第2章續(xù)系統(tǒng)的時域分析ppt課件

1、 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 第第2章章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) 2.2 奇異函數(shù)奇異函數(shù)2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.4 卷積積分卷積積分 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) 2.1.1 系統(tǒng)的描述 描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng)，列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面。 1. 元件約束var 在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下： (1)電阻r，ur(t)=rir(t)； 信號與線性系統(tǒng)第2

2、章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 (2)電感l(wèi)， (3)電容c， (4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。 00( )1( ),( )( )tllllltdi tu tlii tuddtl00( )1( ),( )( )( )tccccctdutitcututiddtc 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2. 結(jié)構(gòu)約束kcl與kvl 下面舉例說明。 例21 圖2.1所示電路，輸入激勵是電流源is(t),試列出電流il(t)及r1上電壓u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。 圖2.1 例21圖 is(t)ic(t)u1(t)il(t)r2r1l 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系

3、統(tǒng)的時域分析 解 由kvl，列出電壓方程122211221( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )cllllllutu tu tr i tdi tlr i tdtdi tditdi tu tlrrcdtdtdt對上式求導(dǎo)，考慮到 11( )( )( )( )cccdutitcritu tdt（2-1） 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 根據(jù)kcl，有ic(t)=is(t)-il(t)，因而 u1(t)=r1ic(t)=r1(is(t)-il(t) 2122212121( )( )( )( )( ( )( )()( )( )1( )1( )( )slllslllsl

4、sdi tdi td i tdi ti ti trlrcdtdtdtdtd i trrdi tr di ti ti tdtldtlcldtlc(22) 整理上式后，可得221121121122( )( )1( )( )( )ssd i trrdi td i tr rdi ti trdtldtlcdtldt(23) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例22圖2.2所示電路，試分別列出電流i1(t)、電流i2(t)和電壓uo(t)的數(shù)學(xué)模型。 解 12212221: ( )( )( )( )2:13 ( )( ( )( )( )2:( )( )tstotokcl i ti tidi tkc

5、ldi ti tidutdtvarutid 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 解此聯(lián)立方程，最后求得 22111222222222( )7( )5( )1( )( )( )222( )7( )5( )( )322( )75( )3 ( )22ssssooosd i tdi td i tdi ti ti tdtdtdtdtd i tdi tdi ti tdtdtdtd utuuti tdtdt(24) (25) (26) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.2 例22圖 is(t)i1(t)i2(t)uo(t)2 3 1 f1 h 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 從

6、上面兩例可得到兩點(diǎn)結(jié)論： (1)解得的數(shù)學(xué)模型，即求得的微分方程的階數(shù)與動態(tài)電路的階數(shù)(即獨(dú)立動態(tài)元件的個數(shù))是一致的。 (2)輸出響應(yīng)無論是il(t)、u1(t)，或是uc(t)、i1(t)，還是其它別的變量，它們的齊次方程都相同。 這表明，同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時，它的自由頻率是唯一的。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.1.2 微分方程的經(jīng)典解 我們將上面兩個例子推廣到一般，如果單輸入、單輸出線性非時變的激勵為f(t)，其全響應(yīng)為y(t)，則描述線性非時變系統(tǒng)的激勵f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程，它可寫為y(n)(t)+a n-1 y(n-1

7、)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) (27) 式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解，用yh(t)表示。非齊次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t) (28) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 1.齊次解 齊次解滿足齊次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 (29) 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為n+a n-1n

8、-1+a1+a0=0 (210) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 (1)特征根均為單根。如果幾個特征根都互不相同(即無重根)，則微分方程的齊次解 (2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其余(n-)個根+1，+2，n都是單根，則微分方程的齊次解1( )inthiiy tce(211)1( )jntihiiy tcte(212) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 (3)特征根有一對單復(fù)根。即1,2=ajb，則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (213) (4)特征根有一對m重復(fù)根。即共有m重1,2=ajb的復(fù)根，則

9、微分方程的齊次解112112( )coscoscossinsinsinatmathmatatmatmy tcdtc tedtc tedtd ebtd tebtd tedt(214) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例23 求微分方程y(t)+3y(t)+2 y(t)=f(t)的齊次解。 解 由特征方程2+3+2=0解得特征根1=-1， 2=-2。 因此該方程的齊次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t 例24求微分方程y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的齊次解。 解 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1，因此該方程的齊次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t 信號

