǎn) A, B, Q構(gòu)成的三角形是以AB 為腰的等腰三角形若存在，直接寫(xiě)出所有符

2、合條件的點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖圖2如圖，直線l ： y=mx+n（m 0， n 0）與 x， y 軸分別相交于A， B 兩點(diǎn)，將 AOB繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到 COD，過(guò)點(diǎn) A，B，D 的拋物線 P 叫做 l 的關(guān)聯(lián)拋物線，而 l 叫做 P 的關(guān)聯(lián)直線（1）若 l ：y= 2x+2 ，則 P 表示的函數(shù)解析式為；若 P：y= x2 3x+4，則 l 表示的函數(shù)解析式為（2）求 P 的對(duì)稱軸（用含 m， n 的代數(shù)式表示） ；（3）如圖，若l ： y= 2x+4， P 的對(duì)稱軸與 CD相交于點(diǎn) E，點(diǎn) F 在 l 上，點(diǎn) Q在 P 的對(duì)稱軸上當(dāng)以點(diǎn)C， E， Q

3、， F 為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；（4）如圖，若l ： y=mx 4m， G為 AB中點(diǎn)， H 為 CD中點(diǎn)，連接 GH， M為 GH中點(diǎn)，連接OM若 OM=，直接寫(xiě)出l ， P 表示的函數(shù)解析式學(xué)習(xí)必備歡迎下載3如圖，拋物線：y ax2 bx 4 與 x 軸交于點(diǎn)A( 2，0) 和 B(4 ， 0) 、與 y 軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式；(2)T 是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且ACT是以 AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T 的坐標(biāo)；(3)點(diǎn) M、Q分別從點(diǎn) A、 B以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x 軸同時(shí)出發(fā)相向而行當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) Q立刻掉頭并以每秒3B 方向移

4、動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)2對(duì)稱軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng) 過(guò)點(diǎn) M的直線 l 軸，交 AC或 BC于點(diǎn) P求點(diǎn) M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t( 秒 ) 與 APQ的面積 S 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S 的最大值ylCPTAMOQBx學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案1（ 1）拋物線的表達(dá)式為y=-x 2-2x+3 ，頂點(diǎn) C坐標(biāo)為（ -1,4 ）；（ 2） L=-4m2-12m=-4 （ m+3 ） 2+9；2當(dāng) m=- 3 時(shí)，最大值 L=9；2（3）點(diǎn) Q的坐標(biāo)為（ -1 ，14 ），（-1 ，-14 ），（ -1 ， 3+17 ），（ -1 ， 3-17 ）【解析】試題分析：（ 1）由直線經(jīng)過(guò) A、

5、B 兩點(diǎn)可求得這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求出 b、 c 的值，從而得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）由題意可表示出 D、 E 的坐標(biāo)，從而得到 DE的長(zhǎng)，由已知條件可得 DE=EF，從而可表示出矩形 DEFG的周長(zhǎng) L，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值；（ 3）分別以點(diǎn) A、點(diǎn) B 為圓心，以 AB 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)試題解析：（ 1）直線 y=x+3 與 x 軸相交于A（ -3,0），與 y 軸相交于B（ 0,3 ）2拋物線 y=-x +bx+c 經(jīng)過(guò) A（ -3,0）， B（ 0,3 ），所以，093bc,3cb2，c3所以拋物線的表達(dá)式為y=-x

6、 2 -2x+3 ， y=-x 2-2x+3=- （ x+1） 2+4,所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（ -1,4 ）（ 2）因?yàn)?D 在直線 y=x+3 上， D（ m,m+3）因?yàn)?E 在拋物線上，E（ m， -m2-2m+3）22DE=-m-2m+3- （ m+3）=-m -3m由題意可知，AO=BO, DAP= ADP= EDF= EFD=45°， DE=EF2L=4DE=-4m-12mL=-4m2-12m=-4 （ m+3 ）2 +92 a=-4<0,二次函數(shù)有最大值當(dāng) m=- 3 時(shí)，最大值 L=92（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1 ，14），（-1 ，-14 ），（ -1 ， 3+1

7、7），（ -1 ， 3-17）考點(diǎn)： 1、待定系數(shù)法；2、正方形的判定；22（ 1） y= x x+2； y= 4x+43、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用；4、等腰三角形（2） P 的對(duì)稱軸為x=mnn 2m學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）點(diǎn) Q坐標(biāo)為 Q（ 1，7）、Q（ 1，17）1222（4） l表示的函數(shù)解析式為：y= 2x+4；P： y= 1 x2 x+84【解析】試題分析：（ 1）若 l ：y= 2x+2，求出點(diǎn) A、B、D 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出P 表示的函數(shù)解析式；若P： y= x2 3x+4，求出點(diǎn) D、A、B 的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出l 表示的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)已知求得拋物線與x

8、軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得對(duì)稱軸；（3）以點(diǎn) C， E， Q， F 為頂點(diǎn)的四邊形是以CE 為一邊的平行四邊形時(shí)，則有FQ CE，且FQ=CE以此為基礎(chǔ)，列方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)注意：點(diǎn) Q的坐標(biāo)有兩個(gè)，如答圖1 所示，不要漏解；（4）如答圖2 所示，作輔助線， 構(gòu)造等腰直角三角形 OGH，求出 OG的長(zhǎng)度， 進(jìn)而由 AB=2OG求出 AB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出y=mx 4m中 m的值，最后分別求出 l ，P 表示的函數(shù)解析式試題解析：（ 1）若 l ： y= 2x+2，則 A（ 1，0）， B（ 0， 2）將 AOB繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到 COD，D（ 2， 0）設(shè) P 表示的

9、函數(shù)解析式為：y=ax 2+bx+c ，將點(diǎn) A、 B、 D 坐標(biāo)代入得：abc0a1c2，解得b1 ，4a2b c0c2P 表示的函數(shù)解析式為：y= x2 x+2；若 P： y= x2 3x+4=（ x+4）（ x 1），則 D（ 4， 0）， A（ 1， 0）B（ 0， 4）設(shè) l 表示的函數(shù)解析式為： y=kx+b ，將點(diǎn) A、 B 坐標(biāo)代入得：kb0k4，解得，b4b4 l 表示的函數(shù)解析式為： y= 4x+4（2）直線 l ： y=mx+n（ m 0， n 0），令 y=0，即 mx+n=0，得 x= n ；令 x=0，得 y=nmA（ n ， 0）、 B（ 0， n），mD（ n，

10、 0）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x 軸的交點(diǎn)為N（ x， 0），DN=AN，n x=x（ n），m 2x= n n ，mP 的對(duì)稱軸為x= mnn 2m（ 3）若 l ： y= 2x+4，則 A（2， 0）、 B（ 0，4），C（ 0， 2）、 D（ 4， 0）學(xué)習(xí)必備歡迎下載可求得直線CD的解析式為：y= 1x+22由（ 2）可知， P 的對(duì)稱軸為 x= 1以點(diǎn) C， E， Q， F 為頂點(diǎn)的四邊形是以 FQ CE，且 FQ=CECE為一邊的平行四邊形，設(shè)直線 FQ的解析式為：y= 1 x+b2點(diǎn) E、點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)相差1，點(diǎn) F、點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)也是相差1則|x F（ 1） |=|x F+1|=1

11、，解得 xF=0 或 xF= 2點(diǎn) F 在直線 l ： y= 2x+4 上，點(diǎn) F 坐標(biāo)為（ 0， 4）或（ 2， 8）若 F（ 0， 4），則直線 FQ的解析式為：y=1x+4，當(dāng) x= 1 時(shí)， y=7， Q（ 1，7）；2212若 F（ 2，8），則直線 FQ的解析式為： y=1，當(dāng) x= 117， Q（ 1，17）x+9時(shí)， y=2222滿足條件的點(diǎn) Q有 2 個(gè)，如答圖 1 所示，點(diǎn) Q坐標(biāo)為 Q1（ 1， 7 ）、Q2（ 1， 17）22（4）如答圖 2 所示，連接OG、 OH點(diǎn) G、 H為斜邊中點(diǎn)，OG=1 AB， OH=1 CD22由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AB=CD， OG OH， O

12、GH為等腰直角三角形點(diǎn) G為 GH中點(diǎn)， OMG為等腰直角三角形，OG= 2OM= 2?10=25， AB=2OG=4 5 l ： y=mx 4m， A（ 4， 0），B（ 0， 4m）在 Rt AOB中，由勾股定理得：22222=（ 452，OA+OB=AB，即： 4 +（ 4m）解得： m= 2 或 m=2，點(diǎn) B 在 y 軸正半軸，m=2舍去， m=2l 表示的函數(shù)解析式為：y= 2x+4；B（ 0， 8）， D（ 8， 0）又 A（ 4， 0），利用待定系數(shù)法求得P： y= 1 x2 x+84學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點(diǎn)： 1、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2、待定系數(shù)法；3、旋轉(zhuǎn)變換；4、平行四邊形

13、3（ 1）拋物線的解析式為： y1 x2x 4 ；2（2） S3 (t8) 225 ， S 的最大值為 25 4333【解析】試題分析：（ 1）把 A、 B 的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；（2）設(shè)直線 x=1 上一點(diǎn) T（ 1，h），連接 TC、 TA，作 CE直線 x=1，垂足是 E，根據(jù) TA=TC 由勾股定理求出即可；（3）（ I ）當(dāng) 0t 2時(shí)， AMP AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；（II ）當(dāng) 2t 3 時(shí)，作 PM x 軸于 M， PF y 軸于點(diǎn) F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可試題解析：（ 1

14、）把A(2，0) 、 B(4 ， 0) 代入yax2bx4 ，得4a2b4016a4b40解得 a1 ， b 121拋物線的解析式為：yx2x4；1 x2219（2）由 yx 4(x1)2，得拋物線的對(duì)稱軸為直線x 1 ，222直線 x1交 x 軸于點(diǎn) D，設(shè)直線x1上一點(diǎn) T(1 ，h) ，連結(jié) TC， TA，作 CE直線 x1 ，垂足為E，由 C(0， 4) 得點(diǎn) E(1 ，4) ，在 Rt ADT和 Rt TEC中，由 TA=TC得32h212(4 h) 2解得 h1 ，點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 (1,1)；（3）解：（）當(dāng) 0t 2 時(shí)， AMP AOC學(xué)習(xí)必備歡迎下載 PMAM， PM2COAOtAQ6t S1 PMAQ12