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1、1此幻燈片可在網址http:/上下載第18講2第六章 樣本及抽樣分布3第一節(jié) 總體與樣本4在實際應用中，對一個給定的隨機變量x，通常并不知道它的一些信息。例如，或者不知道它的分布，或者，不知道它的一些數(shù)字特征，如數(shù)學期望，方差，等等。因此，就需要對x做一些隨機試驗，根據隨機試驗的結果，對x的一些信息作出判斷或者估計，得出某些結論，這就是數(shù)理統(tǒng)計。5因此，對于我們要通過一系列隨機試驗來研究的那個隨機變量x，我們叫它總體總體。通常要做多次相互獨立的隨機試驗。在事先要做出計劃，隨機試驗的次數(shù)是多少。事先計劃的隨機試驗的次數(shù)n，我們稱之為樣本容樣本容量量。6對總體x計劃做n次隨機試驗，將要得到n個數(shù)，

2、就是試驗結果。但是，在計劃已經做出，試驗還沒有做的時候，我們不知道這n個數(shù)是什么，在這時，這n個數(shù)也是隨機變量，因為試驗是計劃相互獨立地做的，因此這n個隨機變量x1,x2,xn也是相互獨立的，它們都和總體x的分布一樣。稱這n個隨機變量為總體x的樣本樣本。7然后開始實施計劃，也就是對總體x做n次相互獨立的隨機試驗，也可以看成是對樣本x1,x2,xn做一次隨機試驗，當然就得到了n個具體的試驗結果，n個具體的數(shù)，用x1,x2,xn來表示，這被稱為樣本x1,x2,xn的樣本值樣本值。8總結性的定義：定義定義 總體總體是一個隨機變量x，樣本樣本是n個相互獨立的與總體同分布的隨機變量x1,x2,xn，其中

3、n稱為樣本容量樣本容量。樣本值樣本值是對x做n次獨立試驗（或對樣本x1,x2,xn做1次試驗）的試驗結果，用x1,x2,xn表示，也叫樣本觀測樣本觀測值值。9若將樣本x1,x2,xn看作是一個n維隨機變量(x1,x2,xn)，則(1) 當總體x是離散型隨機變量，可取的值為h1,h2,，若記其分布律為px=x=p(x), 其中x這個自變量是離散地取值h1,h2,，則樣本(x1,x2,xn)的分布律為p*(x1,x2,xn)=p(x1)p(x2)p(xn); (1)其中x1,x2,xn都離散地從h1,h2,中取值.(2) 當總體x是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x)時，樣本(x1,x2,xn

4、)的概率密度為f *(x1,x2,xn)=f(x1)f(x2)f(xn) (2)10第二節(jié) 樣本分布函數(shù) 直方圖11一、樣本分布函數(shù)一、樣本分布函數(shù)將總體x的分布函數(shù)f(x)=pxx)(1)稱為總體分布函數(shù). 從總體中抽取容量為n的樣本，得到n個樣本觀測值，若樣本容量n較大，則相同的觀測值可能重復出現(xiàn)若干次，為此，應當把這些觀測值整理，并寫出下面的樣本頻率分布表：觀測值x(1)x(2)x(l)總計頻數(shù)n1n2nln頻率f1f2fl112樣本頻率分布表：觀測值x(1)x(2)x(l)總計頻數(shù)n1n2nln頻率f1f2fl1其中x(1)x(2)x(l) (ln)11(1,2, ),1.iilnii

5、iinfilnnnf13定義定義 設函數(shù)其中和式 是對小于或等于x的一切x(i)的頻率fi求和, 則稱fn(x)是樣本分布函樣本分布函數(shù)數(shù)或經驗分布函數(shù)經驗分布函數(shù).( )(1)( )(1)( )0,( ),(1,2,1)1,(2)iniiixxlxxf xfxxxilx x( ) ixx14易知樣本分布函數(shù)fn(x)具有下列性質：1 0fn(x)1;2 fn(x)是非減函數(shù);3 fn()=0, fn(+)=1;4 fn(x)在每個觀測值x(i)和是右連續(xù)的，點x(i)是fn(x)的跳躍間斷點，fn(x)在該點的躍度就等于頻率fi. 15樣本分布函數(shù)的圖形x(1)x(2)x(i)x(i+1)x

