二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)的定義1.一般地，形如yax2bxc （ a ，b ，c 為常數(shù)， a0 ）的函數(shù)稱為x 的二次函數(shù)，其中 x 為自變量，y 為因變量， a ,b,c 分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)22. 二次函數(shù) y ax bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a是二次項(xiàng)系數(shù)，b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的性質(zhì)1二次函數(shù)2y ax （ a 0）的性質(zhì)：（1） 拋物線 y

2、ax2 的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0， 0），對(duì)稱軸是 x 0 （ y軸） .（2） 函數(shù) y ax2 的圖像與 a 的符號(hào)關(guān)系 .當(dāng) a0 時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng) a0 時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)；a 的符號(hào)開(kāi)口方頂點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)向標(biāo)軸a0向上0 ，0y 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0 時(shí)，y隨 x 的增大而減??； x 0時(shí)，y 有最小值 0a0向下0 ，0y 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小； x0 時(shí)， y隨 x 的增大而增大； x 0時(shí)，y 有最大值 02. y2c 的性質(zhì)：axa 的符號(hào)開(kāi)口方頂點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)向標(biāo)軸a0向上0 ，cy 軸x0 時(shí)， y 隨 x

3、 的增大而增大； x0 時(shí)，y隨 x 的增大而減小； x 0時(shí)，y 有最小值 ca0向下0 ，cy 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x0 時(shí)，y隨 x 的增大而增大； x 0時(shí)，y 有最大值 c 2bxc（ a0）的相關(guān)性質(zhì)3. 二次函數(shù) y ax若二次函數(shù)解析式為yax2bxc （或 y a( x h)2k ） ( a0 )，則：a0向上（2） 對(duì)稱軸： xb （或 xh ），（1） 開(kāi)口方向：0，a向下2a2（3） 頂點(diǎn)坐標(biāo)： (b , 4ac b ) （或 ( h, k) ）2a4a（4） 最值：2a 0 時(shí)有最小值 4ac b （或 k ）（如圖 1）；4a24acba0 時(shí)

4、有最大值（或 k ）（如圖 2）；圖1圖2（5）單調(diào)性：二次函數(shù)y ax2bx c （ a0 ）的變化情況（增減性） 如圖 1 所示，當(dāng) a0 時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè) xb ， y 隨著 x 的增大而減小，在對(duì)稱軸2a的右側(cè) xb， y 隨 x 的增大而增大；2a 如圖 2 所示，當(dāng) a0 時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè) xb ， y 隨著 x 的增大而增大，在對(duì)稱軸b ， y 隨 x 的增大而減小；2a的右側(cè) x2a（6）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 與 y 軸的交點(diǎn)：（ 0，C）；與 x 軸的交點(diǎn)：使方程 ax2bx c 0（或 a(xh) 2k0 ）成立的 x 值 .3. 二次函數(shù) y ax2 bx c 圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖

5、法： 利用配方法將二次函數(shù)22y ax bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)確k ，定其開(kāi)口方向、 對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)， 然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y 軸的交點(diǎn)0，c、以及0 ，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h ，c 、與 x 軸的交點(diǎn) x1 ，0， x2 ，0（若與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)） .畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn).三、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)關(guān)系1. a 決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng) a0 時(shí)拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a0 時(shí)拋物線開(kāi)口向下a 決定拋物線的開(kāi)口大?。篴 越大，拋物線開(kāi)口越??；a 越小

6、，拋物線開(kāi)口越大.注：幾條拋物線的解析式中，若a 相等，則其形狀相同，即若a 相等，則開(kāi)口及形狀相同，若 a互為相反數(shù)，則形狀相同、開(kāi)口相反.2.b 和 a 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.（對(duì)稱軸為： xb）當(dāng) b 0 時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為 y 軸；2a當(dāng) a,b 同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸的左側(cè)；當(dāng) a,b 異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y 軸的右側(cè) .3.c 的大小決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置 .（拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為0 ，c ）當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；當(dāng) c 0 時(shí)，交點(diǎn)在 y 軸的正半軸；當(dāng) c 0 時(shí)，交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸 .板塊二二次函數(shù)圖像特征函數(shù)解析式y(tǒng)ax2當(dāng) a開(kāi)

