利用微積分證明不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用微積分證明不等式余建生指導(dǎo)教師 :吳曉摘要對于不等式證明的方法有很多，利用微積分的知識來證明不失為一個簡單易掌握的方法，本文應(yīng)用微積分的有關(guān)概念、定理 、典型實例，對不等式證明的微積分方法進(jìn)行了探究與歸納。關(guān)鍵詞不等式；導(dǎo)數(shù)；定積分引言不等式中蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法 .例如，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，類比的思想，分類討論思想，建模的思想 .不等式同時也是高中知識的一個重要的章節(jié)，高中時就學(xué)習(xí)了很多基本的不等式證明方法 .例如，求導(dǎo)證明，利用簡單的微積分證明 .不等式的證明在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，是教學(xué)的一個重點，也是學(xué)習(xí)的一個難點，本文應(yīng)用微積分的有關(guān)概念，定理

2、，結(jié)合典型實例，對不等式證明的微積分方法進(jìn)行了探究與歸納 .1. 利用微分中值定理（拉格朗日中值定理）證明不等式定理 11 若函數(shù) f 滿足如下條件：（） f在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，（） f在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f ' ( )f (b)f (a)ba這里沒有給出的確切位置，而對于不等式而言，也不必精確. 因此可用中值定理證，這時的關(guān)鍵是選擇f ( x) 及區(qū)間 a, b .例 1.1 若 0 ba ， 試證 a bln a a b .abb證設(shè) f (x) ln x .當(dāng) 0 ba 時， f (x) 在 b, a 上滿足拉格朗日中值定理

3、 ,所以 f (1 ln aln b(ba) ,)ba學(xué)習(xí)必備歡迎下載而 111( 0ba ),ab1ln aln b1aab.ba bln babaln ab,于是 abln aab .abbx例 1.2若 x>0, 試證 ：ln(1x)x .1x證設(shè) f (x)ln(1x)( x0) ,因 f ( x) 在 0, x 上滿足拉格朗日中值定理 ,所以 f ()11ln(1x)ln(10)ln(1x) .x0x又 111x ,于是1111ln(1 x)1 .1x11xx即xln(1x)x .1 x利用微分中值定理證明不等式時，要抓住定理的核心，在滿足定理的兩個條件下，主要是利用 “存在一

4、點(a, b) ”，即 ab 來確定不等式關(guān)系， 關(guān)鍵是根據(jù) f ' ( )f (b) f (a) 對照要證的不等式來確定函數(shù)f ( x) 和區(qū)間 a, b .b a2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式函數(shù)的單調(diào)性，在微積分中用導(dǎo)數(shù)來判定 .定理 22設(shè)函數(shù)在區(qū)間 a,b 上 可導(dǎo)，如果 對任意的 x( a, b) ，恒 有f (x )0(或 f( x) 0 )則 f(x) 在 ( a, b) 內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少） .例 2.13證明不等式 xx2ln( x 1) x ， 其中 x0設(shè) g ( x)ln(1 x) x .2證x2ln(1x) .(i) 設(shè) f (x) x2學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)

5、 x>0 時， f( x)1 x1x20 .x1x1f ( x)在（ 0， + ）單調(diào)減少 .又 f (0)0f ( x)x2ln(1x) .f (0), 即x2(ii) 設(shè) g ( x)ln(1 x)x11x當(dāng) x>0時,g (x)=10 ,1+xxg( x)在(0,)單調(diào)遞減 .g( x)g (0), 即 g( x)在(0,)上單調(diào)減少 .即 ln x(1x)x 0， 因此 x0時, xx2ln(1x) x .2例 2.24證明： 當(dāng) x0時 ,有 sin xxx3.3!證設(shè) f (x)= sin xx3x.3!f ( x)= cos xx2（無法判斷 f ( x) 的符號）1

6、.2又 f (x)sin xx而 x0時 s i nx xf (x)0 ( 只當(dāng) x0時等號成立 ) .所以 f ( x)在 (0,)單調(diào)增加 ,有 f (x)f (0)0 ,f ( x)在(0,)單調(diào)增加 ,x 0, f ( x)f (0)0 ,即 sin xxx3.3!利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時，首先要根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)yf ( x) ， 這學(xué)習(xí)必備歡迎下載是解題的關(guān)鍵 .此時，只須證明f ( x) 0 或 f ( x)0而要證明f ( x) 0或f ( x) 0 ，首先求 f (x) ，判斷 f (x)0 還是 f ( x)0 再使用定理 .3利用泰勒公式證明不等式一般涉及到高階導(dǎo)數(shù)時

7、可用泰勒公式（或麥克勞林公式）.定理 31 （泰勒定理）若函數(shù) f 滿足如下條件：(i)在開區(qū)間 (a, b) 上函數(shù) f 存在直到 n 階導(dǎo)數(shù)，(ii) 在閉區(qū)間 a,b 上存在 f 的 n+1 階導(dǎo)數(shù)，則對任何 x(a,b) ,至少存在一點(a, b) ， 使得f ( x)f ( a)f( a)( x a)f (a) (xa)2.2!f n ( a) ( x a)nf (n 1) ( ) ( x a) n 1.n!(n1)!例 3.1若在 (a, b) 內(nèi) f(x)0，則對 ( a,b) 任意幾個點 x1, x2 ,.xn ，試證有不等式 f (x1x2. xn)1f ( x2 ). f

8、( xn ) .n( f ( x1 )n證將 f ( x) 介在 x0x1x2.xn展開 , 介于 x與 x0之間 ,n有 f (x)f (x0 )f ( x0 )( xx0 )1 f( )( xx0 ) 2.2因 f (x)0 ,f (x) f ( x0 )f ( x0 )( xx0 )（1）對（ 1）式中分別取 x1 , x2 ,. xn ,得到 f (xi )f ( x0 )f (x0 )( xi x0 ) i =1,2, n.將上面的 n 個不等式兩邊分別相加得nnf (xi ) nf ( x0 )f ( x0 )( xix0 )i 1i1nf ( x0 )f( x0 )( x1x2.