6、(l)xfn(x)116對于任意的實數(shù)x，總體分布函數(shù)f(x)是事件xx的概率; 樣本分布函數(shù)fn(x)是事件xx的頻率. 根據伯努利大數(shù)定理可知, 當n時，對于任意的正數(shù)e, 有l(wèi)im |( )( )|1(3)nnpf xf xe格利汶科(glivenko)進一步證明了，當n時，樣本分布函數(shù)fn(x)與總體分布函數(shù)f(x)之間存在著更密切的近似關系的結論. 這些結論就是我們在數(shù)理統(tǒng)計中可以依據樣本來推斷總體的理論基礎.17二、直方圖二、直方圖數(shù)理統(tǒng)計中研究連續(xù)隨機變量x的樣本分布時，通常需要作出樣本的頻率直方圖(簡稱直方圖)，作直方圖的步驟如下：(1) 找出樣本觀測值 x1,x2,xn中的最

7、小值和最大值，分別記作*1x與*2x， (2) 適當選取略小于*1x的值數(shù) a 與略大于*2x的值 b, 并用分點 a=t0t1t2tl1tl=b 把區(qū)間(a,b)分成 l 個子區(qū)間 t0,t1),t1,t2),ti1,ti),tl1,tl). 18第 i 個子區(qū)間的長度為ti=titi1,i=1,2,l. 各子區(qū)間的長度可以相等，也可以不等；若使各子區(qū)間的長度相等，則有ibatl (i=1,2,l). 子區(qū)間的個數(shù) l 一般取為 8 至 15個，太多則由于頻率的隨機擺動而使分布顯得雜亂，太少則難于顯示分布的特征. 此外，為了方便起見，分點 ti應比樣本觀測值 xi多取一位小數(shù). 19(3)

8、把所有樣本觀測值逐個分到各子區(qū)間內，并計算樣本觀測值落在各子區(qū)間的頻數(shù) ni,及頻率(1,2, )iinfiln. (4) 在 ox 軸上截取各子區(qū)間，并以各子區(qū)間為底，以1iiiftt為高作小矩形，各個小矩形的面積si就等于樣本觀測值落在該子區(qū)間內的頻率，即 11()(1,2, )()iiiiiiifsttfiltt20所有小矩形的面積的和等于1：111lliiiisf這樣作出的所有小矩形就構成了直方圖.因為當樣本容量n充分大時，隨機變量x落在各個子區(qū)間ti1,ti)內的頻率近似等于其概率，即1 (1,2, )iiifp txtil所以直方圖大致地描述了總體x的概率分布.21例例 測量100

9、個某種機械零件的質量，得到樣本觀測值如下（單位：g）22設置的分布區(qū)間及統(tǒng)計的頻率如下：接收236.5239.5242.5245.5248.5251.5254.5257.5260.5263.5266.5頻率01591924221161223用excel軟件繪出的直方圖如下：24第三節(jié) 樣本函數(shù)與統(tǒng)計量25為了借助于對樣本觀測值的整理、分析、研究，從而對總體x的某些概率特征作出判斷，往往需要考慮各種適用的樣本函數(shù)g(x1,x2,xn). 因為一組樣本x1,x2,xn可以看作是一個n維隨機變量(x1,x2,xn), 所以任何樣本函數(shù)g(x1,x2,xn)都是n維隨機變量的函數(shù)，顯然也是隨機變量.

10、根據樣本x1,x2,xn的觀測值x1,x2,xn計算得到的函數(shù)值g(x1,x2,xn)就是樣本函數(shù)g(x1,x2,xn)的觀測值.26定義定義 若樣本函數(shù)g(x1,x2,xn)中不含有任何未知參數(shù)，則稱這類樣本函數(shù)為統(tǒng)計量統(tǒng)計量.27數(shù)理統(tǒng)計中最常用的統(tǒng)計量及其觀測值有：1. 樣本均值 11niixxn (1) 它的觀測值記為 11niixxn (2) 2. 樣本方差2211()1niisxxn (3) 它的觀測值記為2211()1niisxxn (4) 28假設總體x的期望為m, 方差為s2, 則來自總體x的n個樣本x1,x2,xn的期望和方差也就是m和s2, 經常是x的方差我們不知道, 因

