初中數(shù)學課本中的藍籌題

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載初中數(shù)學“藍籌題”有效運用的探索寧波市鄞州區(qū)鄞江鎮(zhèn)中心初級中學田海霞 （315151）股市中，投資者把那些有代表性的、質地最好的、具有良好發(fā)展前景的大公司的股票稱作藍籌股。在初中數(shù)學中，一些題目在教學價值方面具有突出的代表性，在命題價值方面具有廣泛的基礎性，在解題價值方面有良好的發(fā)展性，因此，可將其稱為 “藍籌題”。以浙教版九下P17 作業(yè)題第6 題為例 . 本題的設計，是以一個基本圖形和核心概念為基礎，讓學生在深刻理解數(shù)學概念和準確掌握數(shù)學定理的基礎上，借助數(shù)學直覺，提煉基本圖形所隱含的性質和結論，完成求解. 因為本題在圖形折疊領域中占有重要支配

2、性地位，還能以變換背景折疊、變換位置折疊、多次折疊、逆向折疊等方式拓展延伸，故而筆者對它在教學實踐中的有效運用進行了探索, 為教師在教學活動中切實把握數(shù)學本質和有效推進輕負高質教學提供一些有益的啟示。1.問題呈現(xiàn)如圖 1，在一張長方形ABCD 中， AD 25cm,AB 20cm ，點 P， Q 分別為AB ，CD 的中點 . 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求 DAE 的大小及QG 的長 .直角三角形折疊作為一種簡單而優(yōu)美的圖形，它既反映了三角形全等的所有特征，還能與圖形軸對稱變換等重要的幾何方法有機地融為一體.1.1 背景溯源追溯本題原型，實質就是一個直角三角形以它的斜邊為折痕折疊的問題. 如

3、圖2，直角ABE 以斜邊 AE 為折痕折疊，得到直角AGE ，運用圖形軸對稱變換的性質，易證AGE ABE . 再將直角 ABE 補成矩形ABCD ，點 P，Q 分別為AB ， CD 的中點，這時點G 落在 PQ 上，題目就是這樣演變而來 .1.2 問題分析在問題解決的過程中，要認真分析題目的條件：直角ABE 以斜邊AE 為折痕折疊，得到直角 AGE ，且點 G 落在長方形ABCD 的一條對稱軸PQ 上；再分析題目結論：求 DAE 的大小及QG 的長，可以解直角三角形和運用勾股定理解得. 因此根據(jù)有關信息和圖形的結構特點合理選擇AGE ABE 的 AG=AB的性質，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口 A

4、P=1 AG，則在 Rt APG 中， AGP=30° ,GP=103 ，那么 GAP=60°，進而得到 GAE=2優(yōu)秀學習資料歡迎下載EAB=30°, DAE= 60° , QG=25-103 .從上述分析可知，能否得心應手地運用基本圖形，取決于兩個方面：一是對基本圖形性質掌握的深刻程度；二是理解基本圖形的性質都是以怎樣的方式發(fā)揮作用. 通過對上述問題的分析既能使學生體驗到認識事物的基本方法，也能幫助學生深刻理解問題的本質.2.運用拓展為了更好地挖掘本題的潛質，發(fā)揮出其更好的教學功能，筆者對其進行以下幾方面的拓展延伸 .2.1 變換背景折疊教學過程中必

5、須重視思維，重視基礎知識的本質與內(nèi)在聯(lián)系，重視掌握基本思想方法，增強學生學習的遷移能力. 這樣學生在面對陌生的題目背景時也能自主探究，利用已有的知識和信息獨立解決問題. 下面介紹一些典型的背景變換.2.11 以梯形為背景DQC如圖 8 ，在一張?zhí)菪蜛BCD中， BC 25cm, AB 20cm ，點 P，GQ 分別為 AB ， CD 邊上的點，AP=kAB ， PQ AB 于點 B . 現(xiàn)將這E張紙片按圖示方式折疊，求QG的長.BAP在充分考察圖形的基礎上，發(fā)現(xiàn)問題的“變”與“不變”因素，圖 8進一步分析“變”與“不變”的邏輯關系，發(fā)現(xiàn)圖形的本質特征，得到QG 的長仍為 25 201k2.CQ