10、與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例25求微分方程y(t)+y(t)=f(t)的齊次解。 解由特征方程2+1=0解得特征根是一對共軛復(fù)數(shù)1,2=j，因此，該方程的齊次解 yh(t)=c1cost+c2sint 2.特解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。表21列出了幾種類型的激勵函數(shù)f(t)及其所對應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)pi，就可得出特解。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 表21 激勵函數(shù)及所對應(yīng)的解 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例26若輸入激勵f(t)=e- t，試求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t

11、)的特解。 解查表21，因?yàn)閒(t)=e-t，=-1與一個特征根1=-1相同，因此該方程的特解1021010102( )()3()2()ttptttttttytptepeddptepeptepeptepeedtdt將特解yp(t)代入微分方程，有 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 3.完全解 根據(jù)式(28)，完全解是齊次解與特解之和，如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為1( )( )intipiy tceyt(215) 當(dāng)特征根中1為重根，而其余(n-)個根均為單根時，方程的全解為111( )( )inttiipijy tctece jyt (216) 信號與線性系統(tǒng)第2章

12、 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為式(215)，將給定的初始條件分別代入到式(215)及其各階導(dǎo)數(shù)，可得方程組 y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-1 1c1+ n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例27描述某線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，已知系統(tǒng)的初始條件是y(0)=y(0)=0，輸入激勵f(t)=e-tu(t)，試求全響應(yīng)y(t)。 解 在例23和例26中已求得該方程的齊次解和特解

13、，它們分別是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 由初始條件y(0)=y(0)=0，有 y(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全響應(yīng)為 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)u(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.1.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)所引起的響應(yīng)，用yx(t)表示；零狀態(tài)響應(yīng)是系

14、統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時，僅由輸入信號所引起的響應(yīng)，用yf(t)表示。這樣，線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t) (217) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 在零輸入條件下，式(27)等式右端均為零，化為齊次方程。若其特征根全為單根，則其零輸入響應(yīng) 式中cxi為待定常數(shù)。 若系統(tǒng)的初始儲能為零，亦即初始狀態(tài)為零，這時式(27)仍為非齊次方程。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)1( )intxxiiy tc e(218) 1( )( )intffipiytc eyt(219) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分

15、析 式中cfi為待定常數(shù)。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，它們的關(guān)系為： 111( )( )( )iiinnntttipxifipiiiy tceytc ec eyt(220) 式中 111iiinnntttixifiiiicec ec e(221) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 在電路分析中，為確定初始條件，常常利用系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性，即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性。這就是動態(tài)電路中的換路定理。若換路發(fā)生在t=t0時刻，有0000()()()()ccclututiti t(222) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分

16、析 例28如圖2.3(a)所示的電路，已知l=2h，c=0.25f，r1=1，r2=5；電容上初始電壓uc(0-)=3v,電感初始電流il(0-)=1a；激勵電流源i(t)是單位階躍函數(shù)，即i(t)=u(t)a。試求電感電流il(t)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解 圖2.3(a)即例21題。若以il(t)為輸出變量，已知其微分方程為 21212( )()( )1( )1( )( )(0)llslsd i trrdi tr di ti ti t tdtldtlcldtlc將各元件數(shù)值代入得1( )3 ( )2 ( )( )2 ( )(0)2nlllssiti ti ti ti tt 信號與線性系

17、統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.3 例28圖 uc(t)ul(t)is(t)il(t)r1r2cr1r2ucx(0)ilx(0)ulx(0)3 v1 ais(0)r1r2ilf (0)ulf (0)(a)(b)(c) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 (1)零輸入響應(yīng)。當(dāng)輸入為零時，電感電流的零輸入應(yīng)滿足齊次方程212( )3( )2( )0(0)( )(0)lxlxlxttlxxxititittitc ec et其特征根1=-1，2=-2，因此零輸入響應(yīng)已知ilx(0+)=1a，由kvl：12(0 )()(0 )36 133lxlxurr iv 再由 可得(0 )( )lxlxd

18、iutdtl133(0 )(0 )/22lxlxiua sl 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 1212(0 )13(0 )2lxxxlxxxiccicc 解得 ，故而 1211,22xxcc211( )(0)22ttlxiteet 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 (2)零狀態(tài)響應(yīng)。輸入is(t)=u(t)a。在t0時， is(t)=1a ， 代入零狀態(tài)響應(yīng)方程 其齊次解為cf1e-t+cf2e-2t，特解yp(t)=p0。代入原微分方程得p0=1，所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ilf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t0) ( )0sdi tdt222( )( )32(