7、口方向0 時(shí)，開(kāi)口向?qū)ΨQ軸x0 （ y 軸）頂點(diǎn)坐標(biāo)0 ，0y ax2k上x(chóng) 0 （ y 軸）0 ，kya xh2當(dāng) a0 時(shí)，開(kāi)口向xhh ，0下ya x2kxhh ，khyax2bxcxbb4ac b22a，2a4a二、二次函數(shù)的三種表達(dá)方式（1）一般式： yax2bxc a0（2）頂點(diǎn)式： ya x2ka0h（3）雙根式（交點(diǎn)式） ： yaxx1 x x2 a 02. 如何設(shè)點(diǎn)： 一次函數(shù) y axb （ a0 ）圖像上的任意點(diǎn)可設(shè)為x1 ，ax1b . 其中 x10 時(shí)，該點(diǎn)為直線與 y 軸交點(diǎn) . 二次函數(shù) y ax2bxc （ a 0 ）圖像上的任意一點(diǎn)可設(shè)為x1 ，ax12bx1

8、c . x1 0時(shí)，該點(diǎn)為拋物線與y 軸交點(diǎn)，當(dāng) x1b 時(shí)，該點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)2a 點(diǎn) x1 ，y1 關(guān)于 x0 ，x0 的對(duì)稱點(diǎn)為2x0 x1 ，2 y0 y1 4. 如何設(shè)解析式： 已知任意 3 點(diǎn)坐標(biāo)，可用一般式求解二次函數(shù)解析式； 已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式； 已知拋物線與 x 的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式. 已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)， 且這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等時(shí)，可用對(duì)稱點(diǎn)式求解函數(shù)解析式 （交點(diǎn)式可視為對(duì)稱點(diǎn)式的特例）注：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式， 只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)， 即 b24ac

9、 0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.一、二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系一次函數(shù) y kxn k0 的圖像 l 與二次函數(shù) y ax2的圖像 G 的交bx c a 0ykxn的解的數(shù)目來(lái)確定：點(diǎn)，由方程組ax2bxyc方程組有兩組不同的解時(shí)l 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) ;方程組只有一組解時(shí)l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)l 與 G 沒(méi)有交點(diǎn) .二、二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系1.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系：1.直線與拋物線的交點(diǎn):（1） y 軸與拋物線2c 得交點(diǎn)為 (0, c ).y ax bx（ 2 ） 與 y 軸 平 行 的 直 線 xh 與 拋 物

10、線 y ax2bx c 有 且 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)( h , ah2bh c).2（ 3）拋物線與 x 軸的交點(diǎn) :二次函數(shù) ybx c 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)axx1 、 x2 ，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 ax2bxc 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）0拋物線與 x 軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相離 .（4）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（3）一樣可能有0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) .當(dāng)有 2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，

11、則橫坐標(biāo)是 ax2bxck 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .（ 5）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線2xyaxbx與軸兩交點(diǎn)為cA x1，0 ，Bx2，0 ，由于 x1 、 x2 是方程 ax2bxc0的兩個(gè)根，故x1 x2b , x1 x2caab2b24acAB x1x2x12x1 x224cx24x1x2aaaa2.二次函數(shù)常用解題方法 求二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ，b ，c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ， b ， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形

12、結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式 ax2bxc(a0) 本身就是所含字母 x 的二次函數(shù)；下面以 a 0 時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與 x 軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)0拋物線與 x 軸只二次三項(xiàng)式的值為非一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)交點(diǎn)負(fù)0拋物線與 x 軸無(wú)二次三項(xiàng)式的值恒為一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根 .交點(diǎn)正3.二次函數(shù)與一元二次方程之根的分布（選講）