11、此定義一個統(tǒng)計量為 u=(x1m)2+(x2m)2+(xnm)2, 稱它偏差平方和偏差平方和, e(u)=ns2, 因此e(u/n)=s2, 可以用u/n來估計x的方差.有的估計問題, m是已知的, 因此可以用這種辦法來估計.但是大多數(shù)的估計問題是m與s2都為未知, 因此被迫用t=(x1 x)2+(x2 x)2+(xnx)229 u=(x1m)2+(x2m)2+(xnm)2, 但是大多數(shù)的估計問題是m與s2都為未知, 因此被迫用t=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2來近似u. t被稱為樣本偏差平方和.因此用t/n來估計s2也是一個合理的考慮. 但是t中使用的樣本均值畢竟不是常數(shù)m,

12、 也是一個隨機變量, 這就導致了e(t)=(n1)s2, 因此就用n1去除t得樣本方差s2, 用s2來估計s2.30 u=(x1m)2+(x2m)2+(xnm)2,t=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2u中的n個用來平方求和的隨機變量x1m, x2m, , xnm 是相互獨立的, 而且相互獨立還有一個說法就相互間是自由的, 而且有n個相互獨立的隨機變量, 因此就認為自由度是n.31 u=(x1m)2+(x2m)2+(xnm)2,t=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2而t中的n個用來求平方和的隨機變量(x1 x),(x2 x),(xn x)卻因為x中同時含有x1,x2,x

13、n的成份而導致它們并不相互獨立, 因此是不自由的, 這n個隨機變量如果不平方就相加, 得1212()()()0nnxxxxxxxxxnx滿足一個方程因此就減少了一個自由.32 u=(x1m)2+(x2m)2+(xnm)2,t=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2但是可以證明, 可以對(x1 x),(x2 x),(xn x)做適當?shù)木€性變換, 得到n-1個相互獨立的0均值方差為s2的隨機變量y1,y2, , yn-1, 導致222121ntyyy因此t的n個不是相互獨立的隨機變量的平方和, 相當于n1個相互獨立的隨機變量的平方和, 因此t的自由度是n1. 象這樣的原理只有在更深的數(shù)理統(tǒng)

14、計書中才能夠看到.33 u=(x1m)2+(x2m)2+(xnm)2,t=(x1 x)2+(x2 x)2+(xn x)2t的另一種計算辦法:222112211222211()(2)22nniiiiinniiiinniiiitxxxx xxxxxnxxnxxnxxnx34樣本方差的另一算法: 222111iisxnxn 相應地觀測值為222111niisxnxn 3. 樣本標準差2211()1niissxxn(5) 它的觀測值記為2211()1niissxxn(6) 354. 樣本k階原點矩11,1,2,(7)nkkiiaxkn它的觀測值記為11,1,2,(8)nkkiiaxkn顯然，樣本的一階

15、原點矩就是樣本均值.365. 樣本k階中心矩11() ,1,2,(9)nkkiibxxkn它的觀測值記為11() ,1,2,(10)nkkiibxxkn顯然，樣本一階中心矩恒等于零.37當樣本容量n較大時，相同的樣本觀測值xi往往可能重復出現(xiàn)，為了使計算簡化，應先把所得的數(shù)據整理，設得到下表：觀測值xix(1)x(2)x(l)總計頻數(shù)nin1n2nln其中1liinn38觀測值xix(1)x(2)x(l)總計頻數(shù)nin1n2nln于是，樣本均值x, 樣本方差s2及樣本二階中心矩 b2可以分別按下列公式計算： ( )122( )122( )11,(11)1()(12)11()(13)liiiliiiliiixn xnsn xxnbn xxn39顯然，當樣本容量n充分大時，樣本方差s2與樣本二階中心矩b2是近似相等的.( )122( )122( )11,(11)1()(12)11()(13)liiiliiiliiixn xnsn xxnbn xxn4011,1,2,npkkikiaxknm 若總體x的k階矩e(xk)=mk存在, 則當n時 , k=1,2,.這是因為x1,x2,xn獨立且與x同分布, 所以x1k,x2k,xn