19、 )2(0)lllfd i f tdi f tittdtdt 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 已知ilf(0+)=0，且1(0 )111(0 )( )/2lflfsdiuri ta sdtll有 1212(0 )101(0 )2lffflffficcicc 解得 123212ffcc 231( )1(0)22ttlfiteet 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 (3) 完全響應(yīng)。222( )( )( )1131122221(0)llxltttttti titi teeeeeet 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.2 奇異函數(shù)奇異函數(shù) 2.2.1 奇異信號(函數(shù))的

20、時域描述 1.沖激信號 沖激信號記為(t)，其一般定義式為( )00( )0( )1ttttt dt (223) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.4 沖激信號及延時沖激信號 0(1)(t)0(1)(t t0)ttt0(a)(b) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 沖激信號也可用泛函定義為 圖2.5就是(t)的兩個工程信號模型。盡管圖中p1(t)與p2(t)不盡相同，但兩者都滿足上述要求。當(dāng)0時的極限情況都可形成沖激信號(t)。即( )( )( )tf t dtf t(224) 120( )lim( )lim( )tp tp t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

21、圖2.5 (t)的兩個工程信號 0p1(t)0tt(a)(b)p2(t)1122 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 補(bǔ)充說明下面兩點(diǎn)： (1)沖激信號的作用不一定僅是t=0時刻，可以延時至任意時刻t0。以符號(t-t0)表示，其波形圖如圖2.4(b)所示。(t-t0)的定義式為 (t- t0)=0, tt0； (t- t0), t=t0；且 0()1tt dt(225) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 仿照式(224)同樣有(t-t0)的泛函數(shù)定義 (2)沖激信號具有強(qiáng)度，其強(qiáng)度就是沖激信號對時間的定積分值，如a(t)表示該沖激信號的強(qiáng)度為a，即有 。沖激信號的強(qiáng)度在圖中以括

22、號注明，以示與信號的幅值相區(qū)分。 00()( )( )ttf t dtf t(226) ( )at dta 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2. 階躍信號 階躍信號以符號u(t)表示，其定義為 10( )00tu tt其波形如圖2.6(a)所示。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.6 階躍信號與延時階躍信號 0tu(t)10tu(t t0)1t0(a)(b) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 階躍信號u(t)在t=0處存在間斷點(diǎn)，在此點(diǎn)u(t)沒有定義。同樣，階躍信號也可延時任意時刻t0，以符號u(t-t0)表示，其波形如圖2.6(b)所示，對應(yīng)的表示式為 00

23、01()0ttu tttt(227) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例29 試用階躍函數(shù)表示圖2.7所示的延時脈沖信號和方波信號。 解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0) w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5) w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.7 例29圖 t02t03t0t1w3(t)04t05t0(c)23t1w2(t)123450(b)t02t03t0t11w1(t)(a

24、)0 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 階躍信號最重要的特性是有單邊性。任意連續(xù)時間信號f(t)(-t0)，而t0時，信號為零，如圖2.8所示。 圖2.8 階躍信號的單邊特性 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 從階躍信號與沖激信號的定義，可以導(dǎo)出階躍信號與沖激信號之間的關(guān)系，即有( )( )( )( )tu tddu ttdt (228)(229) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 這表明沖激信號是階躍信號的一階導(dǎo)數(shù)，階躍信號是沖激信號的時間積分。從它們的波形可見，階躍信號u(t)在t=0處有間斷點(diǎn)，對其求導(dǎo)后，即產(chǎn)生沖激信號(t)。以后對信號求導(dǎo)時，凡不連續(xù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就

25、用沖激信號或延時沖激信號來表示，沖激信號的強(qiáng)度就是不連續(xù)點(diǎn)的跳躍值，如圖2.9所示。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.9 沖激信號與階躍信號之間的關(guān)系 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 3. 斜坡信號 斜坡信號以符號(t)表示，其定義為0( )00tttt(230) 還可以表示為( )( )()ttu tt (231) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.10 斜坡信號與延遲斜坡信號 11t0(t)1t0t0(t t0)t01(a)(b) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 還可以表示為 (t-t0)=(t-t0)u(t-t0) (-t0的任意時刻，上

