二次函數(shù)的三種表達(dá)形式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)的三種表達(dá)形式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、 b、 c為常數(shù) )，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,把三個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式得出一個(gè)三元一次方程組，就能解出a、b 、c 的值。頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0,a 、h 、k 為常數(shù) ),頂點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)稱軸為直線x=h ，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)y=ax 2 的圖像相同，當(dāng)x=h 時(shí)， y 最值 =k 。有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。例：已知二次函數(shù)y 的頂點(diǎn) (1,2) 和另一任意點(diǎn) (3,10) ，求 y 的解析式。解：設(shè) y=a(x-1)2+2，把 (3,10) 代入上式，解得y=2(x-1)2+

2、2。注意：與點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的平移不同，二次函數(shù)平移后的頂點(diǎn)式中，h>0時(shí)，h 越大，圖像的對(duì)稱軸離y 軸越遠(yuǎn)，且在 x 軸正方向上，不能因h 前是負(fù)號(hào)就簡(jiǎn)單地認(rèn)為是向左平移。具體可分為下面幾種情況：當(dāng) h>0 時(shí)， y=a(x-h)2 的圖象可由拋物線 y=ax2 向右平行移動(dòng) h 個(gè)單位得到；當(dāng) h<0 時(shí)， y=a(x-h)2 的圖象可由拋物線 y=ax2 向左平行移動(dòng) |h| 個(gè)單位得到；當(dāng) h>0,k>0 時(shí)，將拋物線 y=ax2 向右平行移動(dòng) h 個(gè)單位，再向上移動(dòng) k 個(gè)單位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的圖象；當(dāng) h>0,k<

3、;0 時(shí)，將拋物線 y=ax2 向右平行移動(dòng) h 個(gè)單位，再向下移動(dòng) |k| 個(gè)單位可得到 y=a(x-h)2+k 的圖象；當(dāng) h<0,k>0 時(shí)，將拋物線 y=ax2 向左平行移動(dòng) |h| 個(gè)單位，再向上移動(dòng) k 個(gè)單學(xué)習(xí)必備歡迎下載位可得到 y=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng) h<0,k<0 時(shí)，將拋物線 y=ax2 向左平行移動(dòng) |h| 個(gè)單位，再向下移動(dòng) |k|個(gè)單位可得到 y=a(x-h)2+k 的圖象。交點(diǎn)式：y=a(x-x 1)(x-x 2 ) (a 0) 僅限于與 x 軸即 y=0 有交點(diǎn)時(shí)的拋物線，即 b 2-4ac 0 .已知拋物線與 x 軸即 y=0

4、 有交點(diǎn) A（ x1 ，0 ）和 B（x2 ，0 ）,我們可設(shè) y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),然后把第三點(diǎn)代入x、y 中便可求出 a。由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數(shù)x1+x 2 =-b/a ， x1?x2=c/a( 由韋達(dá)定理得 ),y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(x 1 +x 2)x+x 1?x2=a(x-x 1 )(x-x 2).重要概念：a，b ，c 為常數(shù)， a0，且 a 決定函數(shù)的開(kāi)口方向。 a>0 時(shí)，開(kāi)口方向向上；a<0 時(shí)，開(kāi)口方向向下。 a 的絕對(duì)值可以決定開(kāi)口大小。a 的絕對(duì)值越大開(kāi)口就越小，a 的絕對(duì)值越小開(kāi)口就越大

5、。能靈活運(yùn)用這三種方式求二次函數(shù)的解析式；能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)在幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用；能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)解釋式的求法：就一般式 y=ax2 bx c（其中 a， b ，c 為常數(shù)，且 a0）而言，其中含有三個(gè)待定的系數(shù) a ，b ，c求二次函數(shù)的一般式時(shí)，必須要有三個(gè)獨(dú)立的定量條件，來(lái)建立關(guān)于 a ，b ，c 的方程，聯(lián)立求解，再把求出的a ， b ，c 的值反代回原函數(shù)解析式，即可得到所求的二次函數(shù)解析式。1.巧取交點(diǎn)式法：知識(shí)歸納：二次函數(shù)交點(diǎn)式：ya(x x1 )(x x2 ) （a0 ）x1，x2 分別是拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。已知拋物線與

