分形維數(shù)算法

1、分形維數(shù)算法分形維數(shù)算法分形包括規(guī)則分形和無規(guī)則分形兩種。 規(guī)則分形是指可以由簡(jiǎn)單的迭代或者 是按一定規(guī)律所生成的分形，如 Cantor 集，Koch 曲線， Sierpinski 海綿等。這 些分形圖形具有嚴(yán)格的自相似性。無規(guī)則分形是指不光滑的，隨機(jī)生成的分形， 如蜿蜒曲折的海岸線，變換無窮的布朗運(yùn)動(dòng)軌跡等。這類曲線的自相似性是近 似的或統(tǒng)計(jì)意義上的，這種自相似性只存于標(biāo)度不變區(qū)域。對(duì)于規(guī)則分形，其自相似性、標(biāo)度不變性理論上是無限的（觀測(cè)尺度可以趨 于無限?。?。不管我們?cè)鯓涌s?。ɑ蚍糯螅┏叨龋?biāo)度）去觀察圖形，其組成部 分和原來的圖形沒有區(qū)別，也就是說它具有無限的膨脹和收縮對(duì)稱性。因些對(duì) 于

2、這類分形，其計(jì)算方法比較簡(jiǎn)單，可以用縮小測(cè)量尺度的或者不斷放大圖形 而得到。分形維數(shù)D=lnN（ ）/ln（1/ ）（2-20）如 Cantor 集，分?jǐn)?shù)維 D=ln2/ln3=0.631 ； Koch 曲線分?jǐn)?shù)維 D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski 海綿分?jǐn)?shù)維 D=ln20/ln3=2.777 。對(duì)于不規(guī)則分形，它只具有統(tǒng)計(jì)意義下的自相似性。不規(guī)則分形種類繁多， 它可以是離散的點(diǎn)集、粗糙曲線、多枝權(quán)的二維圖形、粗糙曲面、以至三維的 點(diǎn)集和多枝權(quán)的三維圖形，下面介紹一些常用的測(cè)定方法 26。（1）尺碼法用某個(gè)選定尺碼沿曲線以分規(guī)方式測(cè)量， 保持尺碼分規(guī)兩端的落點(diǎn)始終在曲 線

3、上。不斷改變尺碼， 得到一系列長(zhǎng)度 N（），越小、N越大。如果作 lnN ln 圖后得到斜率為負(fù)的直線，這表明存在如下的冪函數(shù)關(guān)系N -D（2-21）上式也就是 Mandelbrot 在分形：形狀、機(jī)遇與維數(shù)專著中引用的 Richardson 公式。 Richardson 是根據(jù)挪威、澳大利亞、南非、德國、不列顛西 部、葡萄牙的海岸線丈量結(jié)果得出此公式的，使用的測(cè)量長(zhǎng)度單位一般在 1 公 里到 4 公里之間。海岸線絕對(duì)長(zhǎng)度 L 被表示為：1-DL=N 1-D（ 2-22 ）他得到挪威東南部海岸線的分維 D1.52 ，而不列顛西部海岸線的分維 D 1.3 。這說明挪威的海岸線更曲折一些 27 。

4、（2）小島法 如果粗糙曲線都是封閉的，例如海洋中的許多小島，就可以利用周長(zhǎng)- 面積關(guān)系求分維，因此這個(gè)方法又被稱為小島法。對(duì)于規(guī)則圖形的周長(zhǎng)與測(cè)量單位尺寸的一次方成正比， 而面積 A 則與的 二次方成正比。通常我們可以把它們寫成一個(gè)簡(jiǎn)單的比例關(guān)系：1/2PA1/2（2-23）對(duì)于二維空間內(nèi)的不規(guī)則分形的周長(zhǎng)和面積的關(guān)系顯然更復(fù)雜一些，2-24)Mandelbrot 提出，應(yīng)該用分形周長(zhǎng)曲線來代替原來的光滑周長(zhǎng)，從而給出了下 述關(guān)系式：1/ D 1/ 2 D 1/ 2 P( )1/D a0 (1 D)/ DA( )1/2 a0 D A( )1/2這里的分維 D大于 1（周長(zhǎng)光滑時(shí) D=1，上式轉(zhuǎn)

5、化成為（ 2.23 ）式），使 P的變化減緩， a0是和島的形狀有關(guān)的常數(shù)， 是測(cè)量尺寸，一般取 為小于 1 的數(shù) 值（如取島的最大直徑為 1），使因子 （ 1-D） /D 隨測(cè)量尺寸 減小而增大。作 logP（ ）/ logA（ ）1/2/ 圖，從其中直線部分的斜率的倒數(shù)，可以得到 分維 D。這個(gè)方法也可以推廣到粗糙曲線（表面積 - 體積法）。3）計(jì)盒維數(shù)法 28這是一種常用的計(jì)算分形圖形分維數(shù)的實(shí)用方法。 取邊長(zhǎng)為 r 的小盒子， 把分形曲線覆蓋起來。則有些小盒子是空的，有些小盒子覆蓋了曲線的一部分。 計(jì)數(shù)多少小盒子不是空的， 所得的非空盒子數(shù)記為 N（r ）。然后縮小盒子的尺寸，所得 N