26、式可寫為0_0_0_111( )( )( )(0_)( )(0_)ttcccccutididuidtccc 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 式中u(t)為單位階躍信號。積分下限取0-是考慮到ic(t)可能包括沖激信號(t=0時的沖激)。如果ic(t)不包含沖激信號，即ic(t)連續(xù)有界，則可不必區(qū)分0-與0+。 或?qū)憺?0_1( )(0 ) ( )( )tcccutuu tidc (242) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.13 t0時，電容的時域模型 uc(t)uc(0)ic(t)cuc(t)uc(0)u(t)ic(t)cic(t)cuc(t)cuc(0) (t)t

27、tucd)(dc(a)(b)(c) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 將式(242)求導(dǎo)數(shù)并乘以c，得 ( )(0_) ( )( )( )( )(0_) ( )ccccccdutccutitdtdutitccutdt(243) 移項(xiàng)，有 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.1中(a)，(b)，(c)三個電路對于端口電壓uc(t)和電流ic(t)來說是互相等效的。同理，對于電感l(wèi)，也有對偶的等效公式和等效電路模型圖如圖2.14所示： 0_1( )(0_) ( )( )( )( )(0_)( )tlllllli tiu tudldi tull itdt(244) (245) 信

28、號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 從式(244)、式(245)和圖2.14中可知，具有初始電流il(0-)的電感l(wèi)，在t0-的時間范圍內(nèi)，可用初始狀態(tài)為零的電感l(wèi)與電流源il(0-)相并聯(lián)表示，或與電壓源lil(0-)(t)相串聯(lián)表示。圖2.14中(a)，(b)，(c)三個電路是互相等效的。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.14 t0時，電感的時域模型 ul(t)il(t)il(0)llil(t)ul(t)il(0)u(t)lil(t)ul(t)lul(0)(t)(a)(b)(c) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.3 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2

29、.3.1 沖激響應(yīng) 一線性非時變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位沖激信號(t)所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其示意圖如圖2.15所示。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.15 沖激響應(yīng)示意圖 0t(t)(1)線性非時變系統(tǒng)(t)h(t)(0)0th(t)0 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 1.沖激平衡法 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 例211已知某線性非時變系統(tǒng)的

30、動態(tài)方程式為( )3 ( )2 ( )(0)dy ty tf ttdt試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的定義，當(dāng)f(t)=(t)時，即為h(t)，即原動態(tài)方程式為 由于動態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(t)，為了保持動態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)也必須含有(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必為aetu(t)的形式?？紤]到該動態(tài)方程的特征方程為( )3 ( )2 ( )(0)dh th tttdt30 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 特征根1=-3，因此可設(shè)h(t)=ae-3tu(t)，式中a為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有3

31、3333( )3( )2 ( )( )3( )3( )2 ( )( )2 ( )tttttdaeu taeu ttdtaetaeu taeu ttatt即 解得a=2，因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為3( )2( )th teu t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 ( )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )df t g tf tg tf t g tdtf t g tft 求導(dǎo)后，對含有(t)的項(xiàng)利用沖激信號(t)的取樣特性進(jìn)行化簡，即 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例212 已知某線性非時變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 由原方程可得( )6

32、 ( )3( )2 ( )dy ty tf tf tdt( )6 ( )3 ( )2 ( )(0)dy ty ttttdt 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 由于動態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(t)，為了保持動態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)h(t)最高次h(t)也必須含有(t)。這樣，沖激響應(yīng)h(t)必含有(t)項(xiàng)?？紤]到動態(tài)方程式的特征方程為 特征根為1=-6，因此設(shè) 式中a、b為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有606( )( )( )th taeu tbt66( )( )6( )( )3 ( )2 ( )(6 ) ( )( )2 ( )3 ( )ttdaeu tbtaeu tbtttd

33、tabtbttt 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 623163abbab 解得 即 因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為6( )3 ( )16( )th tteu t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例213 已知某線性非時變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 22( )( )32 ( )2( )3 ( )(0)d y tdy ty tf tf ttdtdt試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 由原方程可得 22( )( )32 ( )2 ( )3 ( )(0)d y tdy ty ttttdtdt 考慮到該動態(tài)方程的特征方程為2+3+2=0，特征根1=-1，2=-2，因此設(shè) 2( )( )( )tth t

