典型例題：用放縮法證明不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性， 對照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程， 在使用放縮法證題時要注意放和縮的 “度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。一 . “添舍 ”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。33221a b 4例 1. 設(shè) a，b 為不相等的兩正數(shù)，且a b a b ，求證。3證明：由題設(shè)得 a2 abb2 a b，于是（ a b）2a2 abb2 a b，又 ab0，得 a b1，又 ab 41 （ab）2，而（

2、ab）2ababab 14 （ab）2，即 43 （ab）2ab，所以ab 43 ，故有 1ab 43 。例 2. 已知 a、b、c 不全為零，求證：a2ab b2b2bc c2c2ac a2 3 （ a bc）2證明：因?yàn)閍2abb2（ab23 2 （ ab2ab ab，同理2）4 b2）22b2bc c2 bc ，c2aca 2 ca 。222222223所以a ab bbbc cc ac a2（ a bc）二. 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例 3.已知 a、b、c 為三

3、角形的三邊，求證：1abc 2 。ca bbac證明：由于 a、 b、 c 為正數(shù)，所以a a， bb， cc，所以b ca b ca ca b ca ba b cabcabc，又 a，b，c 為三角形的邊，故 b+c a，則ab c ac ab a bc a bc abc 1b c為真分?jǐn)?shù)，則a2a，同理b2b，c2c，bcabcacabcababc學(xué)習(xí)必備歡迎下載abc2a2b2c2 .故 bc ac ab a bc a b c a b c綜合得 1 b a c a b c a c b 2 。三. 裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n 有關(guān)的 n 項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。例

4、4. 已知 nN* ，求 1111 2 n 。23n證明：因?yàn)?，則 111231 12（）2（32） 2（n）2n 12n ，證畢。n2 1n 1例 5.已知 nN * 且 a n1223n (n1)，求證： n(n 1)an(n1) 2對所有正整數(shù) n22都成立。證明：因?yàn)閚 n1)n2n ，所以 an1 2nn( n1) ，(2又 n(n1)n( n1) ，2所以 an122 23n( n1)352n1 ( n1) 2，綜合知結(jié)論成立。222222四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例 6.已知函數(shù) f (x)2x1 ，證明：對于 nN *且 n3

5、都有 f (n)n 。2x1n1證明：由題意知f (n)n2n1n(12)(11 )122n( 2n1)又因?yàn)?nN * 且n 1 2n1n 12n1n 1n 1 2n1 ( n 1)(2n1) ，n 3，所以只須證 2n2n1，又因?yàn)閚n012n 1nn( n 1)n 1 2n 1所以 f (n)n。2(11)C nC nC nC nC n 1 n2n1例 7. 已知 f (x )1x 2 ，求證：當(dāng) ab 時 f（a）f（b）ab 。學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明： f（a）f（ b）1 a21 b 2a2b 2a b ab1 a21 b21 a21 b 2ab a b( ab ) abb 證畢。a

6、baba五. 換元放縮對于不等式的某個部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。例 8. 已知 abc ，求證1110。a bbc ca證明：因?yàn)?abc ，所以可設(shè) a ct ， bcu(tu 0) ，所以 t u0 則11111 1 1 1 t u0，即111。a b b c c a t u u t u ttu0a b b c c a例 9. 已知 a，b，c 為 ABC 的三條邊，且有 a 2b2c 2 ，當(dāng) nN * 且 n3時，求證： anb ncn 。證明：由于 a2b 2c 2 ，可設(shè) a=csina， b=ccosa（a 為銳角），因?yàn)?0sina 1，

7、0cosa 1，則當(dāng) n3時， sinn asin2a ， cosn acos2 a ，所以anb nc n(sinn an ac n(sin2a2a cn。cos)cos)六 . 單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。abab例 10. 已知 a， b R，求證ab1 a。11 b證明：構(gòu)造函數(shù) f (x )x0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè) 0x 1 x 2 ，因?yàn)? x1xf ( x 1 )x1x 2x1x 20，所以 f x 1f x 2，所以 f (x ) 在 0, 上是增函數(shù)，取f (x 2 )x 11 x 2(1 x 1 )(11x 2 )x1 ab ， x 2ab ，顯然滿足 0x1x 2 ，所以 f ( a b )f (|a |