13、所謂一元二次方程，實(shí)質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)（圖象與 x 軸的交點(diǎn)問(wèn)題，因此，二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題，即二次方程的實(shí)根在什么區(qū)間內(nèi)的問(wèn)題，借助于二次函數(shù)及其圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)研究是非常有益的設(shè) fxax 2bc c a 0 的 二實(shí) 根為 x1 ， x2 ， x1 x2，b24ac ，且，是預(yù)先給定的兩個(gè)實(shí)數(shù) 當(dāng)兩根都在區(qū)間， 內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件：x1x2，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù) f x 的圖象有下列兩種情形：ya> 0yx 1x 2OxOx 2 x 1x當(dāng) a0時(shí)的充要條件是：0，b， f0， f02a當(dāng) a0時(shí)的充要條件是：0，b， f0， f02a兩種情形合并后的充要條件

14、是：，b02a f，f00 當(dāng)兩根中有且僅有一根在區(qū)間,內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件；x1或x2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f x 的圖象有下列四種情形：yyx 1Ox 1xOxyyx 1Ox 1xOx從四種情形得充要條件是：ff0 當(dāng)兩根都不在區(qū)間， 內(nèi)方程系數(shù)所滿足的充要條件：當(dāng)兩根分別在區(qū)間， 的兩旁時(shí)； x1x2 對(duì)應(yīng)的函數(shù)f x 的圖象有下列兩種情形：yyOx 1x 2xOx1x2x當(dāng) a0時(shí)的充要條件是：f0 ， f0 當(dāng) a0時(shí)充要條件是：f0 ， f0 兩種情形合并后的充要條件是：f ()0 ，f ()當(dāng)兩根分別在區(qū)間 x1x2或0, 之外的同側(cè)時(shí)：x1x2 ，對(duì)應(yīng)函數(shù)fx的圖象有下列四種情形

15、：yyOx 2Ox 2xx 1x1xyyx 1 Ox 2x 1 Ox 2xx當(dāng) x1x2時(shí)的充要條件是：0，b， f0 2a當(dāng)x1 x2 時(shí)的充要條件是：0 ，b， f0 2a4 區(qū)間根定理如果在區(qū)間a，b 上有 fafb0 ，則至少存在一個(gè)xa，b ，使得 fx0 此定理即為區(qū)間根定理， 又稱作勘根定理，它在判斷根的位置的時(shí)候會(huì)發(fā)揮巨大的威力f( a)baf(b)二次函數(shù)與三角形在直角坐標(biāo)系中， 已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標(biāo)軸平行，可以直接運(yùn)用三角形面積公式求解三角形面積 .如果三角形的三條邊與坐標(biāo)軸都不平行，則通常有以下方法：CDCFCDADAAEBEBBD

16、FECDhAB451.如圖，過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)作與 x 軸或 y 軸的平行線，將原三角形分割成兩個(gè)滿足一條邊與坐標(biāo)軸平行的三角形，分別求出面積后相加S ABC S ACD S ADB11CE xA xBADyC yB S ACE S CEB22其中 D , E 兩點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)BC 或 AB 的直線方程以及A 或 C 點(diǎn)坐標(biāo)得到2.如圖，首先計(jì)算三角形的外接矩形的面積，然后再減去矩形內(nèi)其他各塊面積S ABC SDEBF S DACS AEBSCBF .所涉及的各塊面積都可以通過(guò)已知點(diǎn)之間的坐標(biāo)差直接求得3.如圖，通過(guò)三個(gè)梯形的組合，可求出三角形的面積.該方法不常用SABCS ADESB1A x

17、D F Cxy A1AxBx1By CBxcxy C yCSFEByBy2224.如圖，作三角形的高，運(yùn)用三角形的面積公式求解四邊形的面積該方法不常用，如果三角形的一條邊與 x y 0 平行，則可以快速求解1S ABCh BC 2二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h ，k ； 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h 保持拋物線y ax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k 處，具體平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y=ax 2+ky=ax2向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 (h>0)【或左 (h&l

18、t;0)】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位平移 |k|個(gè)單位向上 (k >0)【或下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱y2b x 關(guān)c于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是y2b x；ca xa xya x2ya x2k ；hk 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是h2. 關(guān)于