9、xnnx0 ) nf ( x0 )f (x0 )1nf (xi ) ，n i 1學(xué)習(xí)必備歡迎下載x1x2. xn)1f (x2 ) .f ( xn ) .即 f (n( f (x1 )n例 3.2 設(shè) x >-1, 證明（ i）在 01, (1x)1x ；(ii) 在 a<0 或 a>1 時， (1x)1x .證 設(shè) f (x)(1x) , 則 f (x)(1 x) 1 .f (x)(a1)(1x)2 ，則 f (x) 的麥克勞林展式為f ( x)f (0)f (0) x1f () x2介于 0與 x 之間 .12即 (1 x)1x(1)(1) 2 x2.（ 2）2（ i）

10、01時，（ 2）式第三項非正 .(1x)1x .(ii) 在 a<0 或 a>1 時 , （2）式第三項非負(fù) .泰勒定理的適用范圍是不等式中含有的函數(shù)易求出它的泰勒展開式， 從而利用它的局部展開式證明不等式 .4利用函數(shù)的凹凸性證明不等式由定義及判別法有： f ( x) 在某區(qū)間上凹（或下凹）f ( x)0(或 f ( x)0) ，也即f ( x1x2.xn ) f ( x)f (x) .f ( x )n2n（或 f ( x1x2.xn ) f (x)f ( x2 ) .f ( xn ) ），n由此可證明一些不等式，特別是含兩個或兩個以上變元的.例 4.13已知 xi0, i 1,

11、2.n ， 且 x1 x2 x3 .xn1.試證： x1 x2x3.xnn .證 令 f ( x)ln x(x0) , 則 f ( x)110 .， f ( x)x2xf (x)在 (0,)下凹 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載即 f ( x1x2.xn ) f ( x1 )f ( x2 ).f (xn ) ,nx1x2.xn)1(ln xln x.ln x)10 ,ln(2nln1nn1nx1x2.xn1 .nx1 x2x3.xnn .例 4.2證明： ( xy )n1 ( xnyn ), x0, y 0, xy, n 122證設(shè) f (u)un, f (u)n(n1)un20f (x)在(0,)上凹的

12、, 對 x, y兩點 xy有 ,f ( xy )1( f ( x)f ( y) ， 即 ( x2y) n1( xnyn ) .2225.利用積分知識證明不等式性質(zhì) 1 3設(shè) f (x), g (x) 在區(qū)間 a, b 上都是可積函數(shù)，如果在區(qū)間 a, b 上滿足 f (x)bbg( x)dx .g(x) ， 則有f ( x)dxaa例5.1求證1x22ln( x1x2 )ln(12) ( x 1) .證xtdt1 t 2 |1x1 x22 ,11t 2x1dtln( t1t 2 ) |1xln( x1x2 )ln(12) .11t2又 t1時，t1,t 211 t 2根據(jù)性質(zhì) 1,xtdtx1

13、dt .11t211 t 2即1x22ln( x1 x2 ) ln(12) ( x1) .使用性質(zhì)1證明不等式時 ,要將不等式兩端的式子表示成同一區(qū)間上兩個函數(shù)的定積分，這時，只須比較這兩個函數(shù)在區(qū)間上的大小，在利用定積分的性質(zhì) .性質(zhì) 2如果 f ( x) 在 a, b 上的最大值和最小值分別為M 和 m ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載則 m(b a)bf (x)dx M (b a) .a例 5.22已知 f ( x) 在x內(nèi)連續(xù)， F ( x)1x af (t )dt(a 0) ，設(shè)2a x af ( x) 在 區(qū) 間 xa, xa內(nèi) 的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 為 M , m . 試 證

14、 ：| F ( x ) f (x ) | M. m證當(dāng) x a 1x時a,由性質(zhì) 2 得xaM2a .m 2af (t )dtxam F ( x) M .又 m f ( x) MMf ( x)m .( Mm)F ( x)f ( x)Mm .即 | F ( x)f ( x) |Mm .結(jié)語：高等數(shù)學(xué)中證明不等式的方法很多， 利用微積分證明有時候可以將復(fù)雜繁冗的問題變的簡單明了 .本文針對微積分學(xué)中證明不等式的 5 種方法，進(jìn)行了初步的思考與探究，并對運用某種方法給出了一定的結(jié)論 .其實，對于一個不等式來說，可以用多種方法予以證明， 對于一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人來說， 能夠找到解決問題的最簡單的方法就是好

15、方法，而利用微積分往往能讓問題變的簡單起來.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 數(shù)學(xué)分析 M. 北京 : 高等教育出版社 ,1991.10.2尹建華 . 利用微積分證明不等式 J.承德民辦師專學(xué)報 .2001,5. 第 21 卷 2期:8-9.3吳江 . 微積分在不等式證明中的應(yīng)用J. 北京市計劃勞動管理干部學(xué)院學(xué)報.2001. 第 9 卷 (3 期 ):44-46.4 劉玉璉 , 傅沛仁 . 數(shù)學(xué)分析講義 M. 北京 : 高等教育出版社 ,1992,7.TheProveOfInequationByMeamsOfCalculous AndDifferentialYu Jian ShengTutor,Wu XiaoAbstract : There are many ways to prove inequation. It is a simply way to use the knowledgeof calculous and differential to prove inequation.This paper is adopted some concepts, theorems of calculous and differential, and typical examples, and the conclus