34、ae u tet 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 式中a、b為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式，解得a=1，b=1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 2( )( )( )tth te u tet 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例214 rlc串聯(lián)電路如圖2.16所示。r=3，l=0.5h，c=0.25f，電路輸入激勵為單位沖激電壓(t)。電路的初始狀態(tài)為零，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓uc(t) 解 由kvl ( )( )( )( )(0)rclututu tt由var 22( )( )( )( )( )( )rrcccldututr itrcdtditd utu tllcdtdt即

35、有 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.16 rlc串聯(lián)電路 rlc(t)uruluc(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 考慮到該動態(tài)方程的特征方程為( )( )( )( )(0)( )6( )8( )8 ( )(0)cccccclcutrcututttutututtt代入r、l、c元件參數(shù)值并化簡得 2126802,4 特征根 因此設(shè) 24( )() ( )ttcutaebeu t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 式中a、b為待定系數(shù)。則有uc(t)=(-2ae-2t-4be-4t)u(t)+(a+b)(t)uc(t)=(4ae-2t+16be-4t)u(

36、t)-(2a+4b)(t)+(a+b)(t) 將uc(t),uc(t)及u(t)代入原動態(tài)方程式解得a=4，b=-4 因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓為 uc(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 根據(jù)系統(tǒng)動態(tài)方程式兩邊沖激信號的平衡來設(shè)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)時，若等式左邊求導(dǎo)的最高階次為n次，等式右邊求導(dǎo)的最高階次為m次，且動態(tài)方程的特征方程的特征根全為單根時，則有 11( )() ( )( )( )() ( )iintiintiih tceu th tbtceu t(246) (247) nm時， n=m時， 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域

37、分析 2.等效初始條件法 系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求解還有另一種方法，稱為等效初始條件法。沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，受單位沖激信號(t)激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)，它屬于零狀態(tài)響應(yīng)。 例215 已知某線性非時變(lti)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 由于動態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) h(t)=a(t)+bu(t) 因而有 h(t)=au(t) 將h(t)與h(t)分別代入原動態(tài)

38、方程有 a(t)+bu(t)+3au(t)=2(t) a(t)+(b+3a)u(t)=2(t) 解得 a=2，b=-6 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例216 已知某線性非時變(lti)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)+3f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動態(tài)方程式h(t)+5h(t)+4h(t)=2(t)+3(t)t0 由于動態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) h(t)=a(t)+b(t)+cu(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 因而有 h(t)=a(t)+bu

39、(t) h(t)=au(t) 將h(t)，h(t)與h(t)分別代入原動態(tài)方程式可解得 a=2，b=-7，c=27 因此可得 h(0+)=a=2,h(0+)=b=-7,h(0+)=27 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例217 已知某線性非時變系統(tǒng)(lti)的動態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)+5f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)+5(t)t0 由于動態(tài)方程式右邊最高次為(t)，故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t)，故設(shè) h(t)=a(t)+b(t)+cu(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)

40、的時域分析 因而有 h(t)=a(t)+bu(t) 將h(t)與h(t)分別代入原動態(tài)方程有a(t)+(a+b)(t)+(b+c)u(t)=2(t)+5(t) 解得 a=2，b=3，c=-3 以上表示在t=0處，h(t)含有幅度為b的跳變，h(t)含有幅度為c的跳變。因此可得 h(0+)=b，h(0+)=c 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 3.其它方法 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的外部激勵無關(guān)。但系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以由沖激信號(t)作用于系統(tǒng)而求得。在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的過程中，都是已知系統(tǒng)的動態(tài)方程。 信

41、號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例218 已知某線性非時變(lti)系統(tǒng)在 f1(t)=4u(t-1)作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為 y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解已知系統(tǒng)在f1(t)作用下產(chǎn)生響應(yīng)為y1(t)，而系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為系統(tǒng)在沖激信號(t)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。因此，為求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，只需找出f1(t)與沖激信號(t)之間的關(guān)系即可。 已知 f1(t)=4u(t-1)y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 根據(jù)線性系統(tǒng)的特性，可以有 2(1

42、)2121( )(1)4 ( )( )(1)(1)4 (2)tf tf tu ty ty teu tu t根據(jù)非時變系統(tǒng)的特性，可以有 2(1)32322(1)3344111( )( )( )( )( )(1)(2)444( )( )11( )( )( )(1)(1)2)24ttf tf tu ty ty teu tu tdf tdf tf tty teu tttdtdt 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.3.2 階躍響應(yīng) 一線性非時變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用g(t)表示。階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)u(t)時，系統(tǒng)

