復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)課件

1、1.6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限定義 設(shè)函數(shù) w = f (z)定義在 z0的去心鄰域 0|z-z0|0, 相應(yīng)地必有一正數(shù)d (e) (0 d r), 使得當(dāng) 0 |z-z0|d | f (z)-A |e ,則稱A為f (z)當(dāng) z趨向于z0極限, 記作Azfzz)(lim0或記作當(dāng) zz0 時(shí) , f (z)A.幾何意義幾何意義: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當(dāng) 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時(shí)，均以A為極限。等價(jià)定義： 設(shè) f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0

2、, z0 = x0+iy0 , 則0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAv xyv運(yùn)算性質(zhì)： )(lim)(lim)()(lim)1 (000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz當(dāng) z0 時(shí)的極限不存在例1 證明函數(shù)Re( )( )|zf zz證 令 z = x + i y, 則22( ),xf zxy由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy讓 z 沿直線 y =

3、k x 趨于零, 我們有2200()()lim( , )limxxy kxy kxxu x yxy22201lim.(1)1xxkxk 故極限不存在. 2. 函數(shù)的連續(xù)性定義)()(lim00zfzfzz如果 則說 f (z)在 z0 處連續(xù). 如果 f (z) 在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù), 我們說 f (z) 在D內(nèi)連續(xù).函數(shù) f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0處連續(xù)的充要條件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)處連續(xù).性質(zhì)： (1)(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)； (2)(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)； (3)(3)連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)； (4)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必有界，且其模在D上取到最大值與最小值;(5)(5)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù). 例題1 討論zzfarg)(的連續(xù)性。x00222-2-argargzz-在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，argz在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。例2 討論 22Im( )(0)zzf