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文檔簡介

1、學習必備歡迎下載二次函數(shù)的三種表達形式:一般式:y=ax2+bx+c(a0,a、 b、 c為常數(shù) ),頂點坐標為,把三個點代入函數(shù)解析式得出一個三元一次方程組,就能解出a、b 、c 的值。頂點式:y=a(x-h)2+k(a0,a 、h 、k 為常數(shù) ),頂點坐標為對稱軸為直線x=h ,頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax 2 的圖像相同,當x=h 時, y 最值 =k 。有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。例:已知二次函數(shù)y 的頂點 (1,2) 和另一任意點 (3,10) ,求 y 的解析式。解:設(shè) y=a(x-1)2+2,把 (3,10) 代入上式,解得y=2(x-1)2+

2、2。注意:與點在平面直角坐標系中的平移不同,二次函數(shù)平移后的頂點式中,h>0時,h 越大,圖像的對稱軸離y 軸越遠,且在 x 軸正方向上,不能因h 前是負號就簡單地認為是向左平移。具體可分為下面幾種情況:當 h>0 時, y=a(x-h)2 的圖象可由拋物線 y=ax2 向右平行移動 h 個單位得到;當 h<0 時, y=a(x-h)2 的圖象可由拋物線 y=ax2 向左平行移動 |h| 個單位得到;當 h>0,k>0 時,將拋物線 y=ax2 向右平行移動 h 個單位,再向上移動 k 個單位,就可以得到 y=a(x-h)2+k 的圖象;當 h>0,k<

3、;0 時,將拋物線 y=ax2 向右平行移動 h 個單位,再向下移動 |k| 個單位可得到 y=a(x-h)2+k 的圖象;當 h<0,k>0 時,將拋物線 y=ax2 向左平行移動 |h| 個單位,再向上移動 k 個單學習必備歡迎下載位可得到 y=a(x-h)2+k的圖象;當 h<0,k<0 時,將拋物線 y=ax2 向左平行移動 |h| 個單位,再向下移動 |k|個單位可得到 y=a(x-h)2+k 的圖象。交點式:y=a(x-x 1)(x-x 2 ) (a 0) 僅限于與 x 軸即 y=0 有交點時的拋物線,即 b 2-4ac 0 .已知拋物線與 x 軸即 y=0

4、 有交點 A( x1 ,0 )和 B(x2 ,0 ),我們可設(shè) y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),然后把第三點代入x、y 中便可求出 a。由一般式變?yōu)榻稽c式的步驟:二次函數(shù)x1+x 2 =-b/a , x1?x2=c/a( 由韋達定理得 ),y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(x 1 +x 2)x+x 1?x2=a(x-x 1 )(x-x 2).重要概念:a,b ,c 為常數(shù), a0,且 a 決定函數(shù)的開口方向。 a>0 時,開口方向向上;a<0 時,開口方向向下。 a 的絕對值可以決定開口大小。a 的絕對值越大開口就越小,a 的絕對值越小開口就越大

5、。能靈活運用這三種方式求二次函數(shù)的解析式;能熟練地運用二次函數(shù)在幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用;能熟練地運用二次函數(shù)解決實際問題。學習必備歡迎下載二次函數(shù)解釋式的求法:就一般式 y=ax2 bx c(其中 a, b ,c 為常數(shù),且 a0)而言,其中含有三個待定的系數(shù) a ,b ,c求二次函數(shù)的一般式時,必須要有三個獨立的定量條件,來建立關(guān)于 a ,b ,c 的方程,聯(lián)立求解,再把求出的a , b ,c 的值反代回原函數(shù)解析式,即可得到所求的二次函數(shù)解析式。1.巧取交點式法:知識歸納:二次函數(shù)交點式:ya(x x1 )(x x2 ) (a0 )x1,x2 分別是拋物線與 x 軸兩個交點的橫坐標。已知拋物線與