43、的零狀態(tài)響應(yīng)，如圖2.17所示。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.17 階躍響應(yīng)示意圖 線性非時變系統(tǒng)g(t)(0)001tu(t)g(t)0tu(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 如果描述系統(tǒng)的微分方程是式(27)，將f(t)=u(t)代入，可求得其特解 若式(27)的特征根i(i=1，2，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(nm)為 00( )bu ta010( )() ( )intiibg tceu ta(248) (24) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例219若描述系統(tǒng)的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 f(t)+2

44、f(t) 試求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。 解 系統(tǒng)的特征根為1=-1，2=-2，由式(249) 知，其階躍響應(yīng) g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)它的一階，二階導(dǎo)數(shù)(考慮到?jīng)_激函數(shù)的抽樣性質(zhì))分別為g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1-2c2)(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 將f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其導(dǎo)數(shù)g(t)和g(t)代入系統(tǒng)的微分方程，稍加整理得 (c1+c2+1)(t)+(2c1+c2+3)(t)+2u(t)= 1/2(

45、t)+2u(t) 由系統(tǒng)對應(yīng)相等有1211223102112322cccccc 所以，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 231( )(1) ( )22ttg teeu t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.4 卷積積分卷積積分 2.4.1 信號分解為沖激信號序列 在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣，對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?，從而將?fù)雜問題簡單化，且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實(shí)例。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.18 信號分解為沖激序列 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 從圖2.

46、18可見，將任意信號f(t)分解成許多小矩形，間隔為，各矩形的高度就是信號f(t)在該點(diǎn)的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)積分原理，當(dāng)很小時，可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號來近似表示信號f(t)；而當(dāng)0時，可以用這些小矩形來精確表達(dá)信號f(t)。即 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 ( )(0)( ( )()()()(2)()( ()()( ( )()()(2)(0)()( ()()()( ()kf tfu tu tfu tu tf ku tku tku tu tu tu tffu tku tkf ku tf k )()ku tk 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 式(252)只是近似表示

47、信號f(t),且越小，其誤差越小。當(dāng)0時，可以用上式精確地表示信號f(t)。由于當(dāng)0時，k，d，且00( ()()()( ()()( )lim()lim()()( )()kku tku tktu tku tkf tf kf ktkf ttd 故式(252)在0時，有(253) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.4.2 卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng) 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)時，將任意信號f(t)都分解為沖激信號序列，然后充分利用線性非時變系統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)在任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 由式(253)可得0( )( )()lim()()kf tf ttdf

48、 ktk 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 上式表明,任意信號f(t)可以分解為無限多個沖激序列的疊加。不同的信號f(t)只是沖激信號(t-k)前的系數(shù)f(k)不同(系數(shù)亦即是該沖激信號的強(qiáng)度)。這樣，任一信號f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)yf(t)可由諸(t-k)產(chǎn)生的響應(yīng)疊加而成。對于線性非時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則有下列關(guān)系式成立。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 00( )( )()()()()()()()()()()( )lim() ()( ) ()( )lim() ()kkkfkth ttkh tkf ktkf kh tkf ktkf kh tkf t

49、f ktkf ttdytf kh tk ( ) ()f t h td 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為輸入激勵f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分，為( )( )()( )( )fytf t h tdf th t(254) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例220已知某線性非時變(lti)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 輸入激勵為3u(t)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 解 首先計(jì)算系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，即 h(t)+3h(t)=2(t)t0 應(yīng)用沖激平衡法，故可設(shè) h(t)=ae-3t u(t) 將h(t)

50、及h(t)分別代入沖激響應(yīng)微分方程式得 ae-3t(t)-3ae-3t u(t)+3ae-3t u(t)=2(t)t0 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 解得a=2，因此，沖激響應(yīng)h(t)=2e-3t u(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為3()3()033033033( )( )( )( )()3 ( ) 2()3 2(0)6(0)16(0)32(1)(0)2(1)( )ftttttttttytf th tfh tdueu tdedtee dteeteteu t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 由上例可見，如果激勵f(t)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函數(shù)(即有t0，有 1()00111

51、(1)(1)0011(1)11( )( )( ) ()11()(1)11(1)() ( )(1)(1)1( )( )() ( )(1)tttrrcfcsttttrcrcrcrcttttrcrcrcttrcfcytutuh tdeedrceedeercrceeeeu trcrcytuteeu trc因此，零狀態(tài)響應(yīng) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 例222 已知某線性非時變(lti)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為 輸入激勵f(t)=e-t u(t)，且已知h(0)=0，h(0)=1。試用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 解 系統(tǒng)的特征方程為2+3+2，特征根為1=-1，2=-2。又因?yàn)閚m，因