6、2.12 以三角形為背景G如圖 9 ，在一張直角ABC 中， BC 25cm, AB 20cm ，點 P，EQ 分別為 AB ，斜邊 AC 上的點， AP=kAB ， PQ AB 于點 B. 現(xiàn)將這AP BQG的長.圖9張紙片按圖示方式折疊，求分析：結合相似三角形的性質及以上規(guī)律，易得QG= 25k 20 1 k 2.2.13 以圓為背景C1 B 中， AB 20cm ，點 P， Q 分別為 AB ，弧Q如圖 10，在一張G4EAC 上的點， AP=kAB， PQ AB 于點 B . 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求QG 的長 .A圖10PB分析：聯(lián)想圓的常用輔助線，連結半徑BQ ，運用勾股定理

7、得到PQ=20 2k k 2，從而得到 QG= 20 2kk 2 20 1 k2. 若再拓展下去，此題k 的取值優(yōu)秀學習資料歡迎下載范圍為 1 k 1.22.14 以平面直角坐標系為背景（ 08 年浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中， OB4 ， OA3分別以 OB， OA 所在直線為 x 軸和 y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系F 是邊 BC 上的一個動點（不與B， C 重合），過 F 點的反比例函數(shù)yk (k 0) 的圖象與 ACx邊交于點 E 請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F ，使得將 CEF 沿 EF 對折后， C 點恰好落在 OB 上？若存在， 求出點 F 的坐標； 若不存在，請說明理由

8、解析： 從結論出發(fā)用分析法考慮，設存在這樣的點F ，將 CEF 沿 EF 對折后， C 點恰好落在OB 邊上的 M 點，過點E作EN OB，垂足為 N(如圖11). 由題意得：EN AO3，EM EC 41k ， MF CF3 1 k ，易證 ENM MBF ，運用相34似三角形的對應邊成比例和勾股定理求得符合條件的點F的坐標為，21432上題主要考查學生是否具備完備的知識結構、良好的提取信息能力、 恰當?shù)穆?lián)想能力以及必要的遷移能力. 只有提高了學生的學習能力，學生才能在面對不同的題目背景時，發(fā)現(xiàn)圖形的本質特征，回歸到本源性問題，從而得到簡潔且“合乎情理”的解決問題的方法.2.2 變換位置折疊

9、DCQ下面我們從動態(tài)視角下著力分析一些問題的來龍去脈，以盡可能揭G示問題的本質，并得到問題解決的規(guī)律.P,Q 動到三等分點：如圖 5，在一張長方形ABCD中，AD 25cm,AB 20cm ，點 P， Q 分別為AB ， CD 的三等分點. 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求DAE 的大?。ň_到度）及QG 的長 .EAPB圖 5DQCGEP,Q 動到四等分點：如圖 6，在一張長方形ABCD中，AD 25cm,AB 20cm ，點 P， Q 分別為AB ， CD 的四等分點. 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求DAE 的大小（精確到度）及QG 的長 .用動態(tài)的觀點看待幾何圖形的生成過程，嘗試用變與不變

10、的邏輯關系分析已知與結論的關系，可能正是尋求簡單、自然解題方法的一種有效策略 .ABP圖 6QDCGEAPB圖 7優(yōu)秀學習資料歡迎下載如拓展：如圖 7，在一張長方形ABCD 中， AD 25cm,AB 20cm ，點 P， Q 分別為 AB ， CD 邊上的點， AP=kAB ， DQ=kCD . 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求DAE的大?。ň_到度）及QG的長.分析 : 雖然 P,Q 點的位置在變，但AGE ABE ， AG=AB 卻是不變因素 . 因 PQ AB,故 APG=90°，由三角函數(shù)得： DAE 90° 1 arc cosk ，由勾股定理得： PG=20 1k

11、 2 ，2則 QG=2520 1 k 2.探究上題解題思路的獲取，可以遵循從特殊到一般，從簡單到復雜的數(shù)學思想方法，從中幫助學生深刻理解問題的本質. 再從一般到特殊驗證，當k=1 時， DAE= 60°， QG=25210 3 ；當 k=0 時， DAE= 45°， QG=5.讓我們再深入思考DAE 和 QG 的取值范圍，可得 45° DAE 90°， 5 QG 25，這樣有助于更好的暴露問題的本質，從而有效發(fā)現(xiàn)解決問題的規(guī)律.如變式 1：（09 年天津）已知一個直角三角形紙片 OAB，其中右圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中， 折疊該紙片， 折痕與邊A

