二元線性回歸模型及參數估計

1、二元線性回歸模型的估計最簡單的多元線性回歸模型是二元線性回歸模型,即具有一個被解釋變量和兩個解釋變量的線性回歸模 型:匕=00 + 0皿 + 吋22+旳,一、二元線性回歸模型的參數估計1.偏回歸系數的估計對于二元線 性回歸模型：近=00 +QX1Z+/?2%2+"Z , =1, 2, , n ,其中的參數00、Q 1、Q 2稱為偏回歸系數。所謂偏回歸系數，是指多元線性回歸模型中解釋變量前的系數。其含義是:當其他解釋變量保持不變時，某一解釋變量變化一個單位而使被解釋變量Y平均改變的數值，即某一解釋變量對被解釋變量Y的影響程度。要估計二元線性回歸模型£ = 00 + 0Xi +

2、 02X2/ +旳中的 參數00、01、02,常用的方法仍然是普通最小二乘法。設根據給定一組樣本數據(Yi, Xh, X2i),掃1, 2, n , 采用普通最小二乘法估計得到的樣本回歸模型為Y產叭 +際儀+ % ,貝0參數估計量方°、81、方2應 該使殘差平方和斤 °孔a °紅/X入oz 彳二工屮-佻0Xi ”2“i=l i=li=i達到最小。根據極值存在的必要條件，應該有r 2； e ?-= 22 (匕Bo AlX"公2 X2i)= ° %Oe?八 =22(匕一Qo Q1X" Q2X2i)Xi = O I OQON efzs =2

3、2(/ Qo Q1X1Z Q2X2i)X2i = O %2從而得到正規(guī)方程組另屁-久九加2')= 0廠"=0<s(yz-3o-久X1, - 加2“口 = 0=> V"Xh = 02(/-30- 分2X2,)X2i = 0Jj"X2i = 0如果X與X2之間不存在線性關系，那么，由上述正規(guī)方程組可以解出Ao、B 2 :rI /v c /v p = Y - jB X QX | 0 1 1 2 22(s y x )(s a： ) (s y)(s兀)J i 1Z2ir 2ili 2i2 2 2(Z X XX X ) - (S X x ) 2(s y x

4、 )(藝兀)-(x y x )(藝兀 xi 2i1,i i1, 2i2 2 2 (S X )(s X ) - (s X ) 1Z2Z1Z 2i一 一 一1 其中，Xi = Xj - X , yi -YiY , X =乞 X j , Y = n1Z2ii 2i/V卩2)1 mon如果X|與X2之間存在線性關系，那么，上述計算右 “2的公式的分子、分母將變?yōu)?,從而無法求解。2.隨機誤差項的方差o'?的無偏估計 2沁b =72 3其中，Ze1的簡捷計算公式為I22八-工© =Ey. 0 工，.兀（3 YyxII1 I h 2 i 2i3.偏回歸系數Bi、/?2的方差和標準誤差1、

5、Beta系數和彈性系數在多元回歸分析中，需要說明各個解釋變量 的相對重要性，或者比較被解釋變量對各個解釋 變量的敏感性。然而，偏回歸系數與變量的原有計量單 位有直接聯(lián)系，計量單位不同，彼此不能直 接比較。為此，需要引進Beta系數和彈性系數。1- Beta系數Beta系數是由偏回歸系數轉換來的oBeta系數,則可見，Beta系數是用解釋變量標準差(SXj)和被解釋變 量標準差 怡丫)的比例對估計的偏回歸系數進行調整后 得到的，其數值與變量的單位無關，因而可以直接比較, 用于說明多元回歸模型中解釋變量的相對重要性。對于二元線性回歸模型，可以按下列公式計算Beta系數:由于所以，Beta系數的含義

6、是：若解釋變量Xj變化1個標準 差（即Mj=Sxj）,則被解釋變量Y變伽;個標準差（即 八*AK = p jSY ）0例如 P =1.02,厲=0.24,則表示：解釋變量X變化1個 標準差，將引起被解釋變量Y變化1.02個標準差；解釋變 量X2變化1個標準差，將引起被解釋變量Y變化0.24個標 準差。因此，可以說，Y對于X變化的敏感程度遠大于Y對于X2變化的敏感程度。2彈性系數彈性系數是某一變量的相對變化引起另一變量的相對 變化的度量，即變量的變化率之比。用心表示彈性系數，貝UdY !dx jdYX j入 X j耳 j Y X j dX j Y 一 P)Y平均彈性是指在樣本均值附近的彈性，即彈

7、性系數與原解釋變量的計量單位沒有任何關系，因此 很適宜用來說明被解釋變量對解釋變量變化的敏感程度O 例如=1.78 , “2二°45，則表示：在樣本均值附近，X每增加1%,將使被解釋變量Y增加1.78%；而X2每增加1%, 將使被解釋變量Y增加0.45%,所以，被解釋變量Y對于解 釋變量X變化的敏感程度遠大于對解釋變量X2變化的敏感 程度。3.偏相關系數在二元線性回歸分析中，也可以用偏相關系數來分析 被解釋變量Y對于哪一個解釋變量（X和X?）的變化 更敏感。偏相關系數：是指在控制或消除其他變量影響的情況 下，衡量多個變量中的某兩個變量之間線性相關程度 的指標。當X2保持不變時，Y與X之間的偏相關系數為r- r- rXY 2 X"“ 2）（1宀）如果力x > rYX ，則表示被解釋變量Y與解釋變量XI1 2