52、此，設(shè) h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t) 由h(0)=0，h(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)=(e-t-e-2t)u(t) 22( )3( )2 ( )( )ddy ty ty tf tdtdt 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 由于激勵f(t)=e-t u(t)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函數(shù)，因此，在t0時，有 ()2()022002( )( )( )(1)() ( )tttfttttttttttytf th teeedededteeeteeeu t因此，零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t) 信號與線性系統(tǒng)第

53、2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2.4.3卷積積分的性質(zhì) 1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì) 卷積積分是一種線性運(yùn)算，它具有以下基本特征。 1)交換律( )( )( )( )( )()( )()f th th tf tfh tdfh td(256) 式(256)說明兩信號的卷積積分與次序無關(guān)。即系統(tǒng)輸入信號f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以互相調(diào)換，其零狀態(tài)響應(yīng)不變。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.20 系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律 h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)(t)(t)h(t) h1(t) h2(t)*h(t) h2(t) h1(t)* 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2)

54、分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) (2-57) 式(257)的實(shí)際意義如圖2.21所示，表明兩個信號f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.21 卷積分配律示意圖 h(t)h(t)h(t)f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)y(t)y(t) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 3)結(jié)合律 設(shè)有u(t)，v(t)，w(t)三函數(shù)，則有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) (258) 由于 ( )( )(

55、) ()( ) ( ( )( )( )( ) ()u ttvtdu tv ttuvtdd 此時積分變量為， 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 此時積分變量為，而從上式來看，對變量而言，無異于一常數(shù)。可引入新積分變量x=+，則有=x-,d=dx。將這些關(guān)系代入上式右邊括號內(nèi)，則有( ) ( ( )( )( )( ) ()u tv ttuvtdd 交換積分次序，并根據(jù)卷積定義，即可得( ) ( ( )( )( )( ) ()( ( )( ) ()( ( )( )( )u tv ttuvtddu tv ttx dxu tv tt 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 4)卷積的微分特性設(shè)

56、 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) (259) 證明 ( )( )()( )()( ) ( )ddy tfh tddtdtfh tdf t h t 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 5) 卷積的積分特性設(shè) y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) (260) 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分別表示y(t)，f(t)及h(t)對時間t的一次積分。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 6) 卷積的等效特性

57、 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) (261)證明根據(jù)式(259)卷積微分特性，有 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)將上式對時間t積分，即可證明式 (261)。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 式(261)說明，通過激勵信號f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng)h(t)的積分的卷積，或激勵信號f(t)的積分與沖激響應(yīng)h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積，同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這一關(guān)系為計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑。 上述性質(zhì)4)、5)、6)可以進(jìn)一步推廣，其一般形式如下： 設(shè) y(t)=f(t

58、)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) (262) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 7) 卷積的延時特性 若 f(t)*h(t)=y(t) 則有 f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2) (263) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2. 奇異信號的卷積特性 含奇異信號的卷積積分具有以下特性。 1)延時特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0) (264) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.22 理想延時器及其沖激響應(yīng) df (t)y(t) f (t t0)0tt

59、0(1)h(t)(a)(b) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 同理，如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為(t)，則此系統(tǒng)稱為理想放大器，其中k稱為放大器的增益或放大系數(shù)，如圖2.23所示。當(dāng)信號f(t)通過該放大器時，其輸出為 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即輸出是輸入信號f(t)的k倍。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.23 理想放大器及其沖激響應(yīng) f (t)y(t) kf (t)0t(k)h(t)(a)(b) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) (265) 即，任意信號f(t)與沖激偶信號(t)卷積，其結(jié)果

60、為信號f(t)的一階導(dǎo)數(shù)。 如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如圖2.24所示。 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.24 微分器及其沖激響應(yīng) f (t)y(t) f (t)0t(1)h(t)(a)(b)tdd( 1) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 3) 積分特性 即，任意信號f(t)與階躍信號u(t)卷積，其結(jié)果為信號f(t)本身對時間的積分。如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號u(t)，則此系統(tǒng)稱為積分器，如圖2.25所示。 ( 1)( )( )( )( )tf tu tftfd(266) 信號與線性系統(tǒng)第2章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 圖2.25