12、OB=90°，OA=2，OB=4如OB交于點 C，與邊AB交于點D（）若折疊后使點（）若折疊后點B 與點 B 落在邊A 重合，求點OA上的點為C的坐標；B，設 OB =x，OC=y，試寫出y關于x 的函數(shù)解析式，并確定y 的取值范圍；（）若折疊后點B 落在邊OA上的點為B，且使B D OB，求此時點C 的坐標評析：本題的新穎之處就在于把基本圖形置于一次函數(shù)的背景之中,這樣函數(shù)問題與幾何問題就有機的結合起來，并且隨著折痕變換位置，B 點落在不同位置，圖形將發(fā)生改變,不知不覺中分類討論思想就滲透其中,于是問題變得生動起來。它對學生的想象能力與基本數(shù)學素養(yǎng)有良好的考查功能。2.3 多次折疊

13、（ 06 年成都）如圖 12，把一張矩形的紙片按如圖所示的方式折疊， EM、FM為折痕，折疊后的 C點落在 B M或 B M的延長線上，那么 EMF的度數(shù)是 _.解析： 本題考查的是圖形折疊的性質，折疊是一種軸對稱變換，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形全等，全等圖形的對應角相等，故可得出答案為90°優(yōu)秀學習資料歡迎下載變式 1：（ 08 年南寧）如圖 13，將矩形紙片 ABCD（圖）按如下步驟操作： （ 1）以過點 A 的直線為折痕折疊紙片，使點 B 恰好落在 AD邊上，折痕與 BC邊交于點 E（如圖）；（ 2）以過點 E 的直線為折痕折疊紙片，使點 A 落在 BC邊上，折痕 EF 交

14、 AD邊于點 F（如圖）；（3）將紙片展平，那么 AFE的度數(shù)為（） .解析：根據(jù)矩形及圖形折疊的性質可得 EAD=45° , AEC=135°；再次折疊得 EF 為 AEC的平分線，結合三角形的內(nèi)角和定理，易得 AFE=67.5° .變式 2：(09 年江蘇 ) 將矩形紙片 ABCD沿過點 B 的直線折疊，使點 A 落在 BC邊上的點 F 處，折痕為 BE（如圖）；再沿過點 E 的直線折疊，使點 D 落在 BE 上的點 D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖） 求圖中 a 的大小本題與變式1 有異曲同工之妙, 進而計算出 = BEG- BEF 67. 5&#

15、176; -4 5° =22. 5° . 在充分考察圖形的基礎上， 發(fā)現(xiàn)圖形的本質特征，也就能得到簡潔的解決問題的方法.變式 3：（20XX 年遵義）如圖 14，把一張矩形 ABCD紙片按如圖方式折疊， 使點 A與點 E 重合，點 C與點 F 重合（ E、F 兩點均在 BD上），折痕分別為 BH、 DG（ 1）求證： BHE DGF；（ 2）若 AB=6cm， BC=8cm，求線段 FG的長解析：根據(jù)矩形的性質和圖形折疊的性質易證BEH DFG（AAS）；再運用勾股定理及圖形折疊的性質易求FG 3cm以上四例由于編題者的想法不同而呈現(xiàn)各自的特點, 但最后都回歸到本源性問題, 即折疊不變性，這充分體現(xiàn)了課本習題的基礎性與重要性.2.4 逆向折疊讓我們換個角度進行思考，逆向思維深入探究。給出一張矩形紙片，不用任何其他工具，只通過折疊，我們能折出15o， 22.5 o， 30o， 37.5 o， 45o， 52.5 o，60o，67.5 o，75o 角.這樣多一個角度看問題也未嘗不是一件好事，而且重視實踐、 探究，關注學生的數(shù)學活動與數(shù)學思考， 不僅可以幫助學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，還能有效地幫助學生積累問題解決的經(jīng)驗和提高解決其他問題的能力.優(yōu)秀學習資料歡