6、 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求二次函數(shù)解析式時(shí)，用交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便。典型例題一： 告訴拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 和第三個(gè)點(diǎn)， 可求出函數(shù)的交點(diǎn)式。例：已知拋物線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 -2 和 1 ，且通過(guò)點(diǎn)（ 2 ，8 ），求二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：解設(shè)函數(shù)的解析式為y a(x+2)(x-1) ，過(guò)點(diǎn)（2 ，8），8 a(2+2)(2-1) 。解得 a=2 ，拋物線的解析式為：y2(x+2)(x-1) ，即 y 2x2+2x-4 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載典型例題二： 告訴拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離和對(duì)稱軸，可利用拋物線的對(duì)稱性求解。例：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2 ），并且圖象

7、與x 軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：在已知拋物線與x 軸兩交點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，問(wèn)題比較容易解決 由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3，-2 ）的條件，易知其對(duì)稱軸為x 3，再利用拋物線的對(duì)稱性，可知圖象與 x 軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1， 0）和（ 5，0 ）。此時(shí)，可使用二次函數(shù)的交點(diǎn)式，得出函數(shù)解析式。2.巧用頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式 y=a(x h) 2+k （a0），其中（ h ，k ）是拋物線的頂點(diǎn)。當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸， 或能夠先求出拋物線頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)式解題十分簡(jiǎn)潔， 因?yàn)槠渲兄挥幸粋€(gè)未知數(shù)a。在此類問(wèn)題中，常和對(duì)稱軸，最大值或最小值結(jié)合起來(lái)命題。在應(yīng)用題中，涉及到橋拱、隧

8、道、彈道曲線、投籃等問(wèn)題時(shí)，一般用頂點(diǎn)式方便典型例題一：告訴頂點(diǎn)坐標(biāo)和另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接可以解出函數(shù)頂點(diǎn)式。例：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1 ，-2 ），且通過(guò)點(diǎn)（ 1，10 ），求此二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：解頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ -1 ，-2 ），故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1) 2 -2 （a0）。把點(diǎn)（ 1，10 ）代入上式，得10=a ·(1+1) 2 -2 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載a=3 。二次函數(shù)的解析式為 y=3(x+1) 2 -2 ，即 y=3x 2+6x+1 。典型例題二：如果 a>0 ，那么當(dāng)時(shí)， y 有最小值且 y 最小=；如果 a<0 ，那么，當(dāng)時(shí)， y

9、有最大值，且 y 最大 =。告訴最大值或最小值，實(shí)際上也是告訴了頂點(diǎn)坐標(biāo)，同樣也可以求出頂點(diǎn)式。例：已知二次函數(shù)當(dāng)x4 時(shí)有最小值 3 ，且它的圖象與x 軸兩交點(diǎn)間的距離為 6 ，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：析解二次函數(shù)當(dāng) x 4 時(shí)有最小值 3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， -3 ），對(duì)稱軸為直線 x4 ，拋物線開(kāi)口向上。由于圖象與 x 軸兩交點(diǎn)間的距離為6 ，根據(jù)圖象的對(duì)稱性就可以得到圖象與x 軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 1，0 ）和（ 7， 0）。拋物線的頂點(diǎn)為（ 4， -3 ）且過(guò)點(diǎn)（ 1， 0）。故可設(shè)函數(shù)解析式為y a(x 4)2 3。將（ 1，0）代入得0 a(1 4) 2 3,解得a13 y

10、13(x 4) 2 -3 ，即 y13x 2 83x 73 。典型例題三：告訴對(duì)稱軸，相當(dāng)于告訴了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，綜合其他條件，也可解出。例如：學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，-2 ）和 B（1 ，0 ），且對(duì)稱軸是直線x 3求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.（ 2）已知關(guān)于 x 的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1 ，圖象交 y 軸于點(diǎn)（ 0 ，2 ），且過(guò)點(diǎn)（ -1 ，0 ），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.（ 3）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=2 ，且通過(guò)點(diǎn)（ 1 ，4）和點(diǎn)（ 5， 0），求此拋物線的解析式 .（ 4）二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸 x=-4 ，且過(guò)原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)到 x 軸的距離為 4 ，求此函數(shù)的解析式典型例題四：利用函數(shù)的頂點(diǎn)式，解圖像的平移等問(wèn)題非常方便。例：把拋物線 y=ax2+bx+c的圖像向右平移3 個(gè)單位 , 再向下平移 2 個(gè)單位 ,