6、 x 軸兩個交點的橫坐標求二次函數(shù)解析式時,用交點式比較簡便。典型例題一: 告訴拋物線與x 軸的兩個交點的橫坐標, 和第三個點, 可求出函數(shù)的交點式。例:已知拋物線與x 軸交點的橫坐標為 -2 和 1 ,且通過點( 2 ,8 ),求二次函數(shù)的解析式。點撥:解設(shè)函數(shù)的解析式為y a(x+2)(x-1) ,過點(2 ,8),8 a(2+2)(2-1) 。解得 a=2 ,拋物線的解析式為:y2(x+2)(x-1) ,即 y 2x2+2x-4 。學習必備歡迎下載典型例題二: 告訴拋物線與 x 軸的兩個交點之間的距離和對稱軸,可利用拋物線的對稱性求解。例:已知二次函數(shù)的頂點坐標為(3,-2 ),并且圖象

7、與x 軸兩交點間的距離為4,求二次函數(shù)的解析式。點撥:在已知拋物線與x 軸兩交點的距離和頂點坐標的情況下,問題比較容易解決 由頂點坐標為( 3,-2 )的條件,易知其對稱軸為x 3,再利用拋物線的對稱性,可知圖象與 x 軸兩交點的坐標分別為(1, 0)和( 5,0 )。此時,可使用二次函數(shù)的交點式,得出函數(shù)解析式。2.巧用頂點式:頂點式 y=a(x h) 2+k (a0),其中( h ,k )是拋物線的頂點。當已知拋物線頂點坐標或?qū)ΨQ軸, 或能夠先求出拋物線頂點時,設(shè)頂點式解題十分簡潔, 因為其中只有一個未知數(shù)a。在此類問題中,常和對稱軸,最大值或最小值結(jié)合起來命題。在應(yīng)用題中,涉及到橋拱、隧

8、道、彈道曲線、投籃等問題時,一般用頂點式方便典型例題一:告訴頂點坐標和另一個點的坐標,直接可以解出函數(shù)頂點式。例:已知拋物線的頂點坐標為(-1 ,-2 ),且通過點( 1,10 ),求此二次函數(shù)的解析式。點撥:解頂點坐標為( -1 ,-2 ),故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1) 2 -2 (a0)。把點( 1,10 )代入上式,得10=a ·(1+1) 2 -2 。學習必備歡迎下載a=3 。二次函數(shù)的解析式為 y=3(x+1) 2 -2 ,即 y=3x 2+6x+1 。典型例題二:如果 a>0 ,那么當時, y 有最小值且 y 最小=;如果 a<0 ,那么,當時, y

9、有最大值,且 y 最大 =。告訴最大值或最小值,實際上也是告訴了頂點坐標,同樣也可以求出頂點式。例:已知二次函數(shù)當x4 時有最小值 3 ,且它的圖象與x 軸兩交點間的距離為 6 ,求這個二次函數(shù)的解析式。點撥:析解二次函數(shù)當 x 4 時有最小值 3,頂點坐標為( 4, -3 ),對稱軸為直線 x4 ,拋物線開口向上。由于圖象與 x 軸兩交點間的距離為6 ,根據(jù)圖象的對稱性就可以得到圖象與x 軸兩交點的坐標是( 1,0 )和( 7, 0)。拋物線的頂點為( 4, -3 )且過點( 1, 0)。故可設(shè)函數(shù)解析式為y a(x 4)2 3。將( 1,0)代入得0 a(1 4) 2 3,解得a13 y

10、13(x 4) 2 -3 ,即 y13x 2 83x 73 。典型例題三:告訴對稱軸,相當于告訴了頂點的橫坐標,綜合其他條件,也可解出。例如:學習必備歡迎下載( 1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3,-2 )和 B(1 ,0 ),且對稱軸是直線x 3求這個二次函數(shù)的解析式.( 2)已知關(guān)于 x 的二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1 ,圖象交 y 軸于點( 0 ,2 ),且過點( -1 ,0 ),求這個二次函數(shù)的解析式.( 3)已知拋物線的對稱軸為直線 x=2 ,且通過點( 1 ,4)和點( 5, 0),求此拋物線的解析式 .( 4)二次函數(shù)的圖象的對稱軸 x=-4 ,且過原點,它的頂點到 x 軸的距離為 4 ,求此函數(shù)的解析式典型例題四:利用函數(shù)的頂點式,解圖像的平移等問題非常方便。例:把拋物線 y=ax2+bx+c的圖像向右平移3 個單位 , 再向下平移 2 個單位 ,

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