6、（r ）自然要增大，當(dāng)r 0時(shí)，得到分形維數(shù)：D lim log N(r) r 0 log r2-25)實(shí)際計(jì)算中只能取有限的r ，通常的做法與尺碼法類似， 求一系列 r 和 N（r），然后在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中用最小二乘法擬合直線，所得直線的斜率即所求分形維數(shù)。）結(jié)構(gòu)函數(shù)法 29具有分形特征的時(shí)間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足：2-26)2 4 2DS( ) z(x ) z(x)2 C 4 2D式中：z(x ) z(x)2 表示差方的算術(shù)平均值。是數(shù)據(jù)間隔的任意選擇值。針對(duì)若干尺度 對(duì)分形曲線的離散信號(hào)計(jì)算出相應(yīng)的 ( )，然后在對(duì)數(shù)坐 標(biāo)中得 logS( ) log 直線的斜率，則分形維數(shù)：2-

7、27)D 4 2W2.2.4系統(tǒng)所采用的二種計(jì)算維數(shù)的方法以上介紹的各種測(cè)量不規(guī)則分形的分維方法， 在原理上都是利用了它們的自相似性和被測(cè)量是隨測(cè)量尺度的改變而改變的特性。因此選擇哪一種方法來測(cè) 定和計(jì)算分維只能從實(shí)際問題出發(fā)，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。但在計(jì)算分維時(shí)存在的共同點(diǎn)是在計(jì)算原則上要求圖形象素盡量多以及相似的層次盡量多。但實(shí)際圖 形往往達(dá)不到這樣的要求，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果原則上可以有大得多的線性范圍， 但限于計(jì)算時(shí)，一般雙對(duì)數(shù)圖上的線性范圍是 23 個(gè)量級(jí)。因此我們?cè)趯?shí)際的 研究工作中，對(duì)研究對(duì)象使用分形或分維等概念時(shí)一定要注意它的適用范圍。面介紹在系統(tǒng)中所使用的二種求分形的方法。a、 半方差法

8、半方差法用于復(fù)雜的分形曲線的計(jì)算，適用于對(duì)隨機(jī)過程數(shù)據(jù)的處理。該方法簡(jiǎn)單易行，適合于計(jì)算機(jī)處理，是一種較實(shí)用的計(jì)算方法。設(shè)在某一測(cè)量距離或測(cè)量時(shí)間序列上得到一族 z(t )，且隨機(jī)變量的平均差 表示為：2-28)1m(a) z(t) z(t t)n其中：m(a)為平均差；z(t) 為在 t 位置函數(shù)曲線的測(cè)量值；z(t+ t)為在 t+t 位置函數(shù)曲線的測(cè)量值； t 為一對(duì)數(shù)據(jù)的間據(jù)n 為數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)。方差表示為：12s(a) z(t) z(t t) 2(2-29)n半方差表示為：2-30)1 1 2 r(a) 12s(a) 21n z(t) z(t t)2式中數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù) n的確定方法是：若以等間

9、距 t 連續(xù)測(cè)量某一距離的各點(diǎn)數(shù)值時(shí)，得到一隨機(jī)數(shù)據(jù) z(1),z(2), ,z(如k),圖 2-6 所示 其中，W 是冪指數(shù)，是分形維數(shù) D的一種逼近，把 h和 r（h）繪到雙對(duì)數(shù)坐 標(biāo)圖上，并進(jìn)行線性回歸，得到回歸方程，其斜率即為 W 。而斜率 W 與分形維當(dāng)一對(duì)數(shù)據(jù)的間距當(dāng)一對(duì)數(shù)據(jù)的間距t1=t 時(shí)，數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù) n=k-1, 如圖 2-6 (a)所示t2=2t 時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的半方差時(shí)，數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)n2=k-2如圖 2-6 (b) 所示。當(dāng)一對(duì)數(shù)據(jù)的間距t3=3t 時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的半方差時(shí)，數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)n2=k-3,如圖 2-6 (c)所示。t 1= t n1=k-1 z(k)z(1) z(2)

10、 z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9)t 2=2 tn2=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k)t 3=3 t n3=k-3 z(1) 圖 2-6z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8)半方差法中參數(shù) n 的確定z(9)Fig 2-6 the definition of n in semi-variancemethod當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，往下依次類推。每當(dāng)改變一對(duì)數(shù)據(jù)的間距時(shí)，由式( 2-30)可以得到相應(yīng)的半方差 r(a) 。對(duì)于分形曲線， a與 r(a)存在如下的冪

11、型關(guān)系： r(a)hW(2-31)數(shù) D 有如下關(guān)系 23 ：2-32)2-33)W=4-2D4W2b、 變換法這是 Dubuc 等29 介紹的方法，在本質(zhì)上它與計(jì)盒維數(shù)法相似，但對(duì)已知分 形曲線運(yùn)用此法得到的結(jié)果比計(jì)盒維數(shù)法準(zhǔn)確， 。后來 Spanos 和 Irene25把此方 法推廣應(yīng)用于粗糙曲面，也得到很好的結(jié)果。此法設(shè)置寬為的矩形（盒子）覆蓋到分形曲線上，矩形的高度由分形曲 線在框內(nèi)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)決定（圖 2-7），一步一步移動(dòng)矩形遍及所有象素點(diǎn)， 將所有矩形的高和寬相乘并且相加起來得到總面積S（R），系列改變的大小重復(fù)以上操作，得到一系列 S（R）。注意上述操作過程中矩形經(jīng)過的范圍應(yīng)遠(yuǎn) 遠(yuǎn)大于矩形的寬度。將圖 2-7 變換法求分維Fig 2-7 dimension calculating usingvariationS（R）除以 R得到 N（R）S（R）R，作 lnN（R） ln（1/R）曲線，取其中 線性部分的斜率為分維，因?yàn)樵诰€性范圍內(nèi)存在N（R） R